高中数学讲义圆锥曲线中的面积问题

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异” ，寻找这些图形的底和高中是否存在“同 底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻 底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单， 便于分析
3x2 10x 3 0
x 3或 x 1 3
x3
1
x
或
3
（舍）
y 23
y
2 3
3
xA 3
例 5：以椭圆 x2 9
y2 1 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线
5
C ，其左右焦点分别为 F1, F2 ，
已 知 点 M 的 坐 标 为 2,1 ， 双 曲 线 C 上 点 P x0 , y0 x0 0, y0 0 满 足
2
y
1可知 a
2,b
1,c
4
3 ，所
以 P 0,1 , F1
uuur uuuur 3,0 , F2 3,0 ，进而计算出 PF1 PF2 的值为 2
答案： 2 例 2：已知点 P 是椭圆 16x2 25 y2 1600 上的一点，且在 x 轴上方， F1, F2 分别为椭圆的左
右焦点，直线 PF2 的斜率为 4 3 ，则 VPF1F2 的面积是（
）
A. 32 3
B. 24 3
C. 32 2
D. 24 2
思路：将椭圆化为标准方程为
x2 y2 1 ，进而可得 c 6 ，所以 F1 6,0 , F2 6,0 ，计
100 64
算 VPF1F2 的面积可以以 F1F2 为底， Py 为高，所以考虑利用条件计算出
P 的纵坐标，设
P x, y ， 则 有 k PF2
对称，面积相等。且四边形 PF1QF2 可拆成 VPF1F2 与 VQF1F2 的和，所以四边形 PF1QF2 的面
积最大即 VPF1F2 面积最大， 因为 SVPF1F2
1 2 F1F2 y p c yp ，所以当 y p 最大时， VPF1F2面
2
积最大。即 P 位于短轴顶点时， VPF1F2 面积最大。由 x
方的部分相交于点 A ， AK l ，垂足为 K ，则 VAFK 的面积是（
）
A. 4
B. 3 3
C. 4 3
D. 8
思路：斜率为 3 可知直线的倾斜角为 ，从而可得 KAF
，
3
3
所以在 计算面积时可利 用两边与夹角 ，所以可得
SV AKF
1 AK 2
AF sin ，由抛物线性质可得 3
AK
AF ，所
解： Q I 为三角形 PF1F2 的内心
SV IPF1
1 2 PF1 r , SVIPF2
1 2 PF2 r , SVIF2F1
1 2 F2F1 r
S S VIPF1
VIPF2
SVIF1 F2
PF1 PF2
F1F2
F1F2 PF1 PF2
Q P 在双曲线上，且 F1, F2 是焦点
uuuur PF1 PF2 2a , F1F2 2c
4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”
x2 （ 1）椭圆：设 P 为椭圆
a2
y2 b2 1 a b 0 上一点， 且 F1PF2
）
S ，则 VPF1F2
b2 tan 2
2
（2） 双曲 线：设
P为椭圆
x a2
2
y b2
1 a,b
0 上 一点 ，且
F1 PF2
，则
SVPF1 F2
微专题 72 圆锥曲线中的面积问题
一、基础知识：
1、面积问题的解决策略： （ 1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能 用坐标直接进行表示的底（或高） 。 （ 2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形 如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
12 整理后可得：
4k 2
3 x2
8k 2 x
4k 2
12
0Βιβλιοθήκη Baidu
PQ
1 k 2 x1 x2
1 k2
144k 2 144 12 k 2 1
4k 2 3
4k2 3 ①
设 MN : y
1
1
x 1 ，以 替换①中的 k 可得：
k
k
1
MN
12 k 2 1 4 k2 3
12k 2 12 3k 2 4
SPMQN
1 MN 2
7
2
l 的方程为 y
7 x 2或 y
2
7 x2
2
x2 例 8：已知椭圆 C : a 2
y2 b2
1 a b 0 的离心率为 1 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 2
A, B 两点，当 l 的斜率为 1时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2 2
（ 1）求椭圆 C 的方程
uuur uuru
uuur uuur
uuur uuuur uuuur uuuur
PF1uuuMr F1 F2 Fu1uuuMr F 1 ，则 SVPMF1 SVPMF2 等于（
）
PF1
F2 F1
A. 2
B. 4
C. 1
D. 1
思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，
2
2
x y 1的顶点为
95
3,0 , 3,0 ，即
为 F1, F2 的坐标，椭圆的焦点为
4k2 3
所以消元后的方程
0）
（ 2）设直线 PQ : y kx 2， P x1, y1 ,Q x2 , y2
联立方程可得：
y kx 2 x2 4y2 4
x2
2
4 kx 2
4 ，整理后可得：
4k 2 1 x2 16kx 12 0 ，因为方程有两个不等实根
2
16k
48 4k2
1
0 解得： k
3 或k
， O 为坐标原点
3
（ 1）求 E 的方程
（ 2）设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点，当 VOPQ 面积最大时，求 l 的方程
解：（ 1）设 F c,0
2 23 k AF
c3
c3
c3 Qe
a2
2c
a
2
3
b2 a2 c2 1
x2 E:
4
y2 1
思路：首先设 PQ : y kx 2 ， P x1, y1 ,Q x2, y2 ，由图像可得 SVOPQ
直线的倾斜角 ，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运
3
算更为简单。
（ 2）本题的 x A 也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下：
由抛物线方程可得： F 1,0 ，设 l : y 3 x 1 ，联立方程：
y2 4 x y 3x 1
2
3 x 1 4x ，整理可得：
PQ
1 12 k 2 1 12k 2 12 2 4k 2 3 3k 2 4
1 2 dO PQ PQ ，
考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用
k 表示出 dO PQ , PQ ，从而
SVOPQ 也可用 k 进行表示： SVOPQ
4 4k 2 3 4k 2 1
4
，再利用均值不等式
4k 2 3
4
4k 2 3
即可得到最大值。 等号成立的条件
2
4k 3
4
即为 k 的值。（注意直线与椭圆相交，
以只需求得焦半径 AF ，即只需解出 A 点横坐标。 利用几何关系可
1
得 xA OF
FM
OF
AF ，另一方面，由焦半径公式可
2
得： AF
xA 1，所以可得方程： xA
OF
1 2 xA 1
xA
所以 SVAKF
1
2
AF sin 4 3
2
3
3 ，从而 AF
答案： C
xA 1 4 ，
小 炼 有 话 说 ：（ 1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为
b2 1 cot 2
二、典型例题：
2
例 1：设 F1, F2 为椭圆 x
2
y
1 的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于
4
uuur uuuur
当四边形 PF1QF2 的面积最大时， PF1 PF2 的值等于 ___________
P, Q 两点，
思路：由椭圆中心对称的特性可知 P ,Q 关于原点中心对称，所以 VPF1F2 与 VQF1F2 关于原点
c
即 为离心率
a
由 F1F2
b2
b2
可得： 2c
a
a
2ac c2 a 2 ，两边同时除以 a 2 得：
e2 2e 1 0 ，解得 e 2 2 2 2
e 2 1即
21
答案： C
例 7：已知点
A 0,
2
，椭圆
x2 E : a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率为
3 ， F 是椭圆 E 的右 2
23
焦点，直线 AF 的斜率为
y2 x x ty m
y2 ty m 0 ， 所 以 y1y2
m 0, x1 x2 y12 y22 m2 ， 所 以 由
x1x2 y1y2 2 可得： m2 m 2 m 2 ，所以 y1 y2 2 ，不妨设 A 在 x 轴上方，如图
可 得 ： SV ABO
SV AFO
1 OM 2
y1 y2
1
9
OF y1
y1 y2 ， 由 y1 y2
2
8
2 可知
y2
2
，消元后可得：
y1
SV ABO
SV AFO
9 8 y1
2 y1
92 2 8 y1 y1
3 ，等号成立当且仅当
y1
4 ，所以 SVABO
SVAFO 的最小值为 3
3
答案： B
例 4：抛物线 y2 4 x 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上
r 2
PF1
PF2
2
答案： A
x2 y2 例 6：已知点 P 为双曲线 a 2 b2 1 a 0,b 0 右支上一点， F1, F2 分别是双曲线的左右
焦点，且 F1 F2
b2
， I 为三角形 a
PF1F2 的内心，若
SVIPF1
SVIPF 2
为（ ）
SVIF1F2 成立，则 的值
1 22
A.
2
B. 2 3 1 C.
则 VABO 与 VAFO 面积之和的最小值是（
）
A. 2
B. 3
17 2
C.
8
D. 10
uuur uuur 思路： 由 OA OB 2 入手可考虑将向量坐标化， 设 A x1, y1 , B x2, y2 ，则 x1x2 y1y2 2 ，
进而想到可用韦达定理。所以设
AB 与 x 轴交于 M m,0 直线 AB : x ty m 。联立方程
x2 y2 1
43
uuur uuur （ 2）由（ 1）可得： F 1,0 ，因为 PF MF 0 PF MF
SPMQN
1 MN PQ
2
设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ， PQ : y k x 1 ，
联立方程可得：
3x2 4 y 2 12 ，消去 x 可得：
y kx 1
3x2
4k2
x
2
1
2 1 D.
21
思路：由三角形内心的性质可得 I 到三边的距离相等，所以
VIPF1,VIPF 2,VIF1F2 的 高 均 为 r ， 从 而
SVIPF1
SVIPF2
SVIF1 F2
PF1 PF2
F1F2 ，即
F1 F2 PF1 PF2
c ，所以只需利用 a
F1F2
b2 确定 a,c 的关系即可。
a
2,0 , 2,0 ，所以双曲线中 a 2, c 3 ，进而 b 5
uuur uuuur 观察 PF1uuuMr F1
PF1
uuuur uuuur F2Fu1uuuMr F1 可联想到投影，即
F2F1
uuuur uuur
uuuur uuuur
MF1 在 PF1 的投影与 MF1 在 F2F1 的投影相
1 SVOPQ
2
2 k2 1
1
k2
4 4k2 3 4k 2 1
4 4k2 3 4k 2 1
4 4k 2 3 4
4k 2 3
4
2
4k 3
4 4k2 3
由均值不等式可得：
4k 2 3
4 2
4k 2 3
4k2 3
4 4
4k 2 3
等号成立条件： 4k2 3
4
4k2 3 4 k
7
4k2 3
2
SVOPQ 1 此时 k
（ 2 ） 若 P, Q, M , N 是 椭 圆 C 上 的 四 点 ， 已 知 PF 与 FQ 共 线 ， MF 与 FN 共 线 ， 且
uuur uuur PF MF 0 ，求四边形 PMQN 面积的最小值
c1
解：（ 1） e
，设 F c,0 ，则 l : y x c
a2
c2
dO l
22
c1
a 2, b 2 a2 c 2 3
2
SVOPQ
1 2 dO PQ PQ
dO PQ
2 k2 1
PQ
1 k 2 x1 x 2
1 k2
3 2
2
x1 x2
4 x1x 2
由方程 4k2 1 x2 16kx 12 0 可得：
16k
12
x1
x2
4k2 1, x1 x2
4k 2
代入 PQ 可得： 1
PQ
1 k2
64 k2 48 4k 2 1
1
k2
4 4k 2 3 4k 2 1
等，由几何关系可得 F1M 为 PF1F2 的角平分线。由 M 2,1 , F2 3,0 可得 kMF2 1 ，即
F2M 平 分 PF2 F1 ， 从 而 M 为 VPF1F2 的 内 心 ， 且 内 切 圆 半 径 r yM 1 。 从 而
1
1
1
S S VPMF1
VPMF 2
2 PF1 r 2 PF2 r
y x6
16x2 25y2 1600
4 3 ，所以
y
43
x6
y0
可解得 y
4 3或
64 3
1
1
y
19 （舍去），所以 SVPF1F2
F1F2 y
12 4 3 24 3
2
2
答案： B
uuur uuur 例 3：已知 F 为抛物线 y2 x 的焦点， 点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， OA OB 2 ，