中档题专练

2．如图，在直角△ACB 中， ACB ， CAB ， AC 2 ，点 M 在线段 AB 上.
2
3
（1）若 sin CMA 3 ，求 CM 的长； 3
（2）点 N 是线段 CB 上一点， MN
7 ，且 S△BMN
1 2
S△ ACB
，求
BM
BN 的值.
湖南省长沙市雅礼中学 2020 年高三上学期月考（二）数学试题【答案】（1）3；（2）4 3 .
.
【来源】云南省保山市 2019-2020 学年高二下学期期末（理科）数学试题
【答案】（Ⅰ） Sn
n2 (n 1)2 4
；（Ⅱ） Tn
4 1
1 (n 1)2
3．已知四边形 ABCD 是梯形，如图 AB//CD ， AD DC ， CD 2 ， AB AD 1， E
为 CD 的中点，以 AE 为折痕把 ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（如图 2），且 PC 3
线处，并加以解答．
已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a c 7 ， ABC 的面积为
4，______，求 sin B 及 b ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【来源】河北省张家口市邢台市衡水市 2021 届高三上学期摸底联考（新高考）数学试题
（2）将函数 f (x) 的所有正的零点按从小到大依次排成一列，得到数列xn ，令
an
xn
1 xn1
，
Sn
为数列an 的前 n
项和，求证： Sn
1 4
.
【来源】福建省漳州市 2020 届高三高中毕业班第二次教学质量检测数学（文）试题
【答案】（1） 8 ；（2）见解析
3．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 ADE - BCF 和一个正四棱锥 P ABCD 组合
（ n 2 ）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知数列{an}中， a1 3，__________．
（1）求 an ；
（2）若数列
1
an
的前
n
项和为 Tn
，证明：
1 3
Tn
1 2
．
【来源】福建省福州市 2021 届高三数学 10 月调研 B 卷试题【答案】（1） an 4n2 1
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【来源】海南省 2019-2020 学年高三高考调研测试数学试题
2．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，满足 a1 1， Sn Sn1 n n 2 . （Ⅰ）求数列an 的前 n 项和 Sn ；
（Ⅱ）令 bn
2n Sn
1
，求
bn
的前
n
项和 Tn
1 2n2
；（2）答案见详解
.3.如图四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 是等腰梯形， CD//AB ， AC 平分 BAD 且 AC BC ， PC 平面 ABCD ，平面 PAB 与平面 ABCD 所成角为 60°．
（1）求证： PA BC ． （2）求二面角 D PA C 的余弦值．
（1）求 C ；
（2）求 ABC 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【来源】湖南师大附中 2021 届高三（上）月考数学试题（二）
【答案】（1）条件选择见解析， C
3
；（2）最大值为 3
3.
2．已知函数
f
(x)
2
sin
8
x
cos
8
x
sin
8
x
1 .
（1）求 f (x) 的最小正周期；
而成， AD AF ， AE AD 2 ．
（Ⅰ）证明：平面 PAD 平面 ABFE ； （Ⅱ）求正四棱锥 P ABCD 的高 h ，使得二面角 C AF P 的余弦值是 2 2 ．
（1）求证：平面 PAE 平面 ABCE ； （2）求 PB 与平面 PEC 所成角的正弦值.
【来源】2020 届河北省张家口市高三下学期第二次模拟数学（理）试题
2
郴州市三中高三数学中档题专题训练 主编：LLB（内部资料请勿外传）
中档训练题（三）
1．在① n(an1 1) (n 1)(an 4n 1) ；② an1 an 2( an1 1 an 1) ；③ an an1 8n 4
【答案】
sin
B
4 5
．
b
17 .
2．已知
Sn
是数列an 的前
n
项和，且
Sn
1 4
an

n N
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn
(n 2)an n(n 1)
，数列bn 的前 n 项和为Tn
，求证： Tn
1 4
．
【来源】湖南省六校 2020-2021 学年高三上学期联考（一）数学试题
【答案】（1） an
2．如图所示的斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 A1 在底面 ABC 的投影 O 为 AC 边的中点，
AB 3 ， AC 4 ， BC 5 ， AA1 4 .
（1）证明：平面 ABC1 平面 ACC1A1 ； （2）求平面 A1B1C 与平面 A1B1C1 所成的锐二面角的大小.
3
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中档训练题（四）
1．在① (a b)2 c2 3ab ，② a 3c sin A a cosC ，③ (2a b)sin A (2b a)sin B 2csin C ，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，
并解答.已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， c 3 ，而且_____.
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中档训练题（一）
1．在① 5bcos B 3a cosC 3c cos A ；② 3bsin BcosC 4a cos B 3bcos Bsin C ；③
2 cos2
B 2
π 8
1
2 10
（
0
B
π 2
），这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横
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中档训练题（二）
1．在① cos 2B
3 sin
B
2
0
，②
2b cos C
2a
c
，③
b a
cos B 1 3 sin A
三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若_____，且 a，b，c 成等差数列， 则 ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．