组合数学复习资料

2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。 解：

()()

++++++=++++++=n

n n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3

3

2

3322102780

()0

464143213

13

=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a

左右同乘再连加：

464:

0464:0

464:

0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x

母函数：()()

4

2

162036-+-=

x x x x G

2.2 已知序列()()3433{,,……()3

3,,n +……}，求母函数。

解：

1(1)

n

x -的第k 项为：1

1()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：

4

1

(1)

x - 2.3 已知母函数G （X ）=

2

5431783x

x x

--+,求序列{ n a } 解：G （X ）=

)61)(91(783x x x +-+=)

61()91(x B

x A ++-

从而有： ??

?-==????=-=+47

78963B A B A B A G （X ）=

)

61(4

)91(7x x +-+-

G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -

4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x x

n a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数

2

39156x

x x

---，求对应的序列{}n a 。 解：母函数为239()156x

G x x x -=

--39(17)(18)

x x x -=+-

A B

G(x)17x 18x

A(18x)B(17x)39x

=

+

+--++=-令 A B 38A+7B=9+=??--?

解得：A=2 B=1

所以 i

i i 0i 0

21G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞

===

+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+

2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。证明：0321=+---n n n G G G ，

n =2，3，4…。求},,,{210 G G G 的母函数。 解：设 ++++=332210)(x G x G x G G x H ，则

44332210)(x G x G x G x G G x H ++++= ……① ++++=43322103333)(3x G x G x G x G x xH ……② +++=4231202)(x G x G x G x H x ……③ ①-②+③，得：

()x G x G G x H x x 01023)(31-+=+- 又已知 n n F G 2=，则 000==F G ，121==F G 所以，)

2

5

3)(253(31)(2x x x

x x x x H ---+=

+-=

设x B x A x H --+

-+=2

5

32

5

3)(，则可列出方程组：

?

??

??=++-=+025

32531B A B A ，解得 ???

???

?-=+=10535105

35B A 那么，

i

i i i i

i i

i x x x x B

x A

x H ∑∑∑∞=∞

=∞

=??

????--+=++--

=+--+--+=

00

0)253()253(55)25

3(55)253(55)2

5

31)(253(

)2

5

31)(253(

)(

2. 6 求序列{1，0，2，0，3，4，0，……}

解：G(x)=1+0*x+2*2x +0*3x +3*4x +0*3x +0*5x +4*6x + …… =1+22x +34x +46x + ……

∴2x G(x)= 2x +24x +36x + …… ∴（1-2x ）*G （x ）=1+2x +4x +6x +……

∴（1-2x ）*G （x ）=(22)j j j j j j ij v v

s s

v v

v v s s

e a ππππ

∈∈∈∈∈-=-∑∑∑∑∑2

1

1x

- ∴G （x ）=

22

1

(1)

x - 2.7 设24621234....(1)....n G x x x n x =+++++++求222(1),(1)x G x G --。 题解：

24622

2

4

6

8

222

1234....(1)....(1)234....()(1). (2)

n n

n G x x x n x x G x x x x n x n x

+=+++++++=++++++++

（1）-（2）得：224621....()....n G x G x x x n x -=++++++

22

22221(1)1(1)1n

n

x x G x x G x --=

--=-

2.8 求下列序列的母函数： （1）1，0，1，0，1，0….. （2）0，-1，0，-1，0，-1…….

（3）1，-1，1，-1，1，-1……

题解：（1）带入母函数公式得：22

4

6

22

1()1........1n

n

x G x x x x x x -=++++++=-

（2）带入母函数公式得：213521

2

(1)

()(........)1n n x x G x x x x x

x

+-=-+++++=- （3）有（1）和（2）相加得到：211n

x x

-+

2. 9 设G=1+3x+62x +103x + ……+C （n+2，2）n x +…… 证明：（1）（1-x ）G=1+2x+32x +43x + ……+（n+1）n x +…… （2）（1-2x ）G=1+x+2x +3x + ……+n x +…… （3）3(1)x -G=1

证：G=1+3x+62x +103x + ……+C （n+2，2）n x +…… ∴ xG= x+32x + 63x +……

∴ 2x G= 2x + 33x +……

∴（1-x ）G=1+2x+32x +43x + ……+（n+1）n x +…… ∴（1-2x ）G=1+x+2x +3x + ……+n x +……

3(1)x -G=(1-x)(1-x)(1-x)G 逐步相乘，根据以上两式可得 3(1)x -G=1

2.10

+???

? ??++++++=n

x n x x x H 332010413

2

证明：（a ）∑∞

=???

? ??+==-022)1(n n x n G H x (b)求H 的表达式。

证明：（a ） +???

? ??++++++=n

x n x x x H 332010413

2

……①

+???

? ??+++++=n x n x x x xH 321043

2 ……②

①-②，得

+?????????? ??+-???? ??++++++=-n

x n n x x x H x 323310631)1(3

2

由组合的性质

???

?

??--+???? ??-=???? ??111r n r n r n ，所以

???

?

??-=???? ??+-???? ??+223233n n n 那么，∑∞

=???

? ??+==-022)1(n n

x n G H x ，得证。

（b ）设 +++++++=-=

n

x n x x x x x B )1(4321)

1(1)(322

，B 对应的序列为},,,,{210 n b b b b 。

根据（a ），得 +?????????? ??+-???? ?

?++++++=n

x n n x x x G 3233106313

2

，

设G 对应的序列为},,,,{210 n g g g g ，则∑==k

i i k b g 0

，根据母函数

性质有，

3)1(11)()(x x x B x G -=-=，那么，根据（a ），4

)1(1

)1(x x G H -=-=。 2.11．2

2230

(1),14(1),(13x 3x x )G n n n n n a n G a x x n x ∞

==+==++

++

-+-∑证明是

一个多项式，并求母函数G 。

解：由题知：22n n-1a a (n+1)n 2n 1-=-=+ (1) n-1n-2a a 2(n 1)1=2n 1-=-+- (2) (1)-(2)得： n n-1n 2a 2a a 2--+= (3) n-1n-2n 3a 2a a 2--+= (4) (3)-(4) n n-1n 2n 3a 3a 3a a 0---+-= (5) (5)式即为n a 的递推关系。 所以序列{n a }的特征多项式为：

32C(x)=x 3x 3x 1-+- 又母函数可表示为

{}3n P(x)1

G(x),R(x)=x C(),C(x)a R(x)x

=

其中为序列的特征多项式 3323321133

R(x)=x C x (1)13x 3x x x x x x

-+-=-+-()=

因此23(13x 3x x )G(x)P(x)-+-=，P(x)2是最高项次数不超过的多项式，即证。

323

3P(x)P(x)P(x)A B C

()1R(x)(1x)1x (1x)(1x)x C()x

G x =

===++---- 其中012a 1,a 4,a 9===

解方程组：A B C 1A 2B 3C 4A 3B 6C 9++=??

++=??++=? 解得：A 0,B 1,C 2==-=

所以323

21x 1G(x)(1x)(1x)(1x)

+=

-=---

2.12 已知的母函数。求序列}{,)1()1(1,0

23

1

12

n n n n k n a x n x x

k a ∑∑∞

=+=+=-+= 解：

4

023

1

1

22

)1(1A(x))1()1(1B(x)x)-B(x)/(1 A(x) 3 )1(B(x) , )1(x x

x n x x b a x n n b n n

k l l

k n n

n -+=

∴+=-+==∴=+=+=∑∑∑∞

=+=∞

= 又得：由母函数的性质设：

2.13 已知2

1

3

34

10

14,(1),(1)n n n k n x x a k n x x +∞

==++==+-∑∑求序列{ n a }的母函数。 解：

303

3

11:1:12

a x a ==+

…… ……

333:12(1)n n x a n =++

++

---------------------------------------------- G （x ）=

23232332(1)2(1)3(1)

1()(123)1x x x x x x x x x x x

+++++++

++++

=+++-

234

14(1),(1)n

n x x n x x ∞

=++=+-∑ 25

14(),(1)

x x G X x ++∴=- 2.14 已知{}n p 的母函数为2

21x x x

--，

()1求10,p p ：

解：

325

434

34

323

2322

525105252422221x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x ++--+--+----

1,010==∴p p 。 ()2求序列{}n p 的递推关系。

解：()()()()()()()()()()()0

2:

2:02:02)(0

2)(2)21(2101223211212012222

=--=--=--=----=---=--=----=

------a a a x a a a x a a a x x G x x xG a x a x G x G x x xG x x G x

x G x x xG x G x

x G x x x x x x G n n n n n n n n

因而：递推关系为： 0221=----n n n a a a 2.15 已知{a n }的母函数为

2

1

1x x

-+，求序列{a n }的递推关系，并求a 0,a 1. 解：

22

11

11

x x x x =-+-+ c 1= -1，c 2=1

则其特征多项式为：C （x ）=x 2-x+1 与其对应的递推关系为：a n -a n-1+a n-2

=0

2

2222

2

011

111(1)(1)1

221(1)(1)

111

x x A x B x A B A x x B x x x x

a A B a A B αβααββαα=

-+-+-=====

=+++++++-+=+==+=令

2.16 用数学归纳法证明序列

12,,,...,,...m m m m n m m m m +++???????? ? ? ? ?????????

的母函数为 1(1)m x ---

解： 当m=1时，1231,,,...,,...1111n +????????

? ? ? ?????????的母函数就等于

222

1231()...,...

1111123...(1)...(1)n

n n G x x x x x x n x x -+????????=++++ ? ? ? ?????????

=++++++=- 假设当m=k 时成立，即

21

12()...,...(1)n k k k k k k n G x x x x x k k k k --+++????????=++++=- ? ? ? ????????? （1）

当m=k+1时

21

112()...,...(1)n k k k k k k n G x x x x x k k k k --++++????????=++++=- ? ? ? ?

????????

（2） 因为11...1r r n n r r r r ++????????+++= ? ? ? ?+????????

，所以（2）里的0k

k l l b a ==∑，k b 为

（2）

对应的序列，l a 为（1）对应的序列。 所以由性质3得

1()()/(1)k k G x G x x +=-

121()(1)/(1)(1)k k k G x x x x ----+=--=-

所以命题得证

2.17：已知G=1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +…… 证明(1) G 2 =（1-X ）-4= X n ，

(2) G 2=

X n ,其中a n =

，

(3) a n =C(n+3,3),n {0.1.2.3…….}

解：设T=x+x 2+x 3+x 4….. =x/(1-x)

T ’=1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +……=1/(1-X)2=G 所以G 2 =（1-X ）-4，

又因为G 2 =（1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +……）（1+2X+3X 2 +……+（n+1）x n +……）=G1×G2

所以在G 2 中x n 的系数由(n+1)部分组成：

如果G1中取的因子为x k 那么G2中只能去X n-k,只有这样G1×G2后才能得出x n ，

所以K从0取到n，一共有(n+1)部分组成，当K取0时G1因子的系数为（K+1），G2因子的系数为(n-k+1)，乘后的系数为（K+1）×(n-k+1)。所以G2 =X n ，a n=

所以（2）得证。

现在证（3），用数学归纳法：

1）a0 == C(0+3,3)=1

2）假设a n=C(n+3,3)成立，即a n== C(n+3,3)

3）证明a n+1=C(n+1+3,3)成立，

a n+1=

=[1*(n+1+1-0)+2*(n+1+1-1)+ 3*(n+1+1-2)+ 4*(n+1+1-3)……

(n+1+1)*(1)]

=[1*(n+2)+2*(n+1)+3*(n)……+(n+2)*1]

=[1*(n+1)+1+2*(n)+2+3*(n-1)+3……(n+1)(1)+(n+1)+ (n+2)*1]

=[1*(n+1)+ 2*(n) +3*(n-1)…. (n+1)(1)]+[1+2+3+……(n+1)+(n+2)]

=+[1+2+3+……(n+1)+(n+2)]

=a n +

= C(n+3,3)+C(n+3,2)

= C(n+4,3)

所以（3）得证。

因为a n=C(n+3,3),n{0.1.2.3……}，又根据（2）。

所以（1）得证。

2.18 用母函数法求下列递推关系的一般解

①a

n -6a

1-

n

+8a

2

-

n

=0

②解:设G(x)=a

+a

1

x+a

2

x2+a

3

x3+…

③-6xG(x)= -6a

x-6a

1

x2-6a

2

x3-…

④8x2G(x)= 8a

x2+8a

1

x3+…

⑤

相加得

⑥G(x)=a

+(a

1

-6a

)x/1-6x+8x2

⑦设p(x)=a

+(a

1

-6a

)x,由于p(x)/r(x)是有理分式,多项式p(x)的次方低于r(x)的次方,则p(x)/r(x)可化为部分式来表示,且表示式是唯一的.

⑧

则G(x)=p(x)/1-6x+8x2=(A/1-2x) +(B/1-4x)

⑨

=A(1+2x+(2x)2+(2x)3+…)+B(1+4x+(4x)2+(4x)3+…)则一般通解为

a n =A*2

n

+B*4

n

②. a

n +14a

1-

n

+49a

2

-

n

=0

解:设G(x)=a

0+a

1

x+a

2

x2+a

3

x3+…

14xG(x)= 14a

0x+a

1

x2+a

2

x3+…

49x2G(x)= 49a

0x2+49a

2

x3+…

相加得(同上题) G(x)=p(x)/1+14x+49x2=(A/1-7x) +(B/(1-7x)2) G(x)=A(1+7x+(7x)2+…)+B(1+2(7x)+3(7x)2+…)

则一般通解为: a

n

=A*7n+B*n*7n

③a

n -9a

2

-

n

=0

解: 设G(x)=a

0+a

1

x+a

2

x2+a

3

x3+…

-9x2G(x)= -9a

0x2-9a

1

x3-…

同上题,相加得: G(x)=(a

0+a

1

x)/(1-9x2)=p(x)/1-9x2=(A/1-3x)+(B/(1+3x))

G(x)=A(1+3x+(3x)2+(3x)3+…)+B(1+(-3x)+(-3x)2+…)

则一般通解为: a

n

=A*3n+B*(-3)n

④a

n -6a

1-

n

-7a

2

-

n

=0

解:设G(x)=a

0+a

1

x+a

2

x2+a

3

x3+…

-6xG(x)= -6a

0x-6a

1

x2-6a

2

x3+…

-7x2G(x)= -7a

0x2-7a

1

x3+…

同上题,相加得

G(x)=(a

0+a

1

x-6a

x)/(1-6x-7x2)=A/(1-7x)+B/(1+x)

=A(1+7x+(7x)2+…)+B(1+x+x2+…)

则一般通解为: a

n

=A*7n+B*1n

⑤a

n -12a

1-

n

+36a

2

-

n

=0

解:设G(x)=a

0+a

1

x+a

2

x2+a

3

x3+…

-12xG(x)=-12a

0x-12a

1

x2-12a

2

x3+…

36x2G(x)= 36a

0x2+36a

1

x3+…

同上题,相加得

G(x)=(a

0+a

1

x-12a

x)/(1-12x+36x2)=A/(1-6x)+B/(1-6x)2

G(x)=A(1+6x+(6x)2+…)+B(1+2(6x)+3(6x)2+…)

则一般通解为: a

n

=A*6n+B*n*6n

⑥a

n -25a

2

-

n

=0

解: 设G(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+… -25x 2G(x)=-25a 0x 2-25a 1x 3-… 同上题,相加得

G(x)=(a 0+a 1x)/(1-25x 2)=p(x)/1-25x 2=(A/1-5x)+(B/(1+5x)) G(x)=A(1+5x+(5x)2+(5x)3+…)+B(1+(-5x)+(-5x)2+…) 则一般通解为: a n =A*5n +B*(-5)n 2．20 已知1220n n n a a a ----=， （1）求一般解：

（2）求满足00a =，11a =的特解。 （3）求满足012a a ==的特解。

解：（1） 特征方程： 2210x x --=

，根1q =

==，则 通解：A

（1+B

（1）

（2）

A =

=

，B ==

特解：

(1144

+-= （3

）1A =

=

，1B =

=

特解：(1(1+-=

2.21 已知n n n d c a )4(5-?+?=，c 和d 为常数，n ∈N ，求2,510-==a a 时c 和d 及序列的递推关系。 答案：

将2,510-==a a 代入n a 中得

c+d=5和5c-4d=-2 ?c=2，d=3?n n n a )4(352-?+?=

111)4(352----?+?=n n n a

因为

15--n n a a =1)4(27--?-n ? 215---n n a a =2)4(27--?-n

所以 15--n n a a +4(215---n n a a )=0

? 020221=-----n n n a a a

2.22 已知a n =c ·3n +d ·(-1)n ,n ∈N,c,d 是常数,求{a n }满足的递推关系。

解: 等式为n 2n

1n Bx Ax a +=形式

∴3和-1为特征根

特征方程为 03x 2x 2=-- ∴0a 3a 2a 2n 1n n =----

2.23 n n n k k a )3)((21-+=，1k 和2k 是常数，N n ∈，求{}n a 满足的递推关系 2.24 设n a -21-n a +2-n a =5, 0a =1, 1a =2,求解这个递推关系。 解： 首先解得2a =8

n a -21-n a +2-n a =5 （1） 1-n a -22-n a +3-n a =5 （2） （1）-（2）

n a -31-n a +32-n a -3-n a =0

建立特征方程为： 01-3x 3x -x 23=+

解这个方程得：=1x 1 =2x -1 =3x 1/3 设 n a =A(1)n +B(-1)n +C(1/3)n 0a =A+B+C

1a =A-B+(1/3)C 2a =A+B+(1/9)C

解得A= 2 B= 7 C= -9

n a =2(1)n +7(-1)n -9(1/3)n

2.25 设{a n }序列的母函数为：

(4-3x)/(1-x)(1+x-x 3), 但b 0=a 0,b 1=a 1-a 0 …….b n =a n -a n-1,求序列{b n }的母函数. 解：设{b n }的母函数为B(x),

所以B(x)= b 0 + b 1 x +……+ b n x n

又因为已知b 0=a 0,b 1=a 1-a 0 …….b n =a n -a n-1,，代入B(x)，可得： B(x)= a 0 + (a 1-a 0) x+…….. (a n -a n-1) x n

B(x)= a 0+ a 1 x+……a n x n -x(a 0+ a 1 x+……)

又因为{a n }序列的母函数为 (4-3x)/(1-x)(1+x-x 3),代入B(x)，得， B(x)=(4-3x)/(1+x-x 2) 2.26 设G=

...2

31210++++x a x a x a a 且

=a

1，

a a a a a a a n n n n ,012110....---+++=试证1+x G 2

=G

解：要证 1+x G 2

=G

即证G —1= x G 2

=a

1

∴ G —1=

...2

3121+++x a x a x

a

a a a a a

a a n n n n

,01211

....---+++=

:X

a a a 0

1=

:

2

X

a a a a a 0

1

1

2

+=

X

3

:

a a a a a a a 0

2

1

1

2

3

++=

.

. .

+___________________________________________ G —1=

a 0

x

G+x a 2

1G

+x a 3

2G ….

提出G 即得：G —1= x G 2

1+x G 2

=G

2.27 求下列递推关系的一般解： （1）a n - 4a n-1=5n