等腰直角三角形旋转

等腰直角三角形旋转

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旋转的等腰直角三角形

【变式典型题】

原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．

变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转︒45，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式2 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒90，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒180，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

【练习】

1．在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ∆≅∆；②BE AD DE +=；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

A D E B

M C

A D E

B

C A

D

E B

M C B

M C A D

E

A D

E B

M

C A

D E

B

M

C A

D

E

B M

C A

O (G)

E B D C

F

l

图1

A

C

B

M 图2

N

E D

A

C

B

M 图3

N

E

D

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2．（1）如图1，若点P 为正方形ABCD 边上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ．求证：BE DH ⊥．

（2）如图2，将正方形AEFP 逆时针旋转，使点P 落在正方形ABCD 内，其余条件不变，（1）的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

3．在ABC ∆中，AD 是中线，O 为AD 的中点，直线l 过O 点，过A 、B 、C 三点分别作直线l 的垂线，垂足分别为G 、E 、F ，当直线l 绕O 点旋转到与AD 垂直时（如图1）易证：BE+CF=2AG ．

当直线l 绕O 点旋转到与AD 不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE 、CF 、AG 又是怎样的数量关系？请写出你的猜想，并以图3的猜想给予证明．

思考题：

把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角形ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：︒<<︒900α），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）连接HK ，在上述旋转过程中，设x BH =，

GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，

并写出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使

GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的

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？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．

作 业 完成时间：30分钟

1、如图所示，在密度均匀的铁片中挖去一圆形铁片，现要将这一铁片分成重量相等的两块，请问你有怎样的分法？并说明作图的道理．

2、现有如图所示的方角铁片，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案．

3、如图所示，请将一直角梯形形状的地块，分成面积相等的两地，问如何

分．

4、如图所示的一块空地，︒=∠=∠90B A ，AE ∥BC ，AB ∥CD ，现要在这一空地上砌一堵墙（要求墙长最短），将这块地分成面积相等的两块．

思考题：如何把任意四边形面积两等分？

A

C E G(O)

B F 图1

A

C G(O) B

F

图2 K

H

A E F H

B C D P 图1

A

E F H B C D

P 图2

A

O

E

B

D

l

图2 A C

D E

B

N M

图1

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A B

D

C