《抽象代数基础+》完整习题解答

《抽象代数基础》习题解答

于延栋编

盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月

第一章群论

§1代数运算

1.设/= {e, a,b, c}, /上的乘法“ • ”的乘法表如下:

,e a h c

e e a b c

a a e c b

b h

c e a

c c b a e

证明：“ •”适合结合律.

证明设为/中任意三个元素.为了证明“ •”适合结合律，只需证明

(x-^-z=x-(y-z).

下面分两种情形来阐明上式成立.

1.y, z中至少有一个等于e.

当＞=6*时，{x-y)-z=y-z=x-{y-z)

当y=。时，{x-y)-z=x-z=x (y-z);

当z =仃时，(.r•,)'z= x~y = -T•(丿八z).

II.x, ”, z都不等于g.

(\)x=y= z.这时,(x-y)- z= e-z= z=x= x-e=x-(y-z).

(II).r, z两两不等.这时，{x'y)'Z=Z'Z = e=X'X=X'{y'Z}.

(III)羽乂z中有且仅有两个相等.

当》=大时，才和z是{么*d中的两个不同元素，令〃表示W、bq中其余的那个元素.于是，()• ^-z=e-z=z, x (y-z) = x i/ = z,从而，(r y)-z=x\y z). 同理可知，当*=2或2=-了时,都有(.r-=

2.设“ •”是集合,上一个适合结合律的代数运算.对于/中元素，归纳定义

山为:

f=x

r+1 ( f 、

,n《=ru妇

Ml \ ^=1

证明:

a，• n% =fl"

/ \ /=! )谷I 进而证明：在不改变元素顺序的前提下，/中元素的乘积与所加括号无关. 证明当〃，=1时，根据定义，对于任意的正整数〃，等式成立.

假设当= 时，对于任意的正整数〃，等式成立.当/// = /-+1时，由于

“ •”适合结合律,我们有

佃顺小j

ru j=ru=n

r=! ) & /=!

所以，对于任意的正整数〃和〃7,等式成立.

考察/中任意〃()个元素：当〃23时，要使记号a、』••…a“变成有意义的

记号,必需在其中添%口一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下，无论怎样在其中添加括号，运算结果总是等于

r=\

事实上，当〃=1或〃=2时，无需加括号，我们的结论自然成立.当〃=3

时，由于“ •”适合结合律，我们的结论成立.假设当〃＜/•(/•＞!)时我们的

结论成立.考察n=r J r\的情形：不妨设最后一次运算是a，b ,其中v为《，外,…,？

中前s(l《s＜〃)个元素的运算结果，方为《，角，…,q中后〃-s个元素的运算结

果.于是，根据归纳假设，

“=11弓，，=1!皿.

z=l 上1

所以最终的运算结果为。，

\7=1 丿/=!

3.设Q是有理数集.对于任意的a,心,令a.b=a槌,证明：“ •”是Q上的一个代数运算，它既不适合结合律也不适合交换律.

证明众所周知，对于任意的“McQ, 〃，=〃+岁cQ.所以“ •”是Q上的一

个代数运算.令。=0,力=1,。=2.由于

(Z7-^)-C=(0-1)-2=1-2=1+22=5,r7-(^-r) = 0-(l-2) = 0-5 = 0 +

52 = 25, 从而，所以“ •”不适合结合律.由于

C ，= 2・1 = 2 + F=3,.

从而,b ，gc ，b.所以“ •”不适合交换律.

§2群的概念

证明 首先，众所周知，G-0, A —B J G, W,B W G,由于矩阵的加法适合 结合律，。上的加法适合结合律.其次，令，则gG ，并且 Q+ A= /+〃=/,必 G.最后,对于任意的/=(；：)泌，令-』=(二［：)， 则- Nc 6•且/+ (-勿=(-4) + /- 〃.所以6■关于矩阵的加法构成一个群.

个群.

证明 将记作£，并将6•中其余三个矩阵分别记作",C.于是，6•上

的乘法表如下： •

E A B C E

E A B C A

A E C

B B

B C E A C

C B A E 由于矩阵的乘法适合结合律，G 上的乘法适合结合律.从乘法表可知， EX=XE=X,

XX=E, PX,YwG.

所以G 关于矩阵的乘法构成一个群.

3.在整数集Z 中，令a ・b = a+b-l., Va,bC 证明：Z 关于这样的乘法构成 一个群.

证明 对于任意的a,b,c&Z,我们有

1.证明

a,b ,c,d cZ U "丿

关于矩阵的加法构成一个群. 2.令 6= (0肽'W If 证明：。关于矩阵的乘法构成一

((7-/t)-c = (a + A-2)-c = (a+/j-2) + c-2 = a + A + c-4,

«7-(^-r) = <7-(^+r-2) = «7 + (^+r-2)-2 = z7+^+r-4,

从而(a,砰c=a，g.这就是说，该乘法适合结合律.其次，2eZ,并且对于任意的界Z,我们有

所以Z关于该乘法构成一个群.

4.写岀金的乘法表.

解§ = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(13 2)}, § 的乘法表如下:

•⑴(12)(1 3)(2 3)(12 3)(13 2)

⑴(1)(1 2)(1 3)(2 3)(12 3)(13 2)

(12)(12)(1)(13 2)(12 3)(2 3)(13)

(13)(13)(12 3)(1)(13 2)(12)(2 3)

(2 3)(2 3)(13 2)(12 3)(1)(13)(12)

(12 3)(12 3)(1 3)(2 3)(12)(13 2)(1)

(13 2)(13 2)(2 3)(1 2)(13)(1)(12 3)

5.设(&•)是一个群,证明：“ •”适合消去律. 证明设a,b,ccG.第a,b =

a・c,则

b= e~ b=((f x' d)'b=a~x \a • /)} = a~x -(a-c) = (a~l■ a)~ c= e-c= c.

同理，若b、a = c、a,则缶c这就表明,“ •”适合消去律.

6 .在5；中，

令

fl 2 345) fl 2 345)/=[2 3 154丿，”[1 3 452)'

求原此和广，

解我们有

。2 345)(\ 2 345), (\ 2 345、

衣=| ,2 I 543 '"= 3 4 125 '尸=3 1 254