量子力学4-1

A+ B = B + A A+ (B + C) = ( A+ B) + C
() 符 积 3 算 乘 :
A(Bψ ) = ( AB)ψ
运算依次从右向左进行
注意算符的乘积一般不对易: AB ≠ BA
5
(4)算符对易 如果算符A,B满足关系
AB BA = 0
即
1
1 ,算符的定义 表示运算的符号叫算符,又叫作用量
如 d ,∫ , dx
( *等 ) ,
线性算符: 如果算符满足下列条件
A(c1ψ1 + c2ψ2 ) = c1Aψ1 + c2 Aψ2
( 1, 2为 意 常 ) c c 任 复 数
则算符是线性算符
2
刻画可观测物理量的算符都是线性算符.
如 p = i是 性 , 线 的
即
[x, px ] = i
7
这就是位置算符 x 和动量算符 px 的对易关系
类似可证基本对易关系 [xα , pβ ] = iδαβ α, β = x, y, z 或1,2,3
若一力学量有经典对应,可用这个关系导出 其对易式. ①对易关系的运算性质: 1) [ A, B] = [B, A]
ψ ( , A) = (A , ) ψ
或
dτψ *A = ∫ dτ (Aψ) * ∫
25
利用厄米共轭算符的定义式 ( , A+) = (Aψ , ) ψ 结合上页定义可以得到
ψ ( , A ) = (A , ) = ( , A+) ψ ψ
因此,厄米算符的定义式也可以写为
, L以及V (r )均为厄米算符. 注意:r , p
∫ 是线性的
但 易 明 ,取 算 等 是 性 符 容 证 逆 符 不 线 算
( *也不是线性算符 ) 因为 把c1,c2也变成复共轭了,即 ( )
*
(c1ψ1 + c2ψ2) * = c1 * 1 * + c2 * 2 * ψ ψ
(通常) ≠ c
1
ψ1 * + c2ψ2 *
＃
3
2, 符 运 性 算 的 算 质
* *∞ * ∫ dxψ ∵ ∫ dx ψ = ψ ∞ x x ∞ ∞ ∞ * = ∫ dxψ x ∞ ~ ∞ * 按转置算符定义,左端= ∫ dxψ x ∞
∞ ∞
?
移项得
~ dτψ * + = 0 ∫ x x ∞
∞
22
∵ ,任 ψ 意
~ + =0 x x
显然在坐标表象中
+ iLz Ly Lx+ iLy Lz Lx iLy Lx Lz iLx Ly Lz
= [Lx , Lz ]Ly + Ly[Lz , Lx ]
= iL2 + iL2 y y
=0
得证.
＃
13
③有关角动量的升降算符及其对易关系 引进升降算符
L± = Lx ± iLy
z = x py y px = i (x y ) L x y
9
可 括 对 关 概 出 易 系 [Lα , xβ ] = εαβγ ixγ 这里εαβγ 称为Levi Civita 符号. 例如 [L , y] = [ yp zp , y]
x z y
其中
ε123 =1 εαβγ = εβαγ = εαγβ α, β, γ =1 2,3 或 x, y, z. ,
[Lα , pβ ] = εαβγ ipγ
[Lα , Lβ ] = εαβγ iLγ 此式又可以写成 L× L = iL
i Lx Lx
j Ly Ly
Lx k = i L Lz y Lz Lz
符的定义) (此式可作为角动量算 符的定义) 若定义角动量算符L的模方(L的平方) 2 = L2 = L L= L2 + L2 + L2 x y z L
可以理解吗?
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显然
A1 = A1 A = I A ψ = 左乘A1有 这是因为,由A
1Aψ = A1 =ψ A1A = I A
由A1 =ψ 左乘A有
A1 = AA1 = I A ∵也 任 的 ψ是 意 ) 是 意 ( 任 的
得证.
另外可以证明: ( AB)1 = B1A1(课下证)
AB = BA
则称算符 ,B对易, A 并记作 [ A,B] = 0
讨论两个算符是否对易,一般是将它们作 用在任意波函数上,看它们是否相等. 若相等,则对易. 比如将要讨论的位置算符 d x 和 量 符 px = i 的 易 系 动 算 对 关 . dx
6
xp xψ p x xψ = iψ
以及
量算 可以把L2及L分 符写成
r = x + y +z y z tan cosθ = , = x r
2 2 2 2
15
1 2 1 L2 = 2 sin θ + 2 2 θ sin θ sin θ θ
= isin + cotθ cos Lx θ = icos cotθ sin Ly θ z = i L
将表达式中的所有量,都换写成其复共轭.
例
动量算符的复共轭算符
p*= (i ) * = i = p
(4)转置算符
~ 算符A的转置算符A定义为
dτ ψ * A = ∫ dτ Aψ * ∫
~
(ψ, 为 意 同 波 数 任 不 的 函 )
20
利用内积的定义,有
( ,) = ∫ dτ ψ * ψ
故对任意态ψ 故对任意态ψ和φ,有
~~ AB = BA
24
～
对
~ +) = (ψ , A*) (ψ , A
+
~* 所以 A =A 利用转置的性质,可以证明:
BC + = C+ B+ A+ (A )
提示:可以首先证两个算符的关系
下面介绍一个特别重要的算符 厄米算符:满足下列关系的算符是厄米算符
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由于
A1 I = A BB1 A1 = A
B)( AB)1 I = (A
BB1A1 = ( AB)( AB)1 A
又由于 所以
上述算符方程两边同左乘以 ( AB)1
所以
1 A1 = ( AB)1 B
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(3) 复 轭 符 共 算
算符 A的复共轭算符 A*:
最后这式称为Jacobi恒等式 .
注意对易关系与内积的区别: (ψ ,) = ∫ψ dτ ②角动量算符的对易关系
*
角动量 L = r × p = i r × 在直角坐标系中的分量表达式
x = y pz z py = i (y z ) L z y y = z px x pz = i (z x ) L x z
可以方便地证明: 1 [L , L ] = ±L )
z ± ±
L = L2 L2 ± L 2 L± z ) z 3 [L , L ] = 2L )
+ z
下面看角动量算符在球坐标中的表示
14
在球坐标中, 利用
x = r sinθ cos y = r sinθ sin z = r cosθ
第四章 力学量用算符表示 与表象变换
§4.1 算符的运算规则
这里介绍量子力学的另一个基本原理: 力学量可以用算符来表示.即 F( p, r ) ~ F(i, r )
比如Ham iltonia n算符
p2 2 2 H= +V (r ) = +V (r ) 2m 2m = i, 且 px = i 其 动 算 中 量 符 p x 又如能量算符 H = i 等 t
2 , L2 ] +[L2 , L2 ] = [Lx y z y
[L , L2 ] +[L , L2 ]L + L [L , L2 ] +[L , L2 ]L = Lx x y x y x z z y z y z
= Lx Ly[Lx , Ly ] + Lx[Lx , Ly ]Ly +[L , L ]L L + L [L , L ]L
~ px = px
2. P90 练习3
~~ 同样可以证明 ( AB) = BA 作业:1. P87 练习1
(5)厄米共轭算符 定义A的厄米共轭算符为 +,且满足 A
(ψ , A+) = ( Aψ , )
则有
(ψ , A+) = (,Aψ )* = (*,A*ψ *) ~* = (ψ , A )
+ = A A
厄米算符的实线性组合仍为厄米算符, 但 线 组 非 米 符 如 题 ). 复 性 合 厄 算 ( 习 1
26
但乘积一般不是厄米的,除非[ A, B] = 0 因为 ( AB)+ = B+ A+ = BA
显然只有当 AB = BA 或 [ A,B] = 0 时, B)+ = AB (A
从而有
2 = (sinθ ) + L 2 sinθ θ θ sin θ
2
2 Lz
Baidu Nhomakorabea
＃
16
3 几 重 的 符 , 种 要 算
(1) 单 算 位 符 Iψ =ψ
(2) 逆 符 算 若 Aψ = 能 唯 解 ψ, 可 义 对 够 一 出 则 定
之 A1为 A 逆
1 =ψ A
并非所有算符都有逆,如投影算符的逆就 不存在.
()算符相等: 1
任意的波函数都成立 任意的波函数 Aψ = Bψ 对于任意的波函数
则 A= B
( 例 若 ψ =ψ, I 称 单 算 ) 特 : I 则 为 位 符
() 符 加 2 算 相 : ( A+ B)ψ = Aψ + Bψ
这是算符最基本的运算.
4
交 律 结 律 换 和 合 :
d 注意: 不是厄米的 . dx
试思考为什么?
~ d d (已经知道 = ) dx dx
则
下面证明与角动量平方有关的一个对易式.
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2 , L ] = 0, α = x, y, z [L α
2 , L2 ] = 0 例 试证明对易关系:[L y 证 : 明 原式左边 = [L2 + L2 + L2 , L2 ] = [L2 + L2 , L2 ] x y z y x z y
2) [ A, B + C] = [ A, B] +[ A, C] 3) [ A, BC] = B [ A, C] +[ A, B]C
[ AB, C] = A[B, C] +[ A, C]B
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4) [ A, [B, C]] + [B, [C, A]] +[C, [ A, B]] = 0
= [ ypz , y] [zpy , y] = y[ pz , y] z[ py , y] [z, y] py = z[ y, py ] = iz
因为任何两个指标换位时都 变号 ,故若有两指标 相同则为 ,如ε112 = ε121 = 0. 0
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类似可得角动量分量与动量分量的对易关系:
d 因为对任意波函数ψ: xpxψ = ix ψ dx d 而 px xψ = i (xψ )
d d = i(ψ + x ψ ) = iψ ix ψ dx dx
dx
那么
令
显然
xpxψ px xψ = iψ
ψ [x, px ] = iψ
ψ xpxψ px xψ = (xpx px x)ψ = [x, px ]
x y y x y x y
x
+ Lz Ly[Lz , Ly ] + Lz [Lz , Ly ]Ly
+ Ly[Lz , Ly ]Lz +[Lz , Ly ]Ly Lz
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= iLx Ly Lz+ iLx Lz Ly iLz Ly Lx iLz Lx Ly
其中对体积元:一维粒子 三维粒子
∫ dτ = ∫ dx ∫ dτ = ∫∫∫ dx dy dz
∞ +∞
∞
+∞
则转置算符的表达式也可以写为
~ ) = (*, A *) = ( A*ψ , ) ψ ( ,A ψ
即:去掉"~",换位复共轭.要会转换!
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~ 例:证明算符 = x x 证明:对任意满足标准条件的波函数ψ,φ
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按照转置算符A的定义, 按照转置算符 的定义,有 的定义
~ ∫ψ * Adx = ∫Aψ *dx
则有 但是
∫ψ * ABdx = ∫ABψ *dx
~ ~~ ∫ψ *BAdx = ∫ ABψ *dx ~ = ∫ Bψ * Adx = ∫ABψ *dx
～
即
～ ~~ ∫ψ * BAdx =∫ψ * ABdx