FEC原理及应用剖析

a5

a3

a1
a6 a4 a3 a0
接收端收到每个码组后，计算出S3、S2 和S1，如不全为0，则可按表8-4确定误码的 位置，然后予以纠正。不难看出，上述（7，
4）码的最小码距dmin＝3。
1.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G
将（7，4）码的三个监督方程式可以重 新改写为如下形式：
1 1 1 0 1 0 0
H 1 1 0 1 0 1 0 P Ir
1 0 1 1 0 0 1
也可以用矩阵形式来表示：
或表示成为：
a2 1

a1


1
a0 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1

a6 a5 a4 a3
g
x

xr

a xr1 r 1

a1x 1
显然，上式不符合 G Ik Q形式，所以
此生成矩阵不是典型形式。
利用循环码的特点来确定监督矩阵H：
由于（n,k）循环码中g(x)是xn +1的因式，
这样，一个k比特信息的线性分组码可 以映射到一个长度为n码组上。
线性分组码的主要性质如下：
（1）任意两许用码之和仍为一许用码， 也就是说，线性分组码具有封闭性；
（2）码组间的最小码距等于非零码的最 小码重。
对偶校验时的监督关系。在接收端解码时， 实际上就是在计算：
S = bn-1+bn-2+…+b1+b0 若S＝0，则无错；若S＝1就认为有错。
目前我国电传通信中普遍采用3：2码， 国际上通用的ARQ电报通信系统中，采用3： 4码即7中取3码。
1.3 线性分组码
1.3.1 基本概念
分组码是一组固定长度的码组，可表 示为（n , k），通常它用于前向纠错。在 编码时，k个信息位被编为n位码组长度， 而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
S1= a6+a5+a4+a2 , S2= a6+a5+a4+a2 , S3= a6+a4+a3+a0
进而得到下面的方程组形式：
a6 a5 a4 a2 0
a6

a5

a3

a1

0
a6 a4 a3 a0 0
a6 a5 a4 a2

a6

an-1+an-2+…+a1+a0 = 0
奇偶监督码的编码可以用软件实现，也 可用硬件电路实现。
编码输出 A
a4
a4
接收码组
a3
a3
B
b0 b1 b2 b3 b4
a2
a2
a1
a1
信息组
a0
S 检错信号 M
如果码组B无错，B＝A，则M＝0；如果
码组B有单个（或奇数个）错误，则M＝1。
1.2.2 行列监督码 行列监督码又称水平垂直一致监督码或 二维奇偶监督码，有时还被称为矩阵码。
其中则：接收ei 端10利用bbii 接 aa收ii 到的码组B计算校正子： S=BHT=(A+E)HT= AHT + EHT = EHT
因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校 正子之间有确定的关系。
1.3.4 汉明码
汉明码是一种能够纠正单个错误的线性 分组码。它有以下特点：
（1）最小码距dmin＝3，可纠正一位错误；
FEC原理及应用
第四组
差错控制编码
➢ 1 引言 ➢ 2 常用简单分组码 ➢ 3 线性分组码 ➢ 4 循环码 ➢ 5 BCH码 ➢ 6 RS码
1.1 引言
1.1.1 信源编码与信道编码的基本概念 在数字通信系统中，为了提高数字信号
传输的有效性而采取的编码称为信源编码； 为了提高数字通信的可靠性而采取的编码称 为信道编码。
当r个监督方程式计算得到的校正子有r 位，可以用来指示2r-1种误码图样。
如果希望用r个监督位构造出r个监督关系 式来指示一位错码的n种可能，则要求：
2r 1 n 或 2r k r 1
例如r ≥ 3，若取r = 3，则n = k+r = 7。假 设S3、S2、S1三位校正字码组与误码位置的 关系如表8-4。根据表8-4，可以构成如下关 系式：
发
可以发现和纠正错误的码
收
应答信号 (c) 混合纠错检错(HEC)
检错重发方式：
信
编码器和缓 冲存储器
双 向
解码器
输出缓冲存 储器
源
重发控制
信
道
指令产生器 正确时输出
收 信 者
错误时删除
检错重发（ARQ）的优点主要表现在：
（1）只需要少量的冗余码，就可以得到 极低的输出误码率；
（2）有一定的自适应能力；
0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 1 1
这里G称为生成矩阵，利用它可以产生整
个码组： A M G a6 a5 a4 a3 G
1.3.3 校验子S
设发送组码A，在传输过程中有可能出 现误码，这时接收到的码组为B。则收发码
组之差为：B A bn1 bn2 b0 an1 an2 a0 E en1 en2 e0
S2
S1
3-8 译码器
1.4 循环码
循环码是线性分组码的一个重要子集， 是目前研究得最成熟的一类码，它有许多 特殊的代数性质。
1.4.1 循环码的特点 循环特性是指：循环码中任一许用码
组经过循环移位后，所得到的码组仍然是 许用码组。
F x N x

Qx
Rx N x
则可以写为：F(x)≡R(x) （模N(x)）。
在循环码中，若A(x)是一个长为n的许用 码组，则在按模 xn 1 运算下，亦是一个许用
码组。例如，
x3 A7 x x3 x6 x5 x2 1 x9 x8 x5 x3 x5 x3 x2 x 模x7 1
其对应的码组为0101110，它正是下表中 第3码字。
（6）按照信道编码所采用的数学方法不 同，可以将它分为代数码、几何码和算术码。
随着数字通信系统的发展，可以将信道 编码器和调制器统一起来综合设计，这就是 所谓的网格编码调制。
1.1.2 差错控制方式
发
收
可以纠正错误的码
(a) 前向纠错(FEC)
发
能够发现错误的码
收
应答信号 (b) 检错重发(ARQ)
（2）按照信息码元和监督码元之间的检 验关系，可以将它分为线性和非线性码。
（3）按照信息码元和监督码元之间的约 束方式不同，可以将它分为分组码和卷积码。
（4）按照信息码元在编码后是否保持原 来的形式，可以将它分为系统码和非系统码。
（5）按照纠正错误的类型不同，可以将 它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。
1 1 1 0 1 0 0
0
1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 T 0
1 0 1 1 0 0 1
0
上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 ，其中
0 0 0 0 A a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1
a6 a6
1 1
a5 a5
1 a4 0 0 a4 1
a3 a3
1 a2 0 0 a2 1
a1 a1

0 0
a0 a0

0 0
1 a6 0 a5 1 a4 1 a3 0 a2 0 a1 1 a0 0
1、信源编码
2、信道编码（差错控制编码）
差错控制编码是在信息序列上附加上一 些监督码元，利用这些冗余的码元，使原来 不规律的或规律性不强的原始数字信号变为 有规律的数字信号；差错控制译码则利用这 些规律性来鉴别传输过程是否发生错误，或 进而纠正错误。
1.1.2 纠错编码的分类
（1）按照信道编码的不同功能，可以将 它分为检错码和纠错码。
纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码 字之间的距离，码的最小距离越大，说明码 字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。
分组码的最小汉明距离d0与检错和纠错 能力之间满足下列关系：
（1）当码字用于检测错误时，如果要检 测e个错误，则 d0 ≥ e+1；
（2）当码字用于纠正错误时，如果要纠 正t个错误，则 d0 ≥ 2t+1；
• 通过上述分析和演算可以得到了一个重要的结论：一个 长度为n的循环码，它必为按模（）运算的一个余式。
1.4.4 循环码的生成多项式和生成矩阵
循环码中次数最低的码多项式称为生成多 项式，用g(x)表示。可以证明生成多项式g(x) 具有以下特性：
（1） g(x)是一个常数项为1的 r n k次 多项式；
为了利用代数理论研究循环码，可以将
码组用代数多项是来表示，这个多项式被称
为码多项式，对于许用循环码A=(an-1 an-2 …
a1 a0)，可以将它的码多项式表示为：
A x

a xn1 n 1

a xn2 n2

a1x a0
若一个整数m可以表示为:
Fra Baidu bibliotek
m Q p p n Q是整数
1100101000
0
0100001101
0
0111100001
1
1001110000
0
1010101010
1
1100011110
0
二维奇偶监督码适于检测突发错码。二 维奇偶监督码不仅可用来检错，还可用来纠 正一些错码。
1.2.3 恒比码
恒比码又称等重码，该码的码字中1和0 的位数保持恒定的比例。具体情况见表8-3。
某些不足主要表现在：
（1）需要反向信道，故不能用于单向传 输系统，并且实现重发控制比较复杂；
（2）通信效率低，不适合严格实时传输 系统。
混合纠错方式是前向纠错方式和检错重 发方式的结合。
1.1.2 纠错编码的基本原理 信道编码有关的基本概念： 码长：码字中码元的数目； 码重：码字中非0数字的数目； 码距：两个等长码字之间对应位不同的数 目，有时也称作这两个码字的汉明距离。 最小码距：在码字集合中全体码字之间距 离的最小数值。
n
n
则在模n运算下，有m≡p（模n），同样
对于多项式而言：
1.4.2循环码的表示方法 • 一种（7，3）循环码的全部码字
• 表中的第7码字可以表示为：
1.4.3 模N运算
• 在整数运算中，有模n运算。例如，在模2 运算中，有1+1＝2≡0（模2），1+2＝3≡1 （模2），2×3＝6≡0（模2）等。因此，若 一个整数m可以表示为:
（3）若码字用于纠t个错误，同时检e个 错误时（e>t），则 d0≥ t+e+1。
编码效率Rc可以用下式表示：
Rc k n n r n 1 r n
Ae
B
A t 1t B
d0
d0
(a)
(b)
At 1 e
B
d0 (c)
1.2 常用简单分组码
1.2.1 奇偶监督码
可以表示成为（n，n-1）。如果是奇 监督码，在附加上一个监督元以后，码长 为n的码字中“1”的个数为奇数个；如果 是偶监督码，在附加上一个监督元以后， 码长为n的码字中“1”的个数为偶数个。
（2）码长n与监督元个数r之间满足关系
式：
。
n 通2r常1二进制汉明码可以表示为：
n,k 2r 1 , 2r 1 r
（7，4）系统汉明码的编码器和译码器
电路：
a6
a6
a5
a5
a4
a4
a3
a3
a2
a1
a0
b6
a6
b5
a5
b4
a4
b3
a3
b2
b1
误码指示
b0
S3
校正子计算器
• 在模n运算下，有m≡p（模n），也就是说， 在模n运算下，一整数m等于其被n除所得的 余数。
模N运算
• 码多项式系数可按模2运算，即只取值0和1，假设：计算 x4+x2+1除以x3+1的值可得：
• 在上述运算中，由于是模2运算，因此，加法和减法是等 价的，在式子中通常用加法运算符，具体模2运算的规则 定义如下：
（2） g(x)是 xn 1的一个因式； （3）该循环码中其它码多项式都是g(x) 的倍式。
为了保证构成的生成矩阵G的各行线性 不相关，通常用g(x)来构造生成矩阵，
xk1 gx

x
k 2

g
x
Gx


x gx
gx
因此，一旦生成多项 式g(x)确定以后，该循环 码的生成矩阵就可以确定。

1 1 1
a2
a1
a0 a6
a5
a4
a3
1 1
1 0
0 1
a6
a5
a4
a3 Q
0 1 1
这时Q = PT，如果在Q矩阵的左边在加上一
个k×k的单位矩阵，就形成了一个新矩阵G：
G Ik
1 0 0 0 1
Q 0 1 0 0 1