市北资优七年级分册 第17章 17.7 等边三角形+姜海霞

17．7 等边三角形

我们知道，三条边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的性质．那么等边三角形还有没有其他的性质呢？

问题1：

等边三角形的角具有怎样的性质？

等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都等于60°．

问题2：

除了等边三角形的定义，还有什么方法可以说明一个三角形是等边三角形？

等边三角形的每个内角都等于60°，那么每个内角都相等的三角形是等边三角形吗？

我们可以利用“等角对等边”说明这样的三角形每条边都相等，由此我们有了等边三角形的判定方法1：三个内角都相等的三角形是等边三角形．

等边三角形是特殊的等腰三角形，那么满足怎样条件的等腰三角形是等边三角形呢？

议一议

他们说得对吗，为什么？

等边三角形的判定方法2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

【例1】如图17．7．1，在等边△ABC中，D是AC中点，E是BC延长线上一点，且DB＝DE．说明CD ＝CE的理由．

【解】因为等边△ABC，D是AC中点（已知），

所以∠ABC＝∠ACB＝60°（等边三角形的每个内角都等于60°），

∠DBC＝

1

2

∠ABC（等腰三角形三线合一）．

所以∠DBC＝30°（等量代换）．

因为DB＝DE（已知），

所以∠E＝∠DBC＝30°（等边对等角）．

因为∠ACB＝∠CDE＋∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

所以∠CDE＝30°（等式性质）．

所以∠CDE＝∠E（等量代换）．

因此CD＝CE（等角对等边）．

【例2】如图17．7．2，已知A、C、B三点共线，分别以AC、BC为边，在直线AB同侧作等边△CAN 和等边△BCM．说明AM＝BN的理由．

A

B E

D

图17.7.1

【解】因为等边△CAN 和等边△BCM （已知）， 所以AC ＝CN ，BC ＝CM ，

∠CAN ＝∠BCM ＝60°（等边三角形的性质）． 所以∠MCA ＝∠BCN （等式性质）． 在△CAM 和△CNB 中， AC NC ACM NCB CM CB ⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝

所以△CAM ≌△CNB （SAS ）

因此AM ＝NB （全等三角形对应边相等）．

练习17．7

1．如图，△ABC 是等边三角形，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CA 上，且AE ＝BF ＝CG ．说明△EFG 是等边三角形的理由．

2．（1）将例2中的等边△ACN 绕点C 旋转一定角度，得到下图，试问：AM ＝BN 还成立吗？

（2）将（1）中等边△ACN 再绕点C 旋转一定角度，得到下图，上述AM ＝BN 还成立吗？请你根据上述两个问题揭示其中的规律．

（3）在旋转过程中，直线AM 和直线BN 所夹的锐角的大小随着旋转而改变吗？说说你的理由．

练习17．7（教材习题答案）

1．提示：△AEG ≌△BEF ≌△CGF ，得EG ＝EF ＝GF

（第1题）

（第2

题—2）

图17.7.2

2．提示：（1）（2）△ACM 始终与△NCB 全等，因此AM ＝CN （3）所夹锐角始终等于60°

17．7 等边三角形

练习17．7

1．如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形，点E 恰在CB 的延长线上，说明∠ABD ＝∠AED 的理由．

2．如图，已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC 于M ，说明M 是BE 的中点的理由．

3．如图，正△ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE ＝CD ，连结DE ，交BC 于点P ．（1）说明DP ＝PE 的理由；（2）若D 为AC 边中点，求BP 的长．

4．如图，六边形ABCDEF 的六个内角均为120°，其连续四边长依次为1，9，9，7（单位：cm ），你能设法求出这个六边形的周长吗？说说你的想法．

A

E C

D

第1题

A B C

D E

F

1 9 9

7 第4题

第3题

第2题

练习17．7（答案部分）

1．说明△ABD≌△ACE，则有∠ABD＝∠C＝∠AED

2．∠E＝1

2

∠ACB＝

1

2

∠ABC＝∠CBD，则BD＝ED，又DM⊥BC，则M为BE的中点

3．（1）过点D作DF∥AB，说明△DFP≌△EBP，则有DP＝EP（2）BP＝

4

a

4．双向延长AB、CD、EF，分别交于点M、N、P，则△MNP为等边三角形．可以得到六边形周长为44cm