信号与系统§5.3 拉普拉斯逆变换

s
2
2
F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
利用
L e t sin
t
(s )2
L
e t
cos
t
2
s (s
)2
Fs
s
s
2
2
s
2
2
求得 f t e t cos t α e t sin t t 0
β
▲
■
第9页
第三种情况：有重根存在
F(s)
因为A(s) 0 F(s)
▲
■
第3页
二、拉氏逆变换的过程
求F(s)的极点 将F(s)展开为部分分式 查变换表求出原函数f(t)
▲
■
第4页
部分分式展开
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1)(s
B(s) p2 )(s
pn
)
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) K1 K2 Kn
s p1 s p2
s pn
Ki (s pi )F (s) s pi
L1[ 1 ] e pit (t)
s pi
▲
■
第5页
假分式情况：
s3 5s2 9s 7 F(s) s2 3s 2
作长除法
s2
s2 3s 2 s3 5s2 9s 7
F
(
s)
s
2
s
s3
1s
2
s
2
F1 ( s )
当i 2, K12
当i 3,
K13
1 2
F1(s)
s p1
d d s F1(s) s p1 d2 d s2 F1(s) s
i
p1
1,2,3,k
L1[
1
(s p1
▲
L[t
) n1
n (t)]
] 1t n!
■
n! s n1
n e p1t (t)
第 13 页
举例
s2 F(s) s(s 1)3
s3 3s2 2s 2s2 7s 7 2s2 6s 4
21 F1(s) s 1 s 2
s3
f t t 2 t 2et (t) e2t (t)
▲
■
第6页
第二种情况：极点为共轭复数
Fs
Bs
A1s s α2 β2
s
α
j
F1s βs
α
j
β
共轭极点出现在 α jβ
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
F (s) P(s) B0 (s) A(s)
■
第1页
F(s) s4 8s3 25s2 31s 15 s 2 2s2 3s 3
s3 6s 2 11s 6
s3 6s 2 11s 6
A(s)
s n bn1s n1 ... b1s b0
分解
F(s)
B(s) A(s)
bm (s z1)(s an (s p1)(s
z2)(s zm) p2 )(s pn )
零点 z1, z2, z3 zm是Bs 0的根,称为Fs的零点
因为B(s) 0 F(s) 0
极点 p1, p2, p3 pn是As 0的根,称为Fs的极点
由于L- 1[1]=(t)， L -1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉 普拉斯逆变换由冲激函数构成。
下面主要讨论有理真分式的情形。
▲
■
第2页
一、零、极点的概念
若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为
F (s) B(s) am s m am1s m1 .... a1s a0
F0 (s)
K1
s j
K1*
s
j
| K1 | e j
s j
| K1 | e j
s j
f0 t
L1
s
K1 α
j
β
s
K1* α
j
β
eα t K1 eβ t K1* eβ t
=2|K1|e-tcos(t+)(t)
2eα t Acost Bsint
▲
■
第8页
另一种方法
F
s
s
F s K1 K2 ......
s α jβ s α jβ
K1
s
α
jβ
F
s
s
α
jβ
F1α jβ
2 jβ
K2 s α jβ F s s α jβ
可见K1
,
K
成共轭关系：
2
F1 α j β
2 jβ
K1 A jB
K2
A
jB
K
* 1
▲
■
第7页
求f(t) K1 A j B | K1 | ej K2 A j B K1* | K1 | e j
一般情况
F1(s) (s p1)k
K11 (s p1)k
(s
K12 p1)k1
K1(k1) K1k (s p1)2 s p1
求K11，方法同第一种情况：
K11 F1(s) s p1 (s p1)k F (s) s p1
求其他系数，要用下式
K1i
(i
1 1)!
di1 d si1
s2 (s 2)(s 1)2
K1 s2
K2 s 1
K3 (s 1)2
K1 为单根系数, K3为重根最高次系数
K1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(s
2)
(s
s2 2)(s
1)2
4
s 2
K3
(s
1)2
(s
s2 2)(s
1)2
1
s1
如何求K2 ?
▲
■
第 10 页
K2的求法
对原式两边乘以 (s 1)2
s2 s2
(s
1) 2
K1 s2
K2 (s
1)
K3
令s 1时,只能求出 K3 1,若求K2,两边再求导
右边
d ds
(s
1) 2
K1 s2
(s
1) K 2
K3
2(s
1)(s
2)K1 (s 2)2
K1(s
1)2
K2
0
左边 d ds
(s 1)2 F (s)
d ds
s2
s
2
2s(s 2) (s 2)2
s2
s2 4s (s 2)2
此时令s 1,右 K2 所以 K2 3
左边
s2 4s (s 2)2
3
s 1
▲
■
第 11 页
逆变换
4 3 1 F (s) s 2 s 1 (s 1)2
所以 f (t) L1 F(s) (4e2t 3et t et ) (t)
▲
■
第 12 页
|s0
s2 (s 1)3
|s0
2
▲
■
第 14 页
3
2
2 2
F(s) (s 1)3 (s 1)2 (s 1) s
f (t) ( 3 t 2 et 2t et 2 et 2) (t)
2
▲
■
第 15 页
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
K13 (s 1)
K2 s
K11
(s
1)3 F (s) |s1
s
s
2
|s1
3
K12
d ds
[(s
1)3
F (s)] |s1
s
(s s2
2)
|s1
2
K13
1 2
d2 d s2
[(s
1)3 F(s)]
|s1
1 2
4s s4
|s1
2
K2
sF (s)
§5.3 拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 : （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -----结合
若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
F (s) bm s m bm1s m1 .... b1s b0 s n an1s n1 ... a1s a0