第3讲 函数性质

第三讲 函数的性质（单调性与奇偶性）

【复习目标】

理解函数的单调性和奇偶性的定义，并会利用它们解决相关问题。 【基础知识回顾】： 一、函数的单调性：

1、单调性的定义：设函数f(x)的定义域为A ，区间D ⊆A ，若对于D 内的任意两个自变量的值x1， x2，当x1＜x2时，都有f(x1) ＜f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 函数。当x1＜x2时，都有f(x1) ＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 函数。

2、判断函数单调性的方法：： ①定义法：（一般步骤为： ） ②导数法：（一般步骤为： ） 注意：如果单调区间为两部分，它们之间的连接符号 ③常用结论：

1）若f(x)、g （x ）均为增（减）函数，则f(x)+g （x ）为 函数；若f(x)为增（减）函数，则- f(x)为 函数。

2）互为反函数的两个函数的单调性 ；奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 ；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 ；

3）y=[]()f g x 是定义在M 上的函数，若f(x)与g （x ）的单调性相同，则其复合函数y=[]()f g x 为 函数，若f(x)与g （x ）的单调性相反，则其复合函数y=[]()f g x 为 函数。 二、函数的奇偶性：

1、奇偶性的定义：设函数f(x)的定义域为D ，若对于D 内的任意一个x ，都有___

注意：判断函数的奇偶性要优先考虑 2、常用结论：

①如果奇函数f(x)在x=0处有定义，则f （0）= ；

②写出一个既是奇函数又是偶函数的函数 ③奇函数的图像关于 对称；偶函数的图像关于 对称

④两个奇（偶）函数之和、差为 函数；两个奇（偶）函数之积、商为 函数； 一个奇函数和一个偶函数之积或商为 函数（以上函数不包括值恒为零的函数）。

【基础知识自测】

1、（2010山东）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），

则(1)f -=（ ）

（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3

2、（2010北京）给定函数①1

2y x =，②12

log (1)y x =+，③|1|y x =-，④1

2

x y +=，其中在区

间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）

（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④

3、（2010广东理数）若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x

的定义域均为R ，则（ ）

A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数

C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 4、（531P A ）判断下列函数是否具有奇偶性：

①f(x)=3x x + ②f(x)=x + ③g(x)=x(x+1) ④g(x)=(x-1)(x+1) ⑤k(x)=

[]2

1,1,21

x x ∈-- ⑥h(x)=3

1x +

5、（589P A ）已知分段函数f(x)是奇函数，当[)0,x ∈+∞时的解析式为2y x =，求这个函数在区间(),0-∞的解析式。

6、（504P A ）判断函数y=[)0,+∞上的单调性，并证明你的结论。

【典型例题剖析】

一、函数的奇偶性： 例1、已知函数2

11()log 1x f x x x

+=

--，判断它的奇偶性。

跟踪练习：（1）（2010江苏卷）设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______ （2）已知函数(1)()

()x x a f x x

++=为奇函数，求a 的值。

二、求函数的单调区间： 例2、求函数y =x +

x

1的单调区间.

变式练习：求函数y =x +

x a （a ＞0）的单调区间.

例3、求下列函数的单调区间，并确定在每一个单调区间上的单调性。

（1）(1)y x x =- （2）()(1)ln(1)(0)f x ax a x a =-++> （3）2

2log (62)y x x =+-

跟踪练习：函数y =

）

A. []0,1

B. 1,2⎛

⎤

-∞ ⎥⎝⎦ C. 1

,12⎡⎤

⎢⎥⎣⎦ D.10,2⎡

⎤

⎢⎥⎣⎦

三、分段函数的单调性: 例4、函数{

(31)4(1)log (1)()a a x a x x x f x -+<≥=在R 上单调递减，则a 的取值范围是多少？

跟踪练习：

（2010江苏卷）已知函数2

1,0()1,

x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__

四、抽象函数的单调性:

例5、已知函数f(x)的定义域是（0，+∞），当x>1时，f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y). ①求f(1) ②证明f(x)在定义域上是增函数 ③如果1

()13

f =-，求满足不等式

1()(

)22

f x f x -≥-的x 的取值范围。

跟踪练习：定义在实数集上的函数f(x),对任意实数x 、y ，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且(0)0f ≠。 （1）求证：f(0)=1 ； （2）求证：y=f(x)是偶函数。

五、函数性质的综合应用：

例6、函数y=f(x)(0x ≠)是奇函数，且当()0,x ∈+∞时是增函数，若f(1)=0,求不等式

1()02f x x ⎡

⎤-<⎢⎥⎣

⎦的解集。

跟踪练习：已知对任意实数x ，有()(),()()

f x f x

g x g x -=--=，且x>0时，''

()0,()0,

f x

g x >>则x<0时（ ）

A 、''()0,()0f x g x >>

B 、''()0,()0f x g x ><

C 、''()0,()0f x g x <>

D 、''

()0,()0f x g x <<