二元函数的连续性汇编
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§10.2 二元函数的极限与连续
lim f (P) A
P P0
0, 0, P D : 0 || P P0 || ,有 | f (P) A | ,
lim f ( x, y) A 0, 0, ( x, y) D：
x x0 y y0
｜x x0 | , ｜y y0 | , 且( x, y) ( x0 , y0 ), 有 | f (x, y) A | ,
若
lim
x0
zx
0,
则表示当固定 y y0 时, f ( x, y0 ) 作为 x 的函数, 它
在 x0 连续. 也称f ( x, y)在点( x0, y0 )关于自变量x连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
若
lim
y0
z
y
0,
则表示当 固定 x x0 时，f ( x0 , y) 在 y0 连续.
最小值和最大值， : m M，
则必存在P0 D，使得f (P0 ) .
定理8 (一致连续性) 若二元函数f (P)在有界闭区域 D R2上连续， 则f (P)在D一致连续.
f (P)在D一致连续 0, 0,P1, P2 D :
|| P1 P2 || ，有 | f (P1 ) f (P2 ) | .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
函数f (P)在点P0连续
lim
x 0
z
0
y0
如果在全改变量中取 x 0 或 y 0, 则相应得到的
改变量称为偏改变量, 分别记作
zx f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
zy f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
( x, y) :| x x0 | , | y y0 | ,有 | ( x, y) ( x0, y0 ) | , | ( x, y) ( x0, y0 ) | .
综合起来, 当| x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x, y), ( x, y)] f [( x0, y0 ), ( x0, y0 )] | . 所以 f [( x, y), ( x, y)] 在点 P0( x0 , y0 ) 连续.
0, 0, ( x, y) D：｜x x0 | ,
｜y y0 | , 有 | f ( x, y) f ( x0, y0 ) | .
2、用增量形式描述连续性
设P( x, y), P0 ( x0 , y0 ) D, x x x0 , y y y0 ,
z f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 称z为f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )的 全改变量.
3、二元连续函数的局部性质
定理2 若二元函数f (P)与g(P)在点P0连续，则
f (P) g(P), f (P) g(P),
f (P) g(P) ( g(P0 ) 0)
都在P0连续.
定理3 (复合函数的连续性) 若函数u ( x, y)和
v ( x, y)在点P0( x0,y0 )连续，且二元函数f (u,v)在 (u0 ,v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，则复合函数
则称函数f (P)在点P0连续.
定义2 若二元函数 f (P)在 D 上任何点都连续,则称
f (P)在D连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
设P( x, y), P0( x0 , y0 )
函数f (P)在点P0连续
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
二、二元函数的连续性
1、连续的概念
定义1 设 f(P) 为定义在点集 D R2 上的二元函数,
P0 D.
若 lim P P0
f (P)
f (P0 )
即 0, 0, P D :|| P P0 || ,有
| f (P) f (P0 ) |
0,
x2 y2 0
lim
x0
f
x,0 lim x0
x0 x2 0
0
f
0,0 ,
f x, y关于变量x在0, 0点连续.
lim
y0
f
0,
y
lim
y0
0 0
y y2
0
f
0,0 ,
f x, y关于变量y在0, 0点连续.
但函数在原点(0,0)不存在极限.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
f [ ( x, y), ( x, y) ]在点P0( x0,y0 )也连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
证： f (u, v)在(u0 , v0 )连续，即 0, 0,(u, v) :
| u u0 | , | v v0 | ,有 | f (u, v) f (u0 , v0 ) | . 又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 0, 0,
D RFra Baidu bibliotek 上连续, 则 f (P)在 D上有界 . 定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f (P)在有界闭区域 D R2上连续， 且m和M分别是函数f (P)在D的
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理4 (局部保号性) 若二元函数f (P)在点P0连续，且
f (P0 ) 0, 则 0,P U (P0 , ) D,有f (P) 0.
4、有界闭区域上连续函数的性质
有界性，最值性，介值性，一致连续性 定理5 ( 有界性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
也称f ( x, y)在点( x0, y0 )关于自变量y连续.
注: 若f x, y 关于双变量连续，则f x, y 关于每一变量
都连续。但反之f ( x, y)关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
例如f
(
x,
y)
x2
xy
y2
,
x2 y2 0
lim f (P) A
P P0
0, 0, P D : 0 || P P0 || ,有 | f (P) A | ,
lim f ( x, y) A 0, 0, ( x, y) D：
x x0 y y0
｜x x0 | , ｜y y0 | , 且( x, y) ( x0 , y0 ), 有 | f (x, y) A | ,
若
lim
x0
zx
0,
则表示当固定 y y0 时, f ( x, y0 ) 作为 x 的函数, 它
在 x0 连续. 也称f ( x, y)在点( x0, y0 )关于自变量x连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
若
lim
y0
z
y
0,
则表示当 固定 x x0 时，f ( x0 , y) 在 y0 连续.
最小值和最大值， : m M，
则必存在P0 D，使得f (P0 ) .
定理8 (一致连续性) 若二元函数f (P)在有界闭区域 D R2上连续， 则f (P)在D一致连续.
f (P)在D一致连续 0, 0,P1, P2 D :
|| P1 P2 || ，有 | f (P1 ) f (P2 ) | .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
函数f (P)在点P0连续
lim
x 0
z
0
y0
如果在全改变量中取 x 0 或 y 0, 则相应得到的
改变量称为偏改变量, 分别记作
zx f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
zy f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
( x, y) :| x x0 | , | y y0 | ,有 | ( x, y) ( x0, y0 ) | , | ( x, y) ( x0, y0 ) | .
综合起来, 当| x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x, y), ( x, y)] f [( x0, y0 ), ( x0, y0 )] | . 所以 f [( x, y), ( x, y)] 在点 P0( x0 , y0 ) 连续.
0, 0, ( x, y) D：｜x x0 | ,
｜y y0 | , 有 | f ( x, y) f ( x0, y0 ) | .
2、用增量形式描述连续性
设P( x, y), P0 ( x0 , y0 ) D, x x x0 , y y y0 ,
z f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 称z为f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )的 全改变量.
3、二元连续函数的局部性质
定理2 若二元函数f (P)与g(P)在点P0连续，则
f (P) g(P), f (P) g(P),
f (P) g(P) ( g(P0 ) 0)
都在P0连续.
定理3 (复合函数的连续性) 若函数u ( x, y)和
v ( x, y)在点P0( x0,y0 )连续，且二元函数f (u,v)在 (u0 ,v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，则复合函数
则称函数f (P)在点P0连续.
定义2 若二元函数 f (P)在 D 上任何点都连续,则称
f (P)在D连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
设P( x, y), P0( x0 , y0 )
函数f (P)在点P0连续
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
二、二元函数的连续性
1、连续的概念
定义1 设 f(P) 为定义在点集 D R2 上的二元函数,
P0 D.
若 lim P P0
f (P)
f (P0 )
即 0, 0, P D :|| P P0 || ,有
| f (P) f (P0 ) |
0,
x2 y2 0
lim
x0
f
x,0 lim x0
x0 x2 0
0
f
0,0 ,
f x, y关于变量x在0, 0点连续.
lim
y0
f
0,
y
lim
y0
0 0
y y2
0
f
0,0 ,
f x, y关于变量y在0, 0点连续.
但函数在原点(0,0)不存在极限.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
f [ ( x, y), ( x, y) ]在点P0( x0,y0 )也连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
证： f (u, v)在(u0 , v0 )连续，即 0, 0,(u, v) :
| u u0 | , | v v0 | ,有 | f (u, v) f (u0 , v0 ) | . 又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 0, 0,
D RFra Baidu bibliotek 上连续, 则 f (P)在 D上有界 . 定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f (P)在有界闭区域 D R2上连续， 且m和M分别是函数f (P)在D的
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理4 (局部保号性) 若二元函数f (P)在点P0连续，且
f (P0 ) 0, 则 0,P U (P0 , ) D,有f (P) 0.
4、有界闭区域上连续函数的性质
有界性，最值性，介值性，一致连续性 定理5 ( 有界性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
也称f ( x, y)在点( x0, y0 )关于自变量y连续.
注: 若f x, y 关于双变量连续，则f x, y 关于每一变量
都连续。但反之f ( x, y)关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
例如f
(
x,
y)
x2
xy
y2
,
x2 y2 0