泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函

第3章 连续线性算子与连续线性泛函

本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子

在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵

111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

对n E 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义 3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射

T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){}

,y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。

若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x Tx

F x D T ααα=∀∈∈

称T 为线性算子。对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

例3.2 [],x C a b ∀∈，定义()()t

a Tx t x d ττ=⎰

由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。若令

()()[](),b

a f x x d x C a

b ττ

=∀∈⎰

C a b上的线性泛函。则f是[],

[定义3.2] 设,X Y 是两个赋范线性空间，:T X X →是线性算子，称T 在x 点连续的，是指若{},n n x X x x ∈→，则()n Tx Tx n →→∞；若T 在X 上每一点都连续，则称T 在X 上连续；称T 是有界的，是指T 将X 中的有界集映成Y 中有界集。

[定理 3.1] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性算子，若T 在某一点()0x D T ∈ 连续，则T 在()D T 上连续。

证明：对()x D T ∀∈，设{}()n x D T ⊂，且()n x x n →→∞，于是

()00n x x x x n -+→→∞，由假设T 在0x 点连续，所以当n →∞时，有

()000n n T x x x Tx Tx Tx Tx -+=-+→

因此，n Tx Tx →，即T 在x 点连续。由x 的任意性可知，T 在()D T 上连续。 定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T 连续等价于若

n x θ→（X 中零元），则n Tx θ→（Y 中零元）。

例 3.3 若T 是n 维赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 在X 上连续。

证明：在X 中取一组基{}12,,

,n e e e ，设

()()1

1,2,3,n

m m j j j x x e X

m ==∈=∑

且()m x m θ→→∞，即()0m x m →→∞，则

()()

()1

2

210n m j j x m =⎡⎤→→∞⎢⎥⎣⎦

∑

从而()()()01,2,3,

m j x j n m →=→∞。于是

()

()

()11

1

max 0

n

n

m m m j

j j

j

j n

j j Tx x

Te x Te

m ≤≤===

≤→→∞∑∑

因此，()m Tx m θ→→∞，即T 在x θ=处连续，进而T 在X 上每点连续。

[定理 3.2] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 有界的充分必要条件是：存在常数0M >，使不等式成立，即

()()Tx M x

x D T ≤∈

证明：必要性。因T 有界，所以T 将D 中的闭单位球(){}

11B x x θ=≤映成

Y 中的有界集，即像集()1TB θ是Y 中的有界集。记(){}1sup :M Tx x B θ=∈，此时，对每个

()()1,,

x

x D T x B x

θθ∈≠∈，由M 的定义有

x T M x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭

……………………（3.1） 即Tx M x ≤，而当x θ=时，不等式（3.1）变成等式。故()x D T ∀∈有

Tx M x ≤

充分性。设A 是()D T 的任一有界集，则存在常数1M 使()1x M x A ≤∀∈。 由()()Tx M x x D T ≤∈知

()1Ty M y MM y A ≤≤∈ 故TA 有界。证毕。

[定理3.3] 设,X Y 是两个赋范线性空间，T 是从X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 是连续的充要条件是T 是有界的。

证明：充分性。设T 有界，则存在常数0M >，使对一切

(),x D T Tx M x ∈≤，从而对(){}(),n n x x n x D T ∂→→∞⊂有

()()0

n n n Tx Tx T x x M x x n -=-≤-→→∞

即()n Tx Tx n →→∞。所以，T 是连续的。

必要性。若T 连续但T 是无界的，那么对每个n N ∈，必存在()n x D T ∈，使n n Tx n x >，令n n n x y n x =

，那么()1

0n y n n

=→→∞，即n y θ→，由T 的连续性，()n Ty n θ→→∞，但是另一方面，1n n

n n

n

n x Tx Ty n x n x =

>

=，引出矛盾，

故T 有界。

定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用