高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.2类比推理课件
归纳与类比课件
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1.数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是(
A.an=2n-1
)
B.an=2n-1
C.an=2n-1-1
答案: C
D.an=2n-1+1
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
2.下列说法正确的是( A.合情推理就是归纳推理
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
5.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:
“________________”,这个类比命题的真假性是________.
解析: 由类比推理可知.
答案: 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
工具
答案:
f3(x)=
x 1-22x
fn(x)=
x - (n∈N+) 1-2n 1x
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1.类比推理是由特殊到特殊的推理,其命题有其特点和求解规律, 可以从以下几个方面考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构.
2.类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定
答案:
3
6
15
nn-1 2
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
x 【变式训练】 1.已知: f(x)= , f1(x)=f(x),n(x)=fn-1[fn-1(x)](n 设 f 1-x >1 且 n∈N+),则 f3(x)的表达式为______________,猜想 fn(x)(n∈N+) 的表达式为________.
高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2
1.2 类比推理类比推理三角形有下面两个性质:(1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1:你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗?试写出来. 提示:(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2:由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么?提示:由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征,即由特殊到特殊.定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在被研究中的事物的特征.所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠;2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.平面图形与空间几何体的类比[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦; (2)与圆心距离相等的两弦长相等; (3)圆的周长C =πd (d 是直径); (4)圆的面积S =πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比,一般是点类比线、线类比面、面积类比体积. [精解详析] 圆与球有下列相似的性质:(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合;球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合.(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形;球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.通过与圆的有关性质类比,可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C =πd 球的表面积S =πd 2圆的面积S =πr 2球的体积V =43πr 3[一点通] 解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何中,相关类比点如下:平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形平行六面体圆球1.下面类比结论错误的是( )A .由“若△ABC 一边长为a ,此边上的高为h ,则此三角形的面积S =12ah ”类比得出“若一个扇形的弧长为l ,半径为R ,则此扇形的面积S =12lR ”B .由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C .由“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中,垂直于同一个平面的两个平面平行”D .由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析:选C 只有C 中结论错误,因为两个平面还有可能相交.2.如图所示,在△ABC 中,射影定理可表示为a =b ·cos C +c ·cos B ,其中a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.解:如图所示,在四面体P ABC 中,S 1,S 2,S 3,S 分别表示△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC 的面积,α,β,γ依次表示平面PAB ,平面PBC ,平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S =S 1·cos α+S 2·cos β+S 3·cos γ.定义、定理与性质的类比[例2][精解详析] ①两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是向量; ②从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律, 即:a +b =b +a ,a +b =b +a ,(a +b )+c =a +(b +c ),(a +b )+c =a +(b +c ); ③从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算, 即a +x =0与a +x =0都有唯一解,x =-a 与x =-a ;④在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a +0=a .在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,也不改变该向量的方向,即a +0=a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,本例中实数加法的对象为实数,向量加法的对象为向量,且都满足交换律与结合律,都存在逆运算,而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位.因此我们可以从这四个方面进行类比.3.试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a =b ⇒a +c =b+c① a =b ⇒ac =bc ② a =b ⇒a 2=b 2③答案:①a >b ⇒a +c >③a >b >0⇒a 2>b 2(说明:“>”也可改为“<”)4.已知等差数列{a n }的公差为d ,a m ,a n 是{a n }的任意两项(n ≠m ),则d =a n -a mn -m,类比上述性质,已知等比数列{b n }的公比为q ,b n ,b m 是{b n }的任意两项(n ≠m ),则q =________.解析:∵a n =a m qn -m,∴q =⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n -m.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n -m1.类比推理先要寻找合适的类比对象,如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法,类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法,归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想,许多数学知识都是通过归纳与类比发现的.1.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A .三角形 B .梯形 C .平行四边形D .矩形解析:选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑,用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适.2.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c;类比这个结论可知:四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为r ,四面体P ABC 的体积为V ,则r =( )A.VS 1+S 2+S 3+S 4B.2VS 1+S 2+S 3+S 4C.3V S 1+S 2+S 3+S 4 D.4VS 1+S 2+S 3+S 4解析:选C 设内切球的球心为O ,所以可将四面体P ABC 分为四个小的三棱锥,即O ABC ,O PAB ,O PAC ,O PBC ,而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P ABC 的四个面的面积,高是内切球的半径,所以V =13S 1r +13S 2r +13S 3r +13S 4r =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r ,∴r =3VS 1+S 2+S 3+S 4.3.已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为( )A .a 1a 2a 3…a 9=29B .a 1+a 2+…+a 9=29C .a 1a 2…a 9=2×9D .a 1+a 2+…+a 9=2×9解析:选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9=b 95,可得在等差数列{a n }中a 1+a 2+…+a 9=9a 5=9×2.4.类比三角形中的性质: ①两边之和大于第三边; ②中位线长等于底边长的一半; ③三内角平分线交于一点. 可得四面体的对应性质:①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14;③四面体的六个二面角的平分面交于一点. 其中类比推理方法正确的有( ) A .① B .①② C .①②③D .都不对解析:选C 以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确.5.在△ABC 中,D 为BC 的中点,则AD ―→=12()AB ―→+AC ―→ ,将命题类比到四面体中去,得到一个命题为:______________________________________..解析:平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心,顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线.答案:在四面体A BCD 中,G 是△BCD 的重心,则AG ―→=13()AB ―→+AC ―→+AD ―→ 6.运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ,那么甲的面积是乙的面积的k 倍.你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理.现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2+y 2b2=1(a >b>0)与x 2+y 2=a 2,运用上面的原理,图③中椭圆的面积为__________.解析:由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a, 即k =b a,所以椭圆面积S =πa 2·b a=πab . 答案:πab7.在Rt △ABC 中,若∠C =90°,则cos 2A +cos 2B =1,在空间中,给出四面体性质的猜想.解:如图,在Rt △ABC 中,cos 2A +cos 2B =⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2=a 2+b2c 2=1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中,我们猜想,三棱锥P A ′B ′C ′中,若三个侧面PA ′B ′,PB ′C ′,PC ′A ′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.8.在公比为4的等比数列{b n }中,若T n 是数列{b n }的前n 项积,则T 20T 10,T 30T 20,T 40T 30也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地在公差为3的等差数列{a n }中,若S n 是{a n }的前n 项和.(1)写出相应的结论,判断该结论是否正确,并加以证明; (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明).解:(1)在公差为3的等差数列{a n }中,若S n 是{a n }的前n 项和,则数列S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30也是等差数列,且公差为300.该结论是正确的.证明如下:∵等差数列{a n }的公差d =3, ∴(S 30-S 20)-(S 20-S 10)=(a 21+a 22+…+a 30)-(a 11+a 12+…+a 20) =10d +10d +…+10d =100d =300,10个同理可得:(S 40-S 30)-(S 30-S 20)=300,所以数列S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30是等差数列,且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中, 若S n 是{a n }的前n 项和, 则对于任意k ∈N +, 数列S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,S 4k -S 3k 也成等差数列,且公差为k 2d .9.先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a 1,a 2∈R ,a 1+a 2=1,求证a 21+a 22≥12.证明:构造函数f (x )=(x -a 1)2+(x -a 2)2, 则f (x )=2x 2-2(a 1+a 2)x +a 21+a 22=2x 2-2x +a 21+a 22. 因为对一切x ∈R ,恒有f (x )≥0,所以Δ=4-8(a 21+a 22)≤0,所以a 21+a 22≥12.(1)若a 1,a 2,…,a n ∈R ,a 1+a 2+…+a n =1,请写出上述结论的推广式; (2)类比上述证法,对你推广的结论加以证明. 解:(1)若a 1,a 2,…,a n ∈R ,a 1+a 2+…+a n =1, 求证:a 21+a 22+…+a 2n ≥1n.(2)证明:构造函数f (x )=(x -a 1)2+(x -a 2)2+…+(x -a n )2,则f (x )=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x +a 21+a 22+…+a 2n =nx 2-2x +a 21+a 22+…+a 2n . 因为对一切x ∈R ,恒有f (x )≥0, 所以Δ=4-4n (a 21+a 22+…+a 2n )≤0.。
高中数学选修1-2第三章 推理与证明1_归纳与类比1_2类比推理-精选学习文档
1.2 类比推理一、教学目标1.知识与技能:(1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义;(2)能利用类比进行简单的推理;(3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2.方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在探究活动中:类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
3.情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类比,发现新问题、新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。
培养分析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。
二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。
教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一)复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。
我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
1.归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般;2.典型例子方法归纳。
(二)引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。
又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。
惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
(三)例题探析例1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗?解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。
得到猜测:正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
北师版数学高二选修1-2课件 归纳与类比
an=a1qn-1
性质 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 若m+n=p+q,则am·an=ap·aq
跟踪训练3 若数列{an}(n∈N+)是等差数列,则有数列bn=a1+a2+n …+an (n∈N+)也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列{cn}是等比数列, 且cn>0,则有数列dn=_n_c_1_c_2c_3_…_c_n_(n∈N+)也是等比数列.
解答
(1)类比推理的一般步骤
反思与感悟
(2)中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,空间与平面,圆与 球等等,比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下:
平面图形 点
直线 边长 面积 三角形 线线角
空间图形 直线 平面 面积 体积 四面体 面面角
跟踪训练4 如图,在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别 为α,β,cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想并证明.
答案
梳理
(1)定义:由两类不同对象具有某些 类似 的特征在此基础上,根据一类对 象的其他特征,推断 另一类对象 也具有类似的其他特征的推理称为类比 推理(简称类化). (2)特征:由特殊 到 特殊 的推理.
知识点三 合情推理
思考1
归纳推理与类比推理有何区别与联系? 答案 区别:归纳推理是由特殊到一般的推理,而类比推理是 由特殊到特殊的推理. 联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真可假.
C.n2
D.n
解析 答案
反思与感悟
图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量变化规律入手,找到数值变化与数量的关系. (2)从图形结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上 一次比较,数值发生了怎样的变化.
高中数学第三章推理与证明1.2类比推理课件北师大版选修1_2
1 2 34 5
解析 答案
2.下面使用类比推理,得出的结论正确的是 A.若“a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b” B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”
√C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“a+c b=ac+bc(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”类比出“(a+b)n=an+bn”
解析 显然A,B,D不正确,只有C正确.
1 2 34 5
解析 答案
3.根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体 的内切球切于四面体 A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点
√C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析 正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个 面相切于各正三角形的中心.
梳理 合情推理的定义及分类 定义:根据实验和实践的结果、个人的经验和 直觉 、已有的事实 和正 确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. 分类:常见的合情推理有 归纳 推理与 类比 推理.
[思考辨析 判断正误] 1.由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理.( √ ) 2.类比推理是从特殊到特殊的推理.( √ ) 3.合乎情理的推理一定是正确的.( × )
则 b2=ac,即 c2-a2=ac,可得 e2-e=1,又由 e>1,则 e=
5+1 2.
解析 答案
达标检测
1.下列平面图形中,与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形
√C.平行四边形
B.梯形 D.矩形
解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相 对的两条边互相平行,故选C.
③由“平面内,垂直于同一直线的两直线相互平行”,类比得到“空
高中数学 第三章 推理与证明 类比推理典例导航课件 北师大版选修1-2
a18-n+an+2=0,
a17-n+an+3=0,
……
∴a1+a2+…+an
=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n.
∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1, 即b29-nbn+1=b28-nbn+2=…=b14b16=1. ∴有b1b2…bn=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).
2.已知命题:“若数列{an}是等比数列,且 an>0,则数 列 bn= a1a2„an(n∈N*)也是等比数列”类比这一性质,你 能得到关于等差数列的一个什么性质?
解析: 若 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 则 数 列 bn =
n
a1+a2+…+an 是等差数列. n
通过计算可得下列等式: 23-13=3×12+3×1+1; 33-23=3×22+3×2+1; 43-33=3×32+3×3+1; ⋮ (n+1)3-n3=3×n2+3×n+1. 将以上各等式两边分别相加,得 (n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+ n)+ n,
4×(1+2+…+n)+n
∴13+23+„+n3
nn+1 1 1 4 4 = n+1 -1 -6× nn+1· 2 n + 1 - 4 × - n 4 6 2
1 2 = n (n+1)2. 4
1 3.设 f(x)= x , 类比课本中推导等差数列前 n 项和公 2+ 2 式的方法,求 f(-5)+f(-4)+„+f(0)+„+f(5)+f(6)的值. 1 解析: ∵f(x)= x , 2+ 2
1.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=
1,试在立体几何中,给出四面体性质的猜想.
高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理课件
数学D 选修1-2
第三章 推理与提升
归纳推理从个别到一般,通过归 纳猜想结论.一般来说,归纳推理发现真理过程以观察和实验 作为基础,从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形 成一般命题→结论猜想→证明.
数学D 选修1-2
[思路导引] 根据给出的数字等式观察数字等式的结构特 征,如数式与符号的关系,代数式的相同或相似之处等.提练 出数字等式的变化规律,归纳出一般结论.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
解析: 观察分析可知:等式左边第 1 项与序号的关系为: 1→221,2→222,3→223,4→224,猜测项与序号的关系为 n→22n; 等式右边各数都是质数,故猜想:任何形如 22n+1(n∈N+)的数 都是质数.
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1.观察下列等式,并从中归纳出一般结论:sin230°+sin290° +sin2150°=32,sin25°+sin265°+sin2125°=32,….
解析: 观察可得两个等式的左边都是平方项的和,角度 依次相差 60°,等式的右边都是常数32,由此可得出一般结论:
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
课堂互动讲义
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
归纳推理在等式和数式中的应用
由 221+1=5,222+1=17,223+1=257,224+1=65 537 都是质数,于是猜想:___________________.
高中数学 第三章 推理与证明 类比推理名师点拨课件 北师大版选修1-2
(6)不同类知识点之间的相似性质和结论.
◎在 Rt△ABC中, ∠ C= 90°,三边长为 a, b, c,
则有 c2= a2+ b2.类比到立体几何中的三棱锥有何结论?
【错解】 在三棱锥V-ABC中有
S△VAB2+S△VBC2+S△VAC2=S△ABC2
【错因】
把平面几何中的结论类比到空间,虽
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测 正在研究中的事物的属性,它以旧有认识作基础,类 比出新的结果; 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物 的特殊属性;
3.类比的结果是猜测性的,不一定源自靠,但它却 具有发现的功能.类比推理的思维过程大致为:观察、比较→联想、 类推→猜测新的结论. 该过程包括两个步骤: (1)找出两类对象之间的相似性或一致性; (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质, 从而得出一个明确的命题,即猜想.
圆
球
[说明]
运用类比的方法可帮助我们发现新问题,
探索新知识,不少定理、公式的提出皆通过类比,并 经过证明得到的.在几何中常类比某些平面图形的性
质,得出相应空间图形的性质.
2.其它数学知识间的类比 (1)实数相等关系与不等关系:方程与不等式. (2)实数的运算律与向量的运算律. (3)等差数列与等比数列的定义及性质. (4)三种圆锥曲线的定义与性质. (5)正弦函数、余弦函数的性质.
然将边的平方和类比为侧面积平方和,但忽略了直角 三角形,类比到空间应有三条侧棱两两垂直. 【正解】 在三棱锥V-ABC中,VA⊥VB⊥VC
则有S△VAB2+S△VBC2+S△VAC2=S△ABC2
[说明] 一般地,如果类比的相似性越多,相似的 性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题 就越可靠.
归纳推理和类比推理PPT课件
世界近代三大数学难题之一
哥德巴赫猜想
1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小 于6的偶数都是两个素数(只能被1和它本身整除 的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。猜想 (a) 任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇 质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇 质数之和。
1 ( n 2)( n 1) .(用n表示) 2
5 ,当
f (n) f (n 1) n 1 累加得: f (n) f (2) 2 3 4
( n 1)
(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方 程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为 所推广命题的一个特例,推广的命题为:
成等差数列
例1.(2003年新课程)在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则 AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾 股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关 系,可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD的 三个侧面 ABC 、 ACD 、 ADB 两两互相垂直, 2 2 2 2 则 SBCD SABC SACD SADB .
an am q
n m
n(a1 an ) na ( q 1) 1 Sn 2 n S 前n项和 a1 (1 q ) n n( n 1) (q 1) na1 d 1 q 2
等差数列 中项
等比数列
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ,为 a b 有等比中项 ,为 ab
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1.下面几种推理是类比推理的是( ) A.因为三角形的内角和是180°×(3-2),四边形的内角 和是180°×(4-2),…,所以n边形的内角和是180°×(n-2) B.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 C.某校高二年级有20个班,1班有51位团员,2班有53位 团员,3班有52位团员,由此可以推测各班都超过50位团员 D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能 被2整除 答案: B
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
解析: 如图①所示,在平面△DEF 中,正弦定理为sDinEF =siEnFD=sDinFE.如图②,已知平面 SAB,SAC,SBC 与底面 ABC 所成的角分别为 α1,α2,α3.
类比可得,在四面体 S-ABC 中,有sSi△nSAαB1=sSi△nSAαC2=sSi△nSBαC3. 即sinS1α1=sinS2α2=sinS3α3.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
三角形的面积 S=12(a+b+c)r(r 为三角形内 切圆的半径)
四面体
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
[思路导引] 已知三角形和四面体的“外在”性质,合理寻找
类比对象对二者“内在”性质进行探究.
[边听边记] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形
,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比空间的面;三
答案: 正四面体的内切球半径是高的14
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
4.已知在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC
,且平面SAB,SAC,SBC与底面ABC所成角分别为α1,α2,α3 ,三侧面△SAB,△SAC,△SBC的面积分别为S1,S2,S3,类 比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.
提示: 我们将扇形的弧类比为三角形的底边,则高为扇 形的半径 r,∴S 扇=12lr.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1.类比推理
(1)两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据 一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征 ,我们把这种推理过程称为___类__比__推__理_.
(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上 的各点连线所形成的图形;四面体可以看做三角形外一点与这 个三角形上各点连线所形成的图形.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质 填写下表:
三角形 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半并且平 行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点,且这个 点是三角形内切圆的圆心
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
课堂互动讲义
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
平面图形与空间图形的类比
三角形与四面体有下列共同的性 质:
(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形;四 面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.
数学D 选修1-2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b8b9=29,若 {an}为等差数列,a5=2,则{an}类似的结论为( )
A.a1a2a3…a9=29 B.a1+a2+…+a9=29 C.a1a2a3…a9=2×9 D.a1+a2+…+a9=2×9 解 析 : 在 等 差 数 列 中 “积”变“和”得a1+a2+…+a9= 2×9.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1.2 类比推理
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
课前预习学案
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式 S 底×高 = 2 ,可推知扇形面积公式 S 扇等于________.
答案: D
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
3.已知正三角形内切圆的半径是高的13,把这个结论推广 到空间正四面体,类似的结论是________.
解析: 原问题的解法为等面积法,即 S=12ah=3×12ar⇒ r=13h,类比问题的解法应为等体积法,V=13Sh=4×13Sr⇒r=14 h,即正四面体的内切球的半径是高的14.
(2)类比推理是两类事物__特__征__之间的推理.即类比推理是 由_特__殊__到__特__殊___的推理.
(3)根据解决问题的需要,可对__概__念__、_结__论___、_方__法___进 行类比.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
2.合情推理 (1) 合 情 推 理 是 根 据 __实__验__和__实__践__ 的 结 果 , 个 人 的 _经__验__和__直__觉___、已有的_事__实___和正确的_结__论___(定义、公理、定 理等),推测出某些结果的推理方式.
(2)合情推理归类纳比推推理理
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
归纳推理与类比推理的区别与联 系
区别:归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由个 别到个别的推理或是由一般到一般的推理.
联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真 可假.
数学D 选修1-2
角形的中位线对应四面体的中位面,三角形的内角对应四面体
的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.具体见下表
:
三角形
四面体
三角形两边之和大 四面体任意三个面的面积之和大
于第三边
于第四个面的面积
三角形的中位线等 四面体的中位面的面积等于第四
于第三边的一半并 且平行于第三边
个面面积的14,且平行于第四个面