公平的席位分配

公平的席位分配

姓名：仇嘉程 班级：数学与应用数学（2）班 学号：0907022010

摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部

门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、

等的具体座位。本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状

态。我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对

不公平度的定义，采用了最大剩余法模型和Q 值法模型，通过检验2种模型的相

对不公平度来制定比较合理的分配方案。

关键词：不公平度指标、Q 值法、最大剩余法

一、问题的提出：

某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。

问题一：若学生代表会议设20个席位，如何公平席位分配？

问题二：丙系有6名学生转入甲乙两系，其中甲系转入3人，乙系转入3人，又

将如何公平的分配20个学生代表会议席位？

三、模型的建立：

模型1——比例分配法，若使得公平席位分配，最公平简单且常用的席位分配办

法是按学生人数比例分配：

某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位

即：

(1,2,3...)i i p P i n N N ==，其中1n i i N N ==∑ 1n i i P P ==∑

但是在实际生活中，若按模型1来计算，由于席位数不同，很难使得到的结果为

整数，因此模型1难以成立，即绝对公平难以成立，我们需要寻求可能相对公平

的分配方案。

模型2——最大剩余法，如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小

数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小

数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清

楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。

某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代

表席位为

系名甲乙丙总数

学生数 100 60 40 200

学生人数比例 100/200 60/200 40/200

席位分配 10 6 4 20

后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为

系名甲乙丙总数

学生数 103 63 34 200

学生人数比例 103/200 63/200 34/200

按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20

按惯例席位分配 10 6 4 20

由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而

达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位

变为21个。重新按惯例分配席位,有

系名甲乙丙总数

学生数 103 63 34 200

学生人数比例 103/200 63/200 34/200

按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21

这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席

位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，我们需要建

立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。

模型3——Q值法

先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设

单位 人数 席位数 每席代表人数

单位A p 1 n 1

11n p 单位B p 2 n 2 22n p 要公平，应该有11n p =22

n p ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有

若 11n p >22

n p ，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 )

若11

n p <22n p ，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2

211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：

某两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =120， p 2=100， 算得 p =2 另两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =1020，p 2=1000, 算得 p =2 虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。

下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：

若 2211n p n p > 则称 11

2212

22211-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A

若 2211n p n p < 则称 12

1121

11122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B

由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。

确定分配方案：

使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11

n p >

22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22

n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22

n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平, 3. 11n p >122

+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平, 4.11n p <122

+n p ,不可能

上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有

)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B

则增加的一席应给A ，反之应给B 。对不等式)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B 进行简单处理，可以得出对应不等式

)

1()1(11212222+<+n n p n n p 引入公式

k k k k n n p Q )1(2+=

于是知道增加的席位分配可以由Q k 的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Q k 的最大值决定席位分配的方法称为Q 值法。

对多个组（m 个组）的席位分配Q 值法可以描述为：

1．先计算每个组的Q 值：

Q k , k =1,2,…,m