第3章 拉普拉斯变换..
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●收敛域概念: 使f(t)e-σt满足绝对可积条件的σ值的范围成为拉普拉斯
变换的收敛域。
lim f (t )e t 0 t
0
收敛域
例如： 单位阶跃信号
lim u (t )e t 0
t
0
指数信号 e
j
t
lim e t e t lim e( )t 0
复指数分量之和， 拉氏变换的物理意义则是把 f (t ) 分解为 许多形式为 e 的指数分量之和。 ●拉氏变换与傅里叶变换的关系
s j
st
拉氏变换 当 0 时，
傅里叶变换
拉氏变换是傅里叶变换的推广， 傅里叶变换是拉氏变换的特例。
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
tn
n! s n 1
第3章 拉普拉斯变换
4.正弦函数 sin t
1 jt jt sin t (e e ) 2j
1 jt jt 1 1 1 ] 2 L[sin t ] L[ (e e )] [ 2 j s j s j 2j s 2
t
f (t )e
jt
( j ) t dt dt f (t )e
令 s j ， 以 F ( s) 代替 F1 () ，则有：
F (s)
f (t )e st dt
对 F ( s) 即 F1 () 求傅里叶反变换,有:
信号与系统
j
双边拉氏变换 记为：
f (t )
2 j j
F ( s)e st ds
F (s) Lb [ f (t )]
1 f (t ) L b [ F ( s)]
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
在工程实际中，信号大都是有始函数，t 0 时，函数值为零。
F ( s ) f (t )e st dt
L[e ] e e dt e 0
t
1 ( s )t e dt s
0
1 s
1 e s
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.幂函数 t n (n为正整数）
L[t n ] t n e st dt t e st 0
s
即
n
n
0
即
sin t
cos t
s2 2
s s2 2
同理可得：
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
5.衰减正弦函数 e t sin t
e
t
1 ( j )t ( j )t 1 t jt jt (e e ) sin t e (e e ) 2j 2j
第3章 拉普拉斯变换
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
1.单位阶跃函数 u(t )
L[u (t )]
0
u (t )e dt
st
0
1 st e dt e s
st
0
1 s
1 u (t ) s
2.指数函数
t
0
e t
t st
( s ) t
t 为了满足绝对可积条件， 用衰减因子 e 去乘 f (t ) 。
如果一个衰减因子不能使得 t 和 t 时都能衰减，
则应取不同的衰减因子。 信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
●拉氏变换定义 以 F1 () 表示，有： 对函数 e t f (t ) 进行傅里叶变换，
F1 () e
t
t
j
0
0
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
●拉氏变换的收敛域 （1）双边拉氏变换的收敛域
t0 t0
收敛域 收敛域
1
2
双边拉氏变换收敛域存在的条件是： 2 1
（2）单边拉氏变换的收敛域 单边拉氏变换收敛域必定存在，
不再说明是否收敛的问题。 信号与系统
1 1 L[et sin t ] L[ 1 (e ( j )t e ( j )t )] 1 [ ] 2 j s j s j 2j
(s )2 2
即
e t sin t
（4）将时域中卷积运算转换为变换域中的乘法运算。 信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.2 拉普拉斯变换
●引入思想
F ()
满足狄利赫莱条件
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
F ( )e jt d
有些函数不满足绝对可积条件， 是因为 f (t ) 减幅太慢。
n st n 1 e t dt s 0
n n 1 L[t ] L[t ] s
nFra Baidu bibliotek
n n 1 n n 1 n2 L [ t ] L [ t ] L[t ] 依此类推，有： s s s
n n 1 s s
信号与系统
2 1 1 n! n 1 s s s s
第3章 拉普拉斯变换
e
t
f (t ) 1 2
F1 ( )e d
jt
1 f (t ) 2
F ( s)e( j )t d
s j
1 d ds j
F ( s )
1
j
j
f (t )e st dt
第3章 拉普拉斯变换
第3章 拉普拉斯变换
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.1 引言
●连续、线性、非时变系统的强有力工具 ●从数学角度看， 是求解常系数线性微分方程的工具。 其主要优点表现在： （1）同时可以给出微分方程的特解和齐次解； （2）将时域的微积分运算转换为复频域的代数运算； （3）某些不满足狄利赫莱条件的函数，不能进行傅里 叶变换，但可以进行拉氏变换；
0
单边拉氏变换
1 j st F (s)e ds u (t ) f (t ) 2 j j
记为：
F (s) L[ f (t )]
f (t ) L1[ F (s)]
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
●拉氏变换的物理意义
j t 傅里叶变换的物理意义是把 f (t ) 分解为许多形式为 e 的
变换的收敛域。
lim f (t )e t 0 t
0
收敛域
例如： 单位阶跃信号
lim u (t )e t 0
t
0
指数信号 e
j
t
lim e t e t lim e( )t 0
复指数分量之和， 拉氏变换的物理意义则是把 f (t ) 分解为 许多形式为 e 的指数分量之和。 ●拉氏变换与傅里叶变换的关系
s j
st
拉氏变换 当 0 时，
傅里叶变换
拉氏变换是傅里叶变换的推广， 傅里叶变换是拉氏变换的特例。
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
tn
n! s n 1
第3章 拉普拉斯变换
4.正弦函数 sin t
1 jt jt sin t (e e ) 2j
1 jt jt 1 1 1 ] 2 L[sin t ] L[ (e e )] [ 2 j s j s j 2j s 2
t
f (t )e
jt
( j ) t dt dt f (t )e
令 s j ， 以 F ( s) 代替 F1 () ，则有：
F (s)
f (t )e st dt
对 F ( s) 即 F1 () 求傅里叶反变换,有:
信号与系统
j
双边拉氏变换 记为：
f (t )
2 j j
F ( s)e st ds
F (s) Lb [ f (t )]
1 f (t ) L b [ F ( s)]
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
在工程实际中，信号大都是有始函数，t 0 时，函数值为零。
F ( s ) f (t )e st dt
L[e ] e e dt e 0
t
1 ( s )t e dt s
0
1 s
1 e s
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.幂函数 t n (n为正整数）
L[t n ] t n e st dt t e st 0
s
即
n
n
0
即
sin t
cos t
s2 2
s s2 2
同理可得：
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
5.衰减正弦函数 e t sin t
e
t
1 ( j )t ( j )t 1 t jt jt (e e ) sin t e (e e ) 2j 2j
第3章 拉普拉斯变换
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
1.单位阶跃函数 u(t )
L[u (t )]
0
u (t )e dt
st
0
1 st e dt e s
st
0
1 s
1 u (t ) s
2.指数函数
t
0
e t
t st
( s ) t
t 为了满足绝对可积条件， 用衰减因子 e 去乘 f (t ) 。
如果一个衰减因子不能使得 t 和 t 时都能衰减，
则应取不同的衰减因子。 信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
●拉氏变换定义 以 F1 () 表示，有： 对函数 e t f (t ) 进行傅里叶变换，
F1 () e
t
t
j
0
0
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
●拉氏变换的收敛域 （1）双边拉氏变换的收敛域
t0 t0
收敛域 收敛域
1
2
双边拉氏变换收敛域存在的条件是： 2 1
（2）单边拉氏变换的收敛域 单边拉氏变换收敛域必定存在，
不再说明是否收敛的问题。 信号与系统
1 1 L[et sin t ] L[ 1 (e ( j )t e ( j )t )] 1 [ ] 2 j s j s j 2j
(s )2 2
即
e t sin t
（4）将时域中卷积运算转换为变换域中的乘法运算。 信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.2 拉普拉斯变换
●引入思想
F ()
满足狄利赫莱条件
f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
F ( )e jt d
有些函数不满足绝对可积条件， 是因为 f (t ) 减幅太慢。
n st n 1 e t dt s 0
n n 1 L[t ] L[t ] s
nFra Baidu bibliotek
n n 1 n n 1 n2 L [ t ] L [ t ] L[t ] 依此类推，有： s s s
n n 1 s s
信号与系统
2 1 1 n! n 1 s s s s
第3章 拉普拉斯变换
e
t
f (t ) 1 2
F1 ( )e d
jt
1 f (t ) 2
F ( s)e( j )t d
s j
1 d ds j
F ( s )
1
j
j
f (t )e st dt
第3章 拉普拉斯变换
第3章 拉普拉斯变换
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
3.1 引言
●连续、线性、非时变系统的强有力工具 ●从数学角度看， 是求解常系数线性微分方程的工具。 其主要优点表现在： （1）同时可以给出微分方程的特解和齐次解； （2）将时域的微积分运算转换为复频域的代数运算； （3）某些不满足狄利赫莱条件的函数，不能进行傅里 叶变换，但可以进行拉氏变换；
0
单边拉氏变换
1 j st F (s)e ds u (t ) f (t ) 2 j j
记为：
F (s) L[ f (t )]
f (t ) L1[ F (s)]
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
●拉氏变换的物理意义
j t 傅里叶变换的物理意义是把 f (t ) 分解为许多形式为 e 的