高中数学选修1-2第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

1.2 类比推理

一、教学目标

1.知识与技能： （1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；

（2）能利用类比进行简单的推理；

（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作

用。

2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在

探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的

关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类

比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分

析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证

成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学

生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某

种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理

方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；

2.典型例子方法归纳。

（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物

理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发

现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知

声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推

理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）例题探析

例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？

解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。

解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体P-ABC中，平面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直

勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。

类比到空间就是：△ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方

和。

即：

在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有

某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类

对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比

推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的

经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测

出某些结果的推理方式。

(四) 巩固练习：

练习1已知实数加法满足下列运算规律：（1）；

（2）．

类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．

练习2 我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列?

(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；

(2)探索等和数列的奇数项和偶数项有什么特点；

练习3若数列是等差数列，且则也是等差数列。类比上述性质，相应

地，数列是等比数列，且，，则也是等比数列（以上）

练习4在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正

确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径( )

A． B． C． D．

练习5类比解答（1）（2）：（1）求证：；

（2）设为非零常数，且试问：是周期函数吗？证明你的结论。

（五）小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

（六）作业：1.课本P57练习：2．课本。P57习题3-1：4,5

五、教后反思：