高中数学第一章推理与证明11归纳与类比类比推理北师大版2-2
高中数学第1章1归纳与类比课件北师大选修22
利用类比推理得出的结论不一定是正确的.一般地,如果 类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间 越相关,那么类比得出的结论就越可靠.
1.归纳推理的几个注意点: (1)归纳的个别情况越多,越具有代表性,得出的一般性结 论越可靠. (2)归纳推理的思维过程大致如下:实验、观察→概括、推 广→猜测一般性结论. (3)归纳法的划分:根据归纳的对象是否完备,归纳法可分 为完全归纳法和不完全归纳法.
(4)完全归纳法:完全归纳法是通过对某类事物中的每一个 对象或每一个子类的考察,从中概括出关于该类事物的一般性 结论的推理.
(5)不完全归纳法:不完全归纳法是通过对某类事物中的一 部分对象或一部分子类的考察,从中概括出关于该类事物的一 般性结论的推理.
(6)说明:①归纳推理是从特殊到一般的过程. ②完全归纳法考察了某类事物的每一个对象或每一个子类 的情况,因而由正确的前提必然能得到正确的结论,所以完全 归纳法可以作为数学上严格证明的工具,在数学解题中有着广 泛的应用. ③不完全归纳法是对某类事物中的一部分对象或一部分子 类进行考察,前提和结论之间未必有必然的联系.由不完全归 纳法得到的结论不一定正确,因此,结论的正确与否,还需要 经过严格的理论证明或实践检验. 在本节中,如无特别说明,归纳法都是指不完全归纳法.
2.对类比推理的几个注意点 (1)类比推理是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干 相同或相似之处之后,推测在其他方面也可能存在相同或相似 之处的一种推理模式. 类比推理的关键在于明确指出两类对象在某些方面的相似 特征. (2)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个 明确的命题(或猜想).
高中数学北师大版选修2-2第1章 知识归纳:归纳与类比
归纳与类比1. 推理按照一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部份组成,一部份是已知的事实(或假设)叫做前提,一部份是由已知推出的判断,叫结论.2.合情推理(1)归纳推理:由某类事物的部份对象具有的某些特征,推出该类事物的全数对象都具有这些特征的推理,或由个别事实归纳出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部份到整体、由个别到一般的推理.归纳推理是从特殊到一般的推理方式,通常归纳的个体数量越多,越具有代表性,那么推行的一般性命题也会越靠得住,它是一种发觉一般性规律的重要方式.(2)类比推理:也成为类比,是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻觅事物之间的一路或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越靠得住.(3)归纳推理和类比推理都是按照已有的事实,通过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理.合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中,取得一个新结论之前,合情推理常常能够帮忙咱们猜想和发觉结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为咱们提供证明的思路和方向.可是,合情推理的结论不必然正确,有待进一步证明.3. 演绎推理(1)演绎推理:从一般性的原理动身,推出某个特殊情形下的结论的推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)三段论是演绎推理的一般模式,它包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情形;③结论——按照一般原理,对特殊情形做出的判断.(3)演绎推理在大前提、小前提和推理形式正确的前提下,取得的结论必然是正确的.(4)公理化方式:尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(千米、公设),以此为起点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方式.4. 合情推理与演绎推理之间的关系就数学而言,演绎推理是证明数学结论、成立数学体系的重要思维进程,但数学结论、证明思路的发觉,主要靠合情推理.5.合情推理与演绎推理是解题中常常利用的思想和方式,要好好掌握.1.在进行类比推理时,常常需要寻觅适合的类比对象,而且能够从不同的角度肯定类比对象.但大体原则是按照当前问题的需要,选择适当的类比对象.2.应用三段论解决问题是,第一应该明确什么是大前提和小前提.。
高中数学 第一章 推理与证明整合课件 北师大版选修2-2
∵ PD⊥AC,PD⊥BD,AC∩BD=D,∴ PD⊥平面 ABC.
-8-
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专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 2】 求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 比正方形的面积大. 证明:设圆和正方形的周长均为 l,则 圆的面积为 π 立, 即证 成立. 因此,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比正方 形的面积大.
2π 3
4π 3
+
+(4x-z2-2π)=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.
因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0, 所以-4π+12≥0, 即 4π≤12,这与基本事实 4π>12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零.
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【例题 1】 如图,已知两直线 l∩m=O,l⫋ α,m⫋ α,l⊈ β,m⊈ β,α∩β=a.求 证:l 与 m 中至少有一条与 β 相交.
思路分析:结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证 法.
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专题四
专题二 分析法与综合法
分析法与综合法各有其特点.有些具体的证明题,用分析法或综合法都 可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种. 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据 条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化 条件,得到中间结论 P.若由 Q 可以推出 P 成立,就可以证明结论成立.
高中数学 第一章 推理与证明章末归纳总结课件 北师大版选修2-2
用P表示已知条件及已有的定义、公理、定理等,Q表示 所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:
得到一个明显 Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 … 成立的条件
综合法可用框图表示为: P⇒Q1 Q1⇒Q2 Q2⇒Q3 … Qn⇒Q
2.反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相 反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛 盾,从而否定与结论相反的假设,达到肯定原命题正确的一种 方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷 举反证法(结论的反面不只一种). 用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设; (2)归谬;(3)存真.
有f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-x
2 1
-x
2 2
=2x1x2≥0,即
f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2) ∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数.
对于f(x)= x,x∈[0,1],显然满足条件①②.
对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1, 有f2(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]2=(x1+x2)-(x1+2 x1x2 +x2)= -2 x1x2≤0, 即f2(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]2. ∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不满足条件③.
不一定正确, 有待证明
在前提和推理形式都正 确的前提下,结论一定 正确
作 猜测和发现结论、探索和提供证 证明数学结论,建立数
用 明思路
学体系的重要思维过程
二、数学问题的证明 1.综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法, 应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析 法就可以帮助我们克服这种困难.在实际证明问题时,应当把 分析法和综合法综合起来使用,转换解题思路,增加解题途 径。
高中数学第一章推理与证明11归纳与类比教材基础素材北师大版2-2!
§1概括与类比在平时生活中 , 人们经常需要进行各种各种的推理 . 如医生诊疗病人的病症 , 警察侦破案件, 数学家论证命题的真假等 , 此中都包括了推理活动 . 在数学中 , 证明的过程更离不开推理 .本节就开始学习有关数学推理的知识.能手支招 1 细品教材一、推理1.推理的观点依据一个或几个已知的事实 ( 或假定 ) 得出一个判断 , 这种思想方式叫推理 . 推理一般由两部分构成 : 前提和结论 .状元笔录合情推理中,目前提为真时, 结论可能为真 , 也可能为假 .2.合情推理(1)目前提为真时 , 结论可能为真的推理 , 叫做合情推理 .合情推理是指“符合情理”的推理 . 数学研究中 , 获得一个新结论以前 , 合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论 ; 证明一个数学结论以前 , 合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向 , 其推理过程为:(2)两种合情推理 : 概括推理和类比推理 .二、概括推理1.观点依据一类事物的部分事物拥有某种性质 , 推出这种事物中每一个都拥有这种属性的推理方式 , 叫做概括推理 ( 有时简称概括 ). 概括推理是从个别到一般 . 由部分到整体的过程 .状元笔录概括推理的前提与结论不拥有必定性联系, 其结论不必定正确.2.特色(1) 概括推理的前提是几个已知的特别现象, 概括所得的结论是尚属未知的一般现象, 该结论超越了前提所包含的范围.(2) 由概括推理获得的结论拥有猜想的性质, 结论能否真切, 还需要经过逻辑证明和实践查验.所以 , 它不可以作为数学证明的工具.(3)概括推理是一种拥有创建性的推理 . 经过概括推理获得的猜想 , 能够作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题 .3. 概括推理的步骤其一般步骤为:(1)经过察看个别状况发现某些同样性质;(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题.示例 : 已知 : 数列 {a } 的第 1 项 a =1, 且 a =a n(n=1,2,3,,),试概括出这个数列的通项公n1n+11a n式.思路剖析:数列 {a n} 的通项公式是第 n 项 a n与序号 n 之间的对应关系 , 我们能够先依据已知条件算出数列 {a n} 的前几项 , 而后去概括出一般性的公式 .1111, 当 n=4解 : 当 n=1 时 ,a 1=1, 当n=2 时 ,a 2=, 当 n=3 时 ,a 3=21121 3121 1时,a =3, ,,41 413经过察看可得 : 数列的前四项都等于相应序号的倒数, 由此概括出 :a n = 1.n三、类比推理 1. 观点两类不一样对象拥有某些近似的特色 , 在此基础上 , 依据一类对象的其余特色 , 推测另一类对象也拥有近似的其余特色 , 这种推理叫做类比推理 ( 简称类比 ).类比推理是数学推理的一种重要形式, 它的本质是依据两对象之间的相像 , 把信息从一 个对象转移到此外一个对象 , 类比推理不单是一种从特别到特别的推理方法, 也是一种探究解题思路、猜想问题答案或结论的一种有效的方法 . 这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用 .2. 特色(1) 类比推理是由特别到特别的推理 .(2) 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特色, 推测正在被研究的事物的特色 , 所以 , 类比推理的结果拥有猜想性 , 不必定靠谱 .(3) 类比推理以旧的知识作基础 , 推测新的结果 , 拥有发现的功能 . 类比推理在数学发现中有重要作用 .(4) 因为类比推理的前提是两类对象之间拥有某些能够清楚定义的近似特色,所以进行类比 推理的重点是明确地指出两类对象在某些方面的近似特色.状元笔录类比推理是一种由特别到特别的推理形式, 目的是找寻事物之间的共同或相像性质, 它是一种似真推理 . 类比推理的结论需要进一步证明其正确性, 类比的性质相像性越多, 相像的性质与推测的性质之间就越有关 , 进而类比得出的结论就越靠谱 .比如,据科学史上的记录 , 光波观点的提出者 , 荷兰物理学家、 数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较 , 发现它们拥有一系列同样的性质: 如直线流传、 有反射和干扰等 . 又已知声是由一种周期运动所惹起的、 呈颠簸的状态 , 由此 , 惠更斯作出推理 , 光也可能有呈颠簸状态的属性 , 进而提出了光波这一科学观点. 惠更斯在这里运用的推理就是类比推理.3. 类比推理的步骤其一般步骤为 :(1) 找出两类事物之间的相像性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 , 得出一个明确的命题 ( 猜想 ). 状元笔录类比推理是两类事物特色之间的推理, 利用类比推理得出的结论可能是正确的 , 也可能是错误的 .【示例】类比平面内正三角形的“三边相等 , 三内角相等”的性质, 可推知正四周体的以下哪些性质 , 你以为比较适合的是()①各棱长相等 , 同一极点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形, 同一极点上的任两条棱的夹角都相等 .A.①B.①②C.①②③D.③思路剖析:因为正三角形的边和角能够与正四周体的面( 或棱 ) 和相邻的两面成的二面角( 或共极点的两棱夹角) 类比 , 所以①②③都适合.答案: C能手支招 2 基础整理推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思想形式. 任何推理都由前提和结论两部分构成 , 前提与结论的关系是原由与推测 . 原由与结果的关系 . 本节则主要叙述合情推理的两种种类 : 概括推理和类比推理 . 其主要知识构造以下 :。
高中数学选修2-2北师大版教案:1.1+归纳与类比+1.2+类比推理 (2)
课时教案科目:数学教师:授课时间:第1周星期年2月15日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。
读大海,读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。
矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。
井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。
笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。
山中的石!当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!当你随波逐流后,根基就没了。
空中的鸟!当你展翅蓝天中,宇宙就大了。
空中的雁!当你离开队伍时,危险就大了。
地下的煤!你燃烧自己后,贡献就大了6、朋友是什么?朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。
【精品学习】高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比演绎推理教案北师大版选修2_2
演绎推理一、教学目标 1、知识与技能:(1)了解演绎推理 的含义;(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理; (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2、方法与过程:认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。
3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。
二、教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点:了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习准备:1. 练习: ① 对于任意正整数n ,猜想(2n -1)与(n +1)2的大小关系? ②在平面内,若,a c b c ⊥⊥,则//a b . 类比到空间,你会得到什么结论?(结论:在空间中,若,a c b c ⊥⊥,则//a b ;或在空间中,若,,//αγβγαβ⊥⊥则) 2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗?合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢? 3. 导入:(小前提)是二次函数函数12++=x x y(二)、新课探析 1.概念:① 概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。
要点:由一般到特殊的推理。
② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别?合情推理⎧⎨⎩归纳推理:由特殊到一般类比推理:由特殊到特殊;演绎推理:由一般到特殊.③ 提问:观察上面导入的表格,它们都由几部分组成,各部分有什么特点?2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包括 ⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 三段论的基本格式M —P (M 是P ) (大前提) S —M (S 是M ) (小前提) S —P (S 是P )(结论)3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. ④ 举例:举出一些用“三段论”推理的例子. 2.例题探析:21.1y x x =++例把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。
2018年高中数学 第一章 推理与证明 1.1.1 归纳推理课件2 北师大版选修2-2
归纳推理的作用
• 应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论! • 归纳推理是科学发现的重要途径!
牛顿说:“没有大 胆的猜测,就不会 有伟大的发现
例1.已知数列{an}的第1项a1=1,且
an1
1
an an
(n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
练习1.
f(n)1111(nN*),计算
f (2) > 3
2
23
f (4)> 2
n
f (8)>
5
2
f (16)> 3
f (32)> 7
2
…则当n
2时,有
f(2n)n2(nN) 2
2
2.已知数列{an}的前n项和Sn , a 1
1
Sn
Sn
2an(n2).
计算S1
2
1
3
n=1时, f (1) 1
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=3时, f ( 3 ) 3 1 3
4.一组数2,4,6,8,‥‥‥
猜想:第n个数为2n
归纳推理
尝第一个杨
梅都是甜的 尝第二个杨
这一篮杨 梅都是甜 的
梅都是甜部的 分
铜能导电
铝能导电 金能导电
整 银能导电
一切金属 都能导电.
体
个别
高中数学第一章推理与证明全套教案北师大版选修2-2
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
例 3. 在平面上 , 设 ha,h b,h c 是三角形 ABC三条边上的高 .P 为三角形内任一点 ,P 到相应三边的距离分别为
pa ,p b,p c, 我们可以得到结论 : 试通过类比 , 写出在空间中的类似结论 .
pa pb pc 1 ha hb hc
巩固提高
用心 爱心 专心
-------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
2.类比平面内直角三角形的勾股定理 , 试给出空间中四面体性质的猜想.
类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似 的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 (三)情感态度与价值观: 1.正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质 的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。 2.认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确数学意识。 ●教学重点: 了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 ●教学难点: 用类比进行推理,做出猜想。 ●教具准备: 与教材内容相关的资料。 ●课时安排: 1 课时 ● 教学过程:
第一章 推理与证明
合情推理(一)——归纳推理
课时安排 :一课时
课型 :新授课
教学目标 :
1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的基本方法与步
骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。
高中数学北师大版选修2-2第1章《归纳与类比》ppt参考课件
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天,僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上, 那么世界末日就来临了.
请你试着推测:把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则
n =1时,a1 = 第1个圆环从1到3.
例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和 棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F)
4 5 5
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
顶点数(V)
4 5 6
棱数(E)
6 8 9
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
a
c
s1 o s2 s3
Cb
A
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果,具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
1
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则
n =1时,a1 =1 第1个圆环从1到3. n=2时,a2 =3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
【数学】1.1.2 类比推理 课件(北师大版选修2-2)
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗?
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质:
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质:
(1) a>ba+c>b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a>b ac>bc;
(3) a>ba2>b2;等等。
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
单位元
a+0=a
通过例1,练习1你能得到类比推理的一般模式吗?
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同) 所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出 空间中四面体性质的猜想.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或 一致性); ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质, 从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
高中数学北师大版选修2-2课件:1 归纳推理
7 7
9
15 15
16
15
10 9
小结: 归纳推理的特点:
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结 论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实 还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明 的工具.
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的 猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和 16 提出问题.
上述3个案例的推理各有什么特点
4
二.新课: 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.
5
2.例题: 例1.前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟 是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物,
结论: 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比
1
Ⅰ、教学目标 1.知识与技能:(1)结合已学过的数学实例,了解归纳推 理的含义;(2)能利用归纳进行简单的推理;(3)体会并认 识归纳推理在数学发现中的作用. 2.方法与过程:归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法, 通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性 命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 3.情感态度与价值观:通过本节学习正确认识合情推理在数 学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析事物、发 现事物之间的质的联系的良好品质, 善于发现问题,探求新知识。 Ⅱ、教学重点:了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单 的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。 Ⅲ、教学方法:探析归纳,讲练结合 Ⅳ、教学过程
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理课件北师大版选修2_2
������2+������2+������2
2.
答案:
������2+������2+������2 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型三 解析几何中的类比推理
3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.
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1.类比推理
(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一
类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值 − ������������22.
(2)在双曲线中的推广:过双曲线
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
把这种推理过程称为类比推理.
(2)类比推理是两类事物特征之间的推理.
(3)利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
【做一做1】 在平面中,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们
的面积比为1∶4;类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为
1∶2,则它们的体积比为
2018_2019学年高中数学第一章推理与证明本章整合课件北师大版选修2_2ppt版本
专题一 专题二 专题三 专题四
证明:∵tan(α+β)=2tan β,
sin(������ + ������) 2sin������ ∴ cos(������ + ������) = cos������ .
∴sin(α+β)cos β=2cos(α+β)sin β. ∴sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =cos(α+β)sin β. ∴sin[(α+β)-β]=cos(α+β)sin β, 即cos(α+β)sin β=sin α. ∴sin(α+β)cos β=2sin α. ∴sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=3sin α, 即3sin α=sin(α+2β).
������=1
+ ������1������ + ������0,
可以推测,当
k≥2(k∈N+)时,ak+1=
1 ������+1
,
������������
=
1 2
,
������������
−
1
=
_______, ������������ − 2 = ______.
专题一 专题二 专题三 专题四
-8·(x-4),
即
-5 ������������ +
2
=
������
−
4,
所以 x= 4���������������������+���+23,
故 xn+1= 4������������������������++23.
高中数学 第一章 推理与证明 1.2.2 分析法课件 北师大版选修2-2
2.分析法证明的思维过程 用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图 表示为:
66
【思考】 分析法的推理过程是归纳推理或类比推理吗? 提示:不是归纳推理或类比推理,是演绎推理.
77
3.分析法和综合法的对比
分析法 综合法 联系
优点
缺点
思考起来比较自然,容易寻找 思路逆行,叙
到解题的思路和方法
4455
(2)要证a2+b2+c2<2S,即证a2+b2+c2-2ab-2bc2ac<0,即证(a2-ab-ac)+(b2-ab-bc)+(c2-acbc)<0,即证a[a-(b+c)]+b[b-(a+c)]+c[c(a+b)]<0. 因为a,b,c为任意三角形的三边长,所以a>0, b>0,c>0,且a+b>c,a+c>b,b+c>a,
法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法
是逆推法.
其中正确的表述有 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
1122
【解析】选C.结合综合法和分析法的定义可知①②③ ⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不 正确.
1133
3.下列条件①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,
2299
【思维·引】 可用分析法找途径,用综合法由条件顺次推理,易于 使条件与结论联系起来.
3300
2a= x y,
【证明】由已知条件得
b
2=
cx,
c
2=
by.
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类比推理
一、教学目标
1、知识与技能:
(1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义;
(2)能利用类比进行简单的推理;
(3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2、方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在探究活动中:类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
3、情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类比,发现新问题、新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。
培养分析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。
二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。
教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法:探析归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。
我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
①归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子方法归纳。
(二)、引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。
又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。
惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
(三)、例题探析
例1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗?
解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。
得到猜测:正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
例2:根据平面几何的勾股定理,试类比地猜测出空间中相应的结论。
解:平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。
如图,在四面体P -ABC
中,平面PAB 、平面PBC 、平面PCA 两两垂直
勾股定理:斜边长的平方等于两个直角边的平方和。
类比到空间就是:△ABC 面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。
即:2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=
在上述各例的推理过程中,都有共同之处:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理。
注意:利用类比推理得出的结论不一定是正确的。
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式。
(四)、巩固练习:
练习1、已知实数加法满足下列运算规律:(1)a b b a +=+;(2)()()c b a c b a ++=++. 类比实数的加法运算律,列出实数的乘法与加法相似的运算律.
练习2、我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列?
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义;(2)探索等和数列{}n a 的奇数项和偶数项有什么特点;(3)等和数列{}n a 中,如果 求前n 项和. 练习3、若数列{}n a 是等差数列,且12...,n n a a a b n
+++=则{}n b 也是等差数列。
类比上述性质,相应地,数列{}n c 是等比数列,且0n c >,___________n d =,则{}n d 也是等比数列(以上*
n N ∈) 练习4、在ABC ∆中,若,,AC BC AC b BC a ⊥==,则ABC ∆
的外接圆半径r =,将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体S ABC -中,若SA SB SC 、、两两互相垂直,,,SA a SB b SC c ===,则四面体S ABC -的外接球半径R =( )
A
B
C
D
12,a a a b
==
练习5、类比解答(1)、(2):(1)求证:1tan tan 41tan x x x
π+⎛
⎫+= ⎪-⎝⎭;(2)设,x R a ∈为非零常数,且()1(),1()
f x f x a f x ++=-试问:()f x 是周期函数吗?证明你的结论。
(五)、小结:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理。
注意:利用类比推理得出的结论不一定是正确的。
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式。
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理。
(六)作业:课本课本7P 练习:2.课本7P 习题1-1:4.
五、教后反思:。