2019人教版 高中数学 选修2-2阶段质量检测一 A卷

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(A 卷 学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －

5)′＝－15

x －6

解析：选C 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －

5)′＝－5x －

6.

2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e 2 C ．y ＝x 3－x

D ．y ＝ln x －x

解析：选B 只有B 中y ′＝e 2＞0在(0，＋∞)内恒成立．

3．若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( ) A ．x ＋4y ＋3＝0 B ．x ＋4y －9＝0 C ．4x －y ＋3＝0

D ．4x －y －2＝0

解析：选D 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意得4x 0＝4，解得x 0＝1，所以y 0＝2，故切线l 的方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.

4．若函数f (x )＝1

3x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )

A ．0

B ．2

C ．1

D ．－1

解析：选A ∵f (x )＝1

3x 3－f ′(1)·x 2－x ，

∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1， ∴f ′(1)＝0.

5．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21

D ．a ＝0或a ＝21

解析：选A f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒

成立，函数f (x )不存在极值点．

6．已知，对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，( )

A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0

B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0

C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0

D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0

解析：选B f (x )为奇函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递增，f ′(x )>0；g (x )为偶函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递减，g ′(x )<0.

7.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－

x )f ′(x )的图象如右图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)

解析：选D 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－22时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．

8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e]，则⎠⎛0e f (x )d x 等于( )

A.4

3 B.5

4 C.65

D.76

解析：选A ⎠⎛0

e f (x )d x ＝⎠⎛0

1x 2d x ＋⎠⎛1

e 1

x

d x

＝1

3

x 3

10

＋ln x

e

＝43

. 9.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x

轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1

12

，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．－2

解析：选A 法一：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所

以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)，因为函数f (x )的图象与x 轴所围成区域的面积为112，所以⎠

⎛a

0(－x 3＋ax 2)d x ＝－1

12，所以⎝⎛⎭⎫－14x 4＋13ax 3a

＝

－1

12

，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，故选A. 法二：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2.若a ＝0，则f (x )＝－x 3，与x 轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图象，排除B ；若a ＝1，则f (x )＝－x 3＋x 2＝－x 2(x －1)，与x 轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图象，排除C ；若a ＝－2，则所围成的面积为－⎠⎛－2

0 (－x 3－2x 2)d x ＝⎝⎛⎭

⎫

14x 4＋23x 30

2

－＝43≠1

12

，排除D ，故选A. 10．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实

数k 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞

B.⎝⎛⎭⎫－∞，－1

2 C.⎝⎛⎭

⎫－12，32

D.⎣⎡⎭

⎫1，32 解析：选D 由f (x )＝2x 2－ln x 可知定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，k ≥1，故排除B ，C 两项．又f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1

2(舍去)，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．由题意知⎩⎨⎧

k －1<1

2，k ＋1>1

2

且k ≥1，得1≤k ＜3

2

.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－

1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α.又因为切线过坐标原点，所

以α＝2－01－0

＝2.

答案：2

12．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间为________． 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

令f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2

－1x ≥0，得x ≥1

2

.

答案：⎣⎡⎭

⎫1

2，＋∞