2014年人教A版选修1-1课件 第一章小结(常用逻辑用语)
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特称命题 p: ∃ xM, p(x).
特称命题的否定 ¬ p: ∀ xM, ¬ p(x). 全称命题否定后为特称命题. 特称命题否定后为全称命题. 否定前后的真假性相反.
复习参考题
返回目录
A组 1. 设原命题是 “等边三角形的三内角相等”. 把原命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并写出它的逆 命题,否命题和逆否命题, 然后指出它们的真假. 解: 若三角形是等边三角形, 则三内角相等. 逆命题: 若三角形三内角相等, 则三角形是等边 三角形. 否命题: 若三角形不是等边三角形, 则它的三内 角不相等. 逆否命题: 若三角形的三内角不相等, 则三角形 不是等边三角形. 此题的四种命题都是真命题.
否命题: “若 p, 则 q”.
逆否命题: “若 q, 则 p”.
原命题
否命题
互逆 互逆
逆命题
逆否命题
互否 互为逆否 互否
3. 充要条件 p q, p 是 q 的充分不必要条件. p ⇍ q, p ⇏ q, p q, p q. p 是 q 的必要不充分条件. p 是 q 的充要条件; q 也是 p 的充要条件.
6. 存在量词与特称命题 “存在”, “存在一个”, “有些”, “对某个”, “至少有一个” 等. 符号 “∃”. 特称命题: ∃xM, p(x).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在 M 中只要有一个 x0, 使 p(x0) 成立, 命题为真; 若一个都没有, 则命题为假.
7. 全称命题与特称命题的否定
全称命题 p: ∀xM, p(x). 全称命题的否定 ¬ p: ∃xM, ¬ p(x).
本章内容
1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件
1.3 简单的逻辑联结词
1.4 全称量词与存在量词 第一章 小结
知识要点
复习参考题 自我检测题
1. 命题 结构形式: “若 p, 则 q”. p 是条件, q 是结论. 判断内容为真的叫真命题;
判断内容为假的叫假命题.
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2. 四种命题 原命题: “若 p, 则 q”, 逆命题: “若 q, 则 p”.
(2) ¬ p∧ ¬ q: 第一次未击中目标且第二次未击 中目标.
4. 逻辑联结词 “且 and”: p∧q.
“或 or”:
“非 not”: 命题 p 真 真 假 假
p∨q.
¬ p. p∧ q 真 假 假 假 p∨ q 真 真 真 假 ¬p 假 假 真 真 命题 q 真 假 真 假
5. 全称量词与全称命题 “所有的”, “全部”, “一切”, “任给”, “任意一个” 等. 符号 “ ” . 全称命题: ∀xM, p(x). M 中所有 x, 都使 p(x) 成立, 命题为真; 只要有一个 x0, 使得 p(x0) 不成立, 则 命题为假.
(4) ∃x0{无理数}, x03{有理数}.
6. 写出下列命题的否定: (1) 3=2; (2) 5>4; (3) 对任意实数 x, x>0; (4) 每个正方形都是平行四边形.
解: (1) (2) (3) (5) 3≠2. 5≤4. 存在实数 x, x≤0. 有些正方形不是平行四边形.
B组 1. 在一次射击训练中, 某战士连续射击了两次, 设命题 p 是 “第一次射击击中目标”, q 是 “第二次 射击击中目标”. 试用 p、q 以及逻辑联结词 “或” “且” “非” (或 ∨, ∧, ¬ ) 表示下列命题: (1) 两次都击中目标; (2) 两次都没有击中目标. 解: (1) p∧q: 第一次击中目标且第二次击中目标.
4. 判断下列命题的真假: (1) 27 是 3 的倍数或 27 是 9 的倍数; (2) 27 是 3 的倍数且 27 是 9 的倍数; (3) 平行四边形的对角线互相垂直且平分; (4) 平行四边形的对角线互相垂直或平分; (5) 1 是方程 x-1=0 的根, 且是方程 x2-5x+4=0 的根. 解: ∵ “27 是 3 的倍数” 是真命题, “27 是 9 的倍数” 也是真命题, ∴(1)(2)中的命题都是真命题. ∵ “平行四边形的对角线互相垂直” 是假命题, “平行四边形的对角线互相平分” 是真命题, ∴ (3)是假命题, (4)是真命题. (5) 中前后两个命题都是真命题, ∴ (5)中的命题是真命题.
2. 分别举例说明: (1) p 是 q 的充分条件但不是必要条件; (2) p 是 q 的必要条件但不是充分条件; (3) p 是 q 的充分必要条件. 参考: (1) p: a>0, q: |a|=a. p q, p ⇍ q. (2) p: a2>a, q: a<0. p ⇏ q, p q. (3) p: x<0, q: |x|>x. p q, p q.
5. 用符号 “∀” 与 “∃” 表示下列含有量词的命题: (1) 自然数的平方大于零; (2) 圆 x2+y2=r2 上任一点到圆心O的距离是 r; (3) 存在一对整数 x0, y0, 使 2x0+4y0=3; (4) 存在一个无理数, 它的立方是有理数. 解: (1) ∀xN, x2>0. (2) ∀P{P|P是⊙O: x2+y2=r2上的点}, |OP|=r. (3) ∃(x0, y0){(x, y)|xZ, yZ}, 2x0+4y0=3.
3. 已知 a, b, c 是实数, 判断下列命题的真假: (1) “a>b” 是 “a2>b2” 的充分条件; (2) “a>b” 是 “a2>b2” 的必要条件; (3) “a>b” 是 “ac2>bc2” 的充分条件; (4) “a>b” 是 “|a|>|b|” 的充要条件. 解: (1) ∵ a>b ⇏ a2>b2, 如 1> -2 ⇏ 1> 4, ∴ 命题为假. (2) ∵ a>b ⇍ a2>b2, 如 -3> 2 ⇍ (-3)2> 22, ∴ 命题为假. (3) ∵ a>b ⇏ ac2>bc2, 如 3 > 2 ⇏ 302> 202, ∴ 命题为假. (4) ∵ a>b ⇏ |a|>|b|, 如 1>-2 ⇏ |1| > |-2|, ∴ 命题为假.
特称命题的否定 ¬ p: ∀ xM, ¬ p(x). 全称命题否定后为特称命题. 特称命题否定后为全称命题. 否定前后的真假性相反.
复习参考题
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A组 1. 设原命题是 “等边三角形的三内角相等”. 把原命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并写出它的逆 命题,否命题和逆否命题, 然后指出它们的真假. 解: 若三角形是等边三角形, 则三内角相等. 逆命题: 若三角形三内角相等, 则三角形是等边 三角形. 否命题: 若三角形不是等边三角形, 则它的三内 角不相等. 逆否命题: 若三角形的三内角不相等, 则三角形 不是等边三角形. 此题的四种命题都是真命题.
否命题: “若 p, 则 q”.
逆否命题: “若 q, 则 p”.
原命题
否命题
互逆 互逆
逆命题
逆否命题
互否 互为逆否 互否
3. 充要条件 p q, p 是 q 的充分不必要条件. p ⇍ q, p ⇏ q, p q, p q. p 是 q 的必要不充分条件. p 是 q 的充要条件; q 也是 p 的充要条件.
6. 存在量词与特称命题 “存在”, “存在一个”, “有些”, “对某个”, “至少有一个” 等. 符号 “∃”. 特称命题: ∃xM, p(x).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在 M 中只要有一个 x0, 使 p(x0) 成立, 命题为真; 若一个都没有, 则命题为假.
7. 全称命题与特称命题的否定
全称命题 p: ∀xM, p(x). 全称命题的否定 ¬ p: ∃xM, ¬ p(x).
本章内容
1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件
1.3 简单的逻辑联结词
1.4 全称量词与存在量词 第一章 小结
知识要点
复习参考题 自我检测题
1. 命题 结构形式: “若 p, 则 q”. p 是条件, q 是结论. 判断内容为真的叫真命题;
判断内容为假的叫假命题.
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2. 四种命题 原命题: “若 p, 则 q”, 逆命题: “若 q, 则 p”.
(2) ¬ p∧ ¬ q: 第一次未击中目标且第二次未击 中目标.
4. 逻辑联结词 “且 and”: p∧q.
“或 or”:
“非 not”: 命题 p 真 真 假 假
p∨q.
¬ p. p∧ q 真 假 假 假 p∨ q 真 真 真 假 ¬p 假 假 真 真 命题 q 真 假 真 假
5. 全称量词与全称命题 “所有的”, “全部”, “一切”, “任给”, “任意一个” 等. 符号 “ ” . 全称命题: ∀xM, p(x). M 中所有 x, 都使 p(x) 成立, 命题为真; 只要有一个 x0, 使得 p(x0) 不成立, 则 命题为假.
(4) ∃x0{无理数}, x03{有理数}.
6. 写出下列命题的否定: (1) 3=2; (2) 5>4; (3) 对任意实数 x, x>0; (4) 每个正方形都是平行四边形.
解: (1) (2) (3) (5) 3≠2. 5≤4. 存在实数 x, x≤0. 有些正方形不是平行四边形.
B组 1. 在一次射击训练中, 某战士连续射击了两次, 设命题 p 是 “第一次射击击中目标”, q 是 “第二次 射击击中目标”. 试用 p、q 以及逻辑联结词 “或” “且” “非” (或 ∨, ∧, ¬ ) 表示下列命题: (1) 两次都击中目标; (2) 两次都没有击中目标. 解: (1) p∧q: 第一次击中目标且第二次击中目标.
4. 判断下列命题的真假: (1) 27 是 3 的倍数或 27 是 9 的倍数; (2) 27 是 3 的倍数且 27 是 9 的倍数; (3) 平行四边形的对角线互相垂直且平分; (4) 平行四边形的对角线互相垂直或平分; (5) 1 是方程 x-1=0 的根, 且是方程 x2-5x+4=0 的根. 解: ∵ “27 是 3 的倍数” 是真命题, “27 是 9 的倍数” 也是真命题, ∴(1)(2)中的命题都是真命题. ∵ “平行四边形的对角线互相垂直” 是假命题, “平行四边形的对角线互相平分” 是真命题, ∴ (3)是假命题, (4)是真命题. (5) 中前后两个命题都是真命题, ∴ (5)中的命题是真命题.
2. 分别举例说明: (1) p 是 q 的充分条件但不是必要条件; (2) p 是 q 的必要条件但不是充分条件; (3) p 是 q 的充分必要条件. 参考: (1) p: a>0, q: |a|=a. p q, p ⇍ q. (2) p: a2>a, q: a<0. p ⇏ q, p q. (3) p: x<0, q: |x|>x. p q, p q.
5. 用符号 “∀” 与 “∃” 表示下列含有量词的命题: (1) 自然数的平方大于零; (2) 圆 x2+y2=r2 上任一点到圆心O的距离是 r; (3) 存在一对整数 x0, y0, 使 2x0+4y0=3; (4) 存在一个无理数, 它的立方是有理数. 解: (1) ∀xN, x2>0. (2) ∀P{P|P是⊙O: x2+y2=r2上的点}, |OP|=r. (3) ∃(x0, y0){(x, y)|xZ, yZ}, 2x0+4y0=3.
3. 已知 a, b, c 是实数, 判断下列命题的真假: (1) “a>b” 是 “a2>b2” 的充分条件; (2) “a>b” 是 “a2>b2” 的必要条件; (3) “a>b” 是 “ac2>bc2” 的充分条件; (4) “a>b” 是 “|a|>|b|” 的充要条件. 解: (1) ∵ a>b ⇏ a2>b2, 如 1> -2 ⇏ 1> 4, ∴ 命题为假. (2) ∵ a>b ⇍ a2>b2, 如 -3> 2 ⇍ (-3)2> 22, ∴ 命题为假. (3) ∵ a>b ⇏ ac2>bc2, 如 3 > 2 ⇏ 302> 202, ∴ 命题为假. (4) ∵ a>b ⇏ |a|>|b|, 如 1>-2 ⇏ |1| > |-2|, ∴ 命题为假.