人教新课标版数学高二-必修五练习第一章《解三角形》质量检测

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2012·洛阳高二检测)在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A.3 B ．2 3 C.3或2 3

D ．2

解析：sin C ＝sin B b ·c ＝32，

∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝30°或A ＝90°， 当A ＝30°时，a ＝b ＝3； 当A ＝90°时，a ＝b 2＋c 2＝2 3.

答案：C

2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π

3 B.5π6 C.3π

4

D.π3

解析：由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－1

2，且∠BAC ∈(0，

π)，

因此∠BAC ＝2π

3.

答案：A

3．如右图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )

A ．α，a ，b

B ．α，β，a

C ．a ，b ，γ

D ．α，β，b

解析：由于A 与B 不可到达，故不易测量α，β.而a ，b ，γ易测到． 答案：C

4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4.满足条件的△ABC ( ) A ．无解

B ．有解

C ．有两解

D ．不能确定

解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴6sin 60°＝4sin B ，

∴sin B ＝2，无解． 答案：A

5．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )

A.3

3 B.36 C.6

3

D.66

解析：设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c

3

，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－4

3c 2

2c 2

＝13

， 则sin A ＝223

.

在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC

sin A ＝4c 322

3，

解得sin C ＝66

. 答案：D

6．已知腰长为定值的等腰三角形的最大面积为2，则腰长为( ) A.12

B ．1

C ．2

D ．3

解析：设该等腰三角形的腰长为a ，顶角为θ，则三角形面积为1

2a 2sin θ，易知θ＝90°

时，该等腰三角形面积取得最大值1

2

a 2＝2，a ＝2，故腰长为2.

答案：C

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，

且m ∥n ，那么△ABC 一定是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形

解析：由m ∥n ，得a 2tan B ＝b 2tan A ，结合正弦定理有

sin 2B sin 2A ＝tan B

tan A

， ∴sin B sin A ＝cos A cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. ∴A ＝B 或A ＋B ＝π

2

，

即△ABC 是等腰或直角三角形． 答案：D

8．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )

A ．4 3

B ．5

C ．5 2

D ．6 2

解析：∵S △ABC ＝1

2ac sin B ，

∴c ＝4 2.

由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5.

由正弦定理2R ＝b

sin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．

答案：C

9．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝5

2

b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )

A.5

3 B.5

4 C.5

5

D.56

解析：∵a ＝52b ，由正弦定理得，sin A ＝5

2

sin B . 又A ＝2B ，

∴sin 2B ＝

52sin B ，即2sin B cos B ＝5

2

sin B ， 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝5

4

. 答案：B

10．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )

A ．1.1 km

B ．2.2 km

C ．2.9 km

D ．3.5 km

解析：∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°. 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin 75°sin 60°＝1

2

(6＋2)．

在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得

AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 105°

＝3＋14(6＋2)2＋2×3×12(6＋2)×1

4(6－2)

＝5＋2 3. ∴AB ＝

5＋23≈2.9(km)．

∴炮兵阵地与目标的距离是2.9 km. 答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；

a ＝________.

解析：因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A

cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联

立解得sin A ＝25

5，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B

，代入数据解得a ＝210.

答案：

25

5

210 12．(2012·上冈高级中学高二期中)△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与