电子科技大学矩阵理论!
关于矩阵奇异值的若干性质
第2"卷第1期2021年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.2"，No.1Jan. , 2021doi ： 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2021. 01. 017关于矩阵奇异值的若干性质尹小艳，杨丹丹(西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安J10071)摘要探讨矩阵奇异值的性质及其与范数、谱半径、特征值等矩阵“大小”度量的关系，帮助学生建立这些概念之间的内在联系，强化对相关概念的理解和掌握.关键词奇异值；谱半径；范数"条件数中图分类号 O151.2 文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2021)01 - 0056 - 03Properties of Singular Values of MatricesYIN Xiaoyan and YANG Dandan(School of Mathematics and S t a t i s t i c s，Xidian University，Xi’an 710071)Abstract W e gather several properties of singular values and investigate the relations between singular values and some other measures on matrices such as n o r m，spectral radius，eigenvalues and so on.This work m a y lead the students to a deeper comprehension of these concepts.Keywords singular value，spectral radius，n o r m，condition number1引言矩阵的奇异值是矩阵的重要数字特征，在矩阵 计算、误差分析、图像处理、数据挖掘、推荐系统等理 论和实际问题中应用广泛&一2'矩阵作为有限维 线性空间上线性变换的数学模型，除奇异值外，对矩 阵的“大小”，还有着多种不同的度量，比如大家熟知 的矩阵范数、特征值、谱半径等.本文介绍奇异值的一些重要性质，并深人探讨这几个概念之间的有机联系，帮助同学们更好地理解和掌握矩阵的这几种数值'收稿日期！ 2020 - 03 - 17 修改日期2020- 07 -05基金项目：西安电子科技大学矩阵分析与计算精品课程建设项目；西 安电子科技大学教学改革项目一研究型教学在矩阵分析与计算课程中的探索与实践，西安电子科技大学高等代数MOOC建设项目.作者简介：尹小艳（1979 —），女，陕西咸阳人，副教授，博士，从事矩阵 理论研究工作.Email:xyyin@.2奇异值的概念定义&]设A)crx"，称'")=槡)，("*")，4=1，2，…，-为矩阵"的正奇异值，简称奇异值.因为对任意矩阵crx"，总有")= -(a)，从而矩阵"的正奇异值的个数总是等于"的$.3奇异值的基本性质(1)对任意 A)crx"，A=0L'1")=…='r(A)=0.证明设A为任意复矩阵，A=0 l a2a=0L)1 (A2a)=…=A…(A2a)=0L'1(A)=…='(A)=0.第2"卷第1期尹小艳，杨丹丹：关于矩阵奇异值的若干性质57(2) 对任意w阶方阵A，有A非奇异Lff，(A)>0，i=1,2，…，w.(3) 对任意w R复方阵A，有|det(A) |y^A) - ■••f f…(A).这里|det(A) |表示矩阵A的行列式的模.证明设A为任意w阶复方阵，det(A)2 =det(A*A)=Ai(A*A)…A…(A*A)='!(A)…'!(A)(4) 奇异值具有转置、共轭、酉不变性.即对任意A)CTx"，i=1，2,…，r，有'(A*)='(A)='(A T)='(A)，at(U A V)=at(A)，这里A*，A T，A分别表示矩阵A的共轭转置、转置和共轭矩阵，U@分别为适当阶的酉矩阵.证明对任意A)Crx"，'2(A *)=)i(AA *)=)i(A *A)=ai(A)，'(A T)=A!((A T)* A T)=A，（(A*)TA T)=A，（(A A*)T)=)i(AA * )=A；(A *A)=ai(A)，a!(A T)=a!((A T)* )=(a(A)，a i(U A V)=A t(V*A*U*U A V)=At(A*A)=a2(A).(5) 奇异值分解（S T O)定理对任意A)CTx"，必存在™•阶酉矩阵U和w阶酉矩阵@，使得0]U*A V=，其中'Y d i a g'，•••'），'！，•••，'r 为 A的奇异值.奇异值分解在图像处理、数值计算等方面有着极为重要的应用，关于这一定理的重要意义及其应用后续文章会深人探讨.(6) 奇异值的几何意义先看一个具体的例子•设30' 3 0]* ;1A=U〇1.V=(«! w2)$ 1.其中 “1=(1，“2=(f，>#)'于是对V x Y h V i+h V i，有A v#=3«i ,A v2=m2故！=A# =ZiMi +Z2m2=3〇i M1+02a2.此时，若I I # I I 2=1即〇2Z〇2=i，则对应向量！满足32+/2 = 1.这表明4把财2中的单位圆{•r)N2，|| z || 2=1}变成了椭圆{：V =A：r，|| z || 2=1}，而两个奇异值恰好是这一椭圆的两个半轴长，长轴所在直线span+1}，短轴所在直线span {m2 }，它们分别是spanV h s p a n+z}的像.一般地，设A)C，"，记null(A)的正交补空间为W，A B r维子空间W中的单位复球面映成C™中的复椭球面，其中A的奇异值'1，…，〇，即为该椭球面的r个半轴长.3奇异值与矩阵其它度量的关系3.1奇异值与特征值的关系(1) 对任意w阶复方阵A,最大、最小奇异值构 成矩阵特征值的模的上下界•即V A)A(A)，有f f m i n(A)"|A I(A)证明设A为任意w阶方阵，对V A)A(A)，设#为A的属于特征值A的单位特征向量，A# =A#，I I # I I =1，由Amm (A *A)3"A*A"Am… (A *A)3可知，a?i n(A)=Amin(A*A)"#*A*A#= |A |2#* #=|A |z"Ama X(A*A)=a?ax(A)•(2) 设A为w阶方阵，对；=1,2，••，，,|(A) |模>0，若A正规a,(A)=1 |(A) |绝对值>0，若 A* =AU(A)，A>。
矩阵理论第3章习题解答
4设 是 阶的实对称矩阵，并且 你能用几种方法证明
证：（1）设 是矩阵 的一个特征值， 是对应于 的一个非零特征向量，即 所以 即 所以矩阵 的特征值全为零，又 酉相似与对角矩阵 所以
（2）设 则 Βιβλιοθήκη 题设矛盾，所以结论成立。5试证：对于每一个实对称矩阵 ，都存在一个 阶方阵 ，使 。
证：矩阵 是一个对称矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
令 ，则
又由 令 则 。
7证明：一个正规矩阵若是三角矩阵，则它一定是对角矩阵.
证明参考课本101页引理3必要性的证明.
8证明：正规矩阵是幂零阵 的充要条件是
证：充分性： 则结论显然。
必要性：若 ，由题设矩阵 是正规矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
证：必要性：设 为正定的Hermite矩阵，根据定义有 ，即 ，同时有 所以
充分性：设 ，则 ，则矩阵 是Hermite矩阵。由于矩阵 是正定Hermite矩阵，存在一个正定的Hermite矩阵 ，使得 则有 对矩阵 施行相似变换： 则矩阵 与矩阵 有相同的特征值，且 是Hermite矩阵.
对 可得 即 是正定的Hermite矩阵，所以其所有的特征值为正，从而矩阵 所有的特征值为正，即矩阵 为正定的Hermite矩阵.
矩阵 的特征值为 ；其对应的特征向量构成的矩阵为
则酉变换为
13设矩阵 的最大秩分解为 ，证明：
证：充分性显然。
必要性：（反证法）如果存在向量 使得 ，但 ，令 ，则 。由于 是矩阵 的最大秩分解，则矩阵 的列向量是线性无关的，如果 ，则 ，从而 ，与题设矛盾，所以 。
15设 ， 均为正定矩阵的Hermite矩阵，则 为正定的Hermite矩阵的充要条件是 .
杭州电子科技大学2013-2014-1(秋季)研究生开课表
外国语 外国语 外国语 外国语 外国语
英语9班 英语10班 英语11班 英语12班 英语13班 英语14班 英语15班 英语16班 英语17班 自然辩证法概论（秋季） 压力管理与潜能开发（秋季） 英语听说（秋季）1班 英语听说（秋季）2班 英语听说（秋季）3班 英语听说（秋季）4班 英语听说（秋季）5班 日语（秋季） 科技文献检索（秋季）（理工类） 英文科技论文写作（秋季） 企业运营管理（秋季） 世界民族音乐文化（秋季） 羽毛球
副教授 三8-9
马克思 马克思 马克思 马克思 马克思
思想政治教育学原理 马克思主义经典著作选读 社会科学方法论专题研究 教育心理学专题研究 学生事务管理研究
Z1 Z1 Z1 Z2 Z3
32 32 32 32 32
2 2 2 2 2
黄岩 李颖姣 贺武华 吕澜 吕金海、 金一斌
45
副教授 讲师 教授 教授 副教授 、 教授
2
黄岩
副教授 一6-7
113
111
12-201
32 32 32 48 48 48 48 48 48 48 48
2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3
王海稳 李庆真 姜志强 邬静洁 周晓琴 骆汉卫 于莹 邬静洁 周晓琴 骆汉卫 于莹
副教授 一3-4 副教授 一3-4 副教授 一3-4 副教授 二3-5 副教授 二3-5 副教授 二3-5 副教授 二3-5 副教授 二6-8 副教授 二6-8 副教授 二6-8 副教授 二6-8
自动化 自动化 自动化 自动化 外国语 外国语 外国语 外国语 外国语 外国语 外国语 外国语 外国语 外国语
80 20 20 20 9 2 3 14 14 14 14 14 14 14
15 8 8 9 9 3 3 14 14 8 7 12 4 4 7 6 5 3 8 20
工程矩阵理论试题A
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 设A∈C m⨯n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是：（1）存在且唯一（2）存在但不唯一（3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n⨯n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!,（1）收敛于零（2）发散（3）收敛与否与具体A有关（4）收敛3. 设A∈C n⨯n满足A3= E，则下列说法正确的是：（1）A的最小多项式与特征多项式相同（2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n（4）不能确定A是否可对角化4. 设A为n阶方阵，则有：（1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n（3）R(A) ⊕ N(A T)= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n5. 设A为n阶Hermite矩阵，则：（1）A的n个特征值全大于零（2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E（3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R（4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分）1. 设ε1, ε2, ε3为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。
σ在基ε1, ε2, ε3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。
2. 设方阵A 满足A 2= 3A, 则sin (3A ) = 。
3.矩阵A = diag 21312,,0203⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，则A 的最小多项式为 。
4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ⨯n 为常矩阵，则：，()=HX X XT D D。
5. 设A ∈C n ⨯n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ，则： XX AXX H X H 0max ≠ =。
《信息论》(电子科大)第七章_信息率失真理论
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称全部n 称全部n×m个失真度组成的矩阵为失真 矩阵： 矩阵：
d(x1, y1 ) d(x1, y2 ) d(x , y ) d(x , y ) 2 2 2 1 [D] = ... ... d(xn , y1 ) d(xn , y2 ) ... d(x1, ym ) ... d(x2 , ym ) ... ... ... d(xn , ym )
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i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi ln − Sd(xi , yj ) − =0 p(yj ) p(xi ) p(yj / xi ) i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi 令ln λi = p(xi )
ln
p(yj / xi ) p(yj )
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∂ {−S[∑∑p(xk )p(yl / xk )d(xk , yl ) − D]} ∂p(yj / xi ) k =1 l =1
n m
= −Sp(xi )d(xi , yj )
p(yj / xi ) ∂Φi ∴ = p(xi )ln ∂p(yj / xi ) p(yj ) − Sp(xi )d(xi , yj ) − µi = 0
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d(xi , yj ) = (yj − xi )
2
称为平方误差失真度。 称为平方误差失真度。
(2)平均失真度 (2)平均失真度
D = E[d(xi , yj )] = ∑∑p(xi )p(yi / xi )d(xi , yj )
i =1 j=1 n m
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(3)保真度准则 (3)保真度准则 如果给定的允许失真为D 如果给定的允许失真为D 为保真度准则。 则称 p(yj / xi ) = p(yj )
电子科技大学 矩阵理论!ppt课件
( , ) H aibi i 1
则上式定义了一个内积,C n是酉空间.
返回
定义: 设1,L , n是酉空间V一组基,令aij ( i , j ),
则称矩阵A=(aij )为基1,L
,
的度量矩阵
n
,或Gram矩阵
.
定理:
设矩阵A=(aij
)为酉空间V的一组基1,L
,
的
n
度量矩阵,则
(1) AH A;
xi H Bx j ij .
返回
定理 6 设n n矩阵 A AH , B BH，且B正定，与B共扼 向量系x1 , x2 ,L , xn具有以下性质， （1） xi 0 ( i 1, 2,L ,n ) ; （2） x1 , x2 ,L , xn 线性无关 ; （3）i与xi满足方程Axi i Bxi ; （4）若令X ( x1 , x2 ,L , xn ) , X H BX E , X H AX diag( 1 , 2 ,L ,n )
定义 4 ( x, y) 0
向量 x和y正交,记为 x y
勾股定理： x y
|| x y ||2 || x ||2 || y ||2
垂线最短定理：欧氏空间Vn ( R) 中的一个固定向量 和一个子空间中各向量的距离“垂线最短”.
返回
定义5
n维欧氏空间V中向量1 ,2 ,L ,k的Gram行列式 :
b
(f (x), g(x)) a f ( x )g( x )dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x ), g( x ), a f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数
返回
1
f
,
g
b
a
矩阵可交换成立的条件与性质
毕业设计（论文）题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级 2008级班级 0814 姓名吴锦娜学号 2008530088 指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质[摘要］矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB ．但是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．[关键词］矩阵可交换条件性质应用The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties［Abstract] Matrix， a important content in altitude－mathematics， has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field。
As far as we have concerned，the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally，AB≠BA。
Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule。
The exchangeable matrix has many special properties and important effection。
电子科技大学矩阵理论!
1.上三角矩阵R 的逆 R 1 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数;
2.两个上三角矩阵 R1、R2 的乘积 R1R2也是上三角
矩阵,且对角元是 R1与R2对角元之积; 3.酉矩阵U 的逆 U 1也是酉矩阵; 4.两个酉矩阵之积 U1U2也是酉矩阵.
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(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
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例 1 设APmn， 则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
返回
定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
0 0 0 0 0 0
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定理 2 设 A C r m n ,且 A B 1 D 1 B 2 D 2 均 为 A 的最大秩分解，则
(1) 存在 r阶可逆Q， 矩使 阵得 B 1 B 2 Q D 1 Q 1 D 2
( 2 ) D 1 H ( D 1 D 1 H ) 1 ( B 1 H B 1 ) 1 B 1 H D 2 H (D 2 D 2 H ) 1 (B 2 H B 2 ) 1 B 2 H
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学08图论c
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
10
lqmao@
路径和回路
最邻近算法 选任意点作为始点，找出一个与始点最近的点，形成一条边 的初始路径，然后用第二步的方法逐步扩充这条路径； 设x表示最新加到这条路径上的点，从不在路径上的所有点 中，选一个与x最邻近的点，把连接x与此点的边加到这条路 径中。重复这一步，直至G中所有顶点包含在路径中。 把始点和最后加入的顶点之间的边放入，就得出一个回路。
A = ∑ A( i )
+ i =1 ∞
而在n个结点的简单有向图中，基本路径长度不超过n-1，基 本回路长度不超过n，因此仅需考察 Bn-1＝A＋A(2)＋ A(3)＋···＋ A(n-1)，i≠j时 Bn＝A＋A(2)＋ A(3)＋···＋ A(n)，i＝j时 此时，bij≠0，i≠j时表示从vi到vj是可达的，i＝j时表示经过vi 的回路存在；bij＝0，i≠j时表示从vi到vj是不可达的，分属于 不同强分图，i＝j时表示经过vi的回路不存在。即bij表明了结 点间的可达性。 西安电子科技大学计算机学院 毛立强
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
11
lqmao@
路径和回路
a 13 b 12 10 14 6 d e 7 9 8 15 c 11
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
12
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路径和回路
a 13 b 12 10 14 6 d e 7 9 8 15 c 11
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
3
lqmao@
路径和回路
|S|＝3，w(G-S)=4，4>3，所以该图不是汉密尔顿图。
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
4
lqmao@
路径和回路
成都电子科技大学2013-2014-1学期清水河校区课程表
经管A-311 11-18周 C113 1-15周 C110 C111 C112 C214 1-10周 1-10周 1-10周 1-14周
第1页
时间 课程代码
教学班
学时 学分
60 60 30 30 60 60 60 36 60 40 40 40 40 40 40 40 50 60 50 40 30 40 20 30 40 40 20 40 40 20 40 60 60 60 36 50 40 40 40 20 2 2 1 1 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2.5 3 2.5 2 1.5 2 1 1.5 2 2 1 2 2 1 2 3 3 3 2 2.5 2 2 2 1
教室
C107 C108 C305 C307 B203 B208 B209 B107 B103 B204 B205 B104 B202 B213 B201
备注
1-15周 1-15周 1-15周 1-15周 1-15周 1-15周 1-15周 1-10周 1-15周 2-12周 1-11周 1-11周 1-10周 1-10周
（ 上
节 06016007 分布式系统(2班) 午 06016007 分布式系统1班 ） 06017001 中间件技术 10016012 微分方程稳定性理论及应用 11016008 金融经济学 11025004 管理研究方法 12025004 公共经济与公共政策 13015001 高级日语 13015002 高级德语 13015003 高级法语 16017004 马克思主义经典著作研究
1-13周 经管A-311 11-18周 C111 C112 综合楼528 C109 B207 C114 B105 清水河活 动中心315 B106 C110 科研楼 A-320 B206 清水河主 楼A2-412 科研楼 A-510 B203 B208 B201 B107 B202 B204 B205 B101 C109 1-13周 1-15周 1-14周 1-10周 11-16周 1-10周 1-7周 1-10周 1-14周 1-14周 1-7周 1-8周
怎样学好矩阵理论——以非负矩阵为例
怎样学好矩阵理论——以非负矩阵为例作者：徐大举赵慧婷来源：《教学研究》 2012年第5期徐大举1赵慧婷2(1．山东交通学院理学院，山东济南250023;2．阳谷县第三中学，山东阳谷252300)[摘要] 矩阵理论在自然科学和社会科学领域都有广泛的应用，然而大学生在学习线性代数矩阵理论时，往往感到枯燥、难学、不易掌握。
提出学好矩阵理论的几点建议，其中重要的一点是了解某些概念的实际应用意义。
并以非负矩阵为例，给出非负矩阵的分类及其谱理论。
最后，指出可约矩阵、不可约矩阵及其特征值和特征向量在投入产出分析经济学中的具体经济意义。
[关键词] 非负矩阵；可约矩阵；中间投入系数矩阵；投入产出分析[中图分类号]G642．O [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634 (2012) 05-0094-040 引言关于矩阵论的发展史，至少可以追溯到Syl-vester和Cayley，尤其是Cayley在1858年所作的工作。
近代数学如代数结构理论与泛函分析，都可以在矩阵论中寻到它们的根源。
作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，比如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等学科有着广泛的应用。
同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
所以，近几十年来，矩阵理论不仅在自然科学领域得到了完美的应用和发展，在社会科学领域也越来越得到应用和重视，比如在数理经济学、社会统计学等领域，矩阵的理论都得到了很好的应用。
因此，对大学生来说，学好矩阵理论具有非常重要的意义。
然而，大学生在学习矩阵理论时，经常会感到非常吃力，觉得矩阵理论的逻辑符号十分繁琐，运算方法不易理解，定义定理很难掌握，最后导致学习的效率不高、效果不好。
比如，实际中经常用到的是非负矩阵及其特征值和特征向量的性质，在教学的过程中，发现学生经常出现问题，经常搞混非负矩阵的分类以及它们的特征值的性质。
出现的问题有：非负方阵是否有正特征值，如果有的话，是否惟一；是否有正的特征向量，如果有的话，是否惟一，等等。
电子科大矩阵理论06试题参考答案
2006级硕士研究生《矩阵理论》试卷一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯） 1、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( ⨯ )2、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( ⨯ )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒ 11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--3、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( ∨ )(2)H H HA E u u =- (2)H H E uu =-2H E uu =-A =(2)(2)H H HA A E u u E u u=--224H H H H E u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴4、设123424681101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ⨯ )5、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H H A A A A +=则. ( ∨ ) ()H H B A A A A +=⇒H B B =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒1B ⇒是的特征值()1H r B B =6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +.( ∨ )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则. )0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( ⨯ )8、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ∨ )9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( ⨯ ) 10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A D EB 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ⨯ )二、计算与证明（60分）1. 设矩阵U 是酉矩阵, 12diag(,,,)n A a a a = , 证明: UA 的所有特征值λ满足不等式{||}||{||}max min i i iia a λ≤≤. (10分)证： PAx x μ=⇒H H H H x A P x μ=⇒H H H x A Ax x x μ=⇒2222222211221||||||||||||||||nn n ii a x a x a x x μ=+++=⇒∑222222111||||||||nnniiii i i mx x Mx μ===≤≤⇒∑∑∑222||m M μ≤≤⇒||m M μ≤≤。
成都电子科技大学2014-2015-1学期清水河校区研究生课表
06016012 数据库新技术（2班） 9 ~ 07047003 计算机视觉 （ 11 13016001 研究方法与学术论文写作 节 16006003 中国马克思主义与当代（2班） 晚 19016001 现代导航与制导技术 上 20005001 随机过程及应用 ）
时间
课程编号
课程名称
学时 学分 60 60 60 60 30 30 60 60 60 36 40 40 40 20 40 50 50 60 40 40 60 50 40 40 2 2 2 2 1 1 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2.5 2.5 3 2 2 3 2.5 2 2
13005001 硕士生英语阅读与翻译(B级28班) 13005002 硕士生英语听说与写作(A级15班) 13005002 硕士生英语听说与写作(A级17班) 13005002 硕士生英语听说与写作(A级5班) 13005002 硕士生英语听说与写作(A级6班) 10005001 矩阵理论(5班) 10006002 数值分析(3班) 20006003 最优化理论与应用 16005004 中国特色社会主义理论与实践(7班) 01017002 光纤通信 01025002 信息论基础(1班) 02045004 GPS理论与应用 02057005 VLSI电路和系统设计 06016011 Linux环境高级编程(2班) 06016015 计算机高级图形学 07015011 现代时域测试 星 期 一 5 ~ 6 10026016 非线性分析 11035001 公司财务 12415001 中外新闻传播史 16005007 马克思主义经典著作导读 17026007 新能源前沿技术新能源前沿技术
10005004 数学物理方程与特殊函数（2班） 01016018 高级计算机网络(1)--原理与体系结构 01025006 电子系统的射频与天线 02037004 瞬变电磁场 06016007 分布式系统（1班） 06016007 分布式系统（2班） 06016014 计算机三维动画技术 星 期 一 7 ~ 16017004 马克思主义经典著作研究 8 节 午 ） 18016001 遥感物理 19005001 创新能力培养与实践 20005007 信息材料基础信息材料基础 20006001 信号检测与估计 20006001 信号检测与估计(2班) 20006001 信号检测与估计(3班) 07036001 无线传感器网络 08015001 有限元分析与建模方法 11026003 服务管理
杭州电子科技大学2017-2018-1(秋季)硕士研究生课表
管理
32 2
83
制造与物流系统仿真
84
管理
工厂组织与技术管理
32 2
85 是 经济
管理经济学
48 3
86
会计 财务会计理论与实务1班（会计专硕） 48 3
87
会计
财务管理理论与实务
48 3
88
会计
管理会计理论与实务
48 3
89
会计
审计理论与实务
48 3
90 是 经济
现代经济理论
48 3
91 是 管理
30
外国语
英语听说（秋季）3班
32 1
G2
Gregory 外教
31
外国语
英语听说（秋季）4班
32 1
G2
Gregory 外教
32
外国语
英语听说（秋季）5班
32 1
G2
Gregory 外教
33
外国语
日语（秋季）
32 1
G2
郭已晓
34
图书馆 科技文献检索（秋季）（理工类） 16 1
35
图书馆 科技文献检索（秋季）（人文类） 16 1
中级计量经济学 国际金融理论
国际贸易理论研究 国际投资研究 金融工程专题 公司金融理论
区域产业结构演化研究专题 经济学原著选读
资产评估理论与实务 资产评估导读 证券估值案例
审计理论与实务 投资组合理论与实务
经济统计基础 经济景气分析 R语言程序设计
应用统计学 数字信号处理
32 2 32 2 32 2 32 2 32 2 32 2 32 2 32 2 48 3 32 2 32 2 32 2 32 2 32 2 32 2 32 2 48 3 48 3
电子科技大学2017-2018-1学期全日制研究生课表
电子科技大学2017-2018学年第一学期研究生课程表2017年9月4日（校历第一周周一）起执行研究生院二〇一七年七月目录课程表说明 (Ⅰ)电子科技大学2017-2018学年校历 (Ⅶ)研究生上课时间表 (Ⅷ)清水河校区课程表 (1)沙河校区课程表 (20)同一班次研究生课程由多位教师上课学时周次分配表 (28)学科前沿知识专题讲座登记表 (36)课程表说明一、开课时间前10周开课的课程从2017年9月4日（校历第一周周一）起正式上课。
后10周开课的课程从2017年11月13日（校历第十一周周一）起正式上课。
二、选课说明所有研究生课程全部实行网上选课。
前十周所开课程可试听一周，并于校历第一周进行网上选课；后十周所开课程也可试听一周，并于校历第十一周进行网上选课。
具体选课时间及选课规则请密切注意研究生院网站（）通知。
三、编班说明1、中国特色社会主义理论与实践（16005004）共开设17个班，每班限选260人，其中清水河校区开设13个班，沙河校区开设4个班。
2、硕士研究生学位英语（13005015）共开设69个班，每班限选60人。
本学期两校区开设A级班、B级班、C级班；清水河校区共52个班，其中A级实验班14个、B 级班37个、C级班1个；沙河校区共17个班，其中A级实验班5个、B级班11个、C级班1个。
3、工程伦理与学术道德（11005001）共开设7个班，每班限选100人，其中清水河校区开设5个班，沙河校区开设2个班。
4、知识产权与信息检索（11005002）共开设4个班，每班限选100人，其中清水河校区开设3个班，沙河校区开设1个班。
5、数学基础课分班：矩阵理论（10005001）共开设15个班，每班限选160人，其中清水河校区开设12个班，沙河校区开设3个班。
随机过程及应用（20005001）共开设12个班，每班限选160人，其中清水河校区开设11个班，沙河校区开设1个班。
数学物理方程与特殊函数（10005004）共开设7个班，每班限选160人，其中清水河校区开设4个班，沙河校区开设3个班。
电子科技大学级硕士研究生《矩阵理论》试题
|
xn
xn
|
an1
|
x1xnx2 Nhomakorabeaxn
| a12 | x2 x1
| a22 |
| an2 | x2
xn
| a1n | xn
x1
| a2n | xn
x2
| ann |
∑ →
D−1BD 的每个
Gerschgorin
圆为
Si
={z ∈ C
:|
z−
|
aii
||≤
Ri },
Ri
(
)
= 例如 x (0,1, 0,, 0) ≠ 0 ，但 || x ||= 0
4、|| x ||∞ ≤|| x ||1≤ n || x ||∞ .
n
∑
||
x
||∞
=max i
|
xi
|≤
i =1
|
xi
|
= || x ||1≤
n max i
|
xi
|=n ||
x ||∞
5、设 A 为 n 阶酉矩阵，则 A= A+ A= + A E.
=
0 AH
A
0
，则
||
B
||2
=||
A
||2
.
（5 分）
0
证：
B
=
AH
A
0
→
BH
=
0
AH
A
0
→
BB H
=
AAH
0 AH A
→
r ( BB H
)
=
r( AAH )
→ || B ||2 =|| A ||2
第六章 图的矩阵表示
•一个图的完全关联矩阵是不是唯一的?
•完全关联矩阵是不是唯一的确定一个图?
•用完全关联矩阵来表示图有什么好处?
•图的哪些性质可以从完全关联矩阵上一目了然?
•矩阵的运算是否会有相应的图的变化?
•反过来,图的哪些变化对应着完全关联矩阵的哪些变 化?
一般地说，我们把一个 n 阶方阵 A 的某些
列作一置换，再把相应的行作同样的置换，得
(1)
n i 1 m ij j 1 ij i m j 1 ij i ij i, j
(4) 平行边对应的列相同。 (5) 不能表示自环。
v2
e2
v3
e1
v1
e5
e4
e3
v1 M (G ) v2 v3 v 4
v4
e1 e2 1 1 1 1
e3
e4 1
1 1
0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 → 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 M ' (G ) M ' (G1 ) 0
1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 → 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0
( )
( )
(3) (5)
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
6
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0
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3. 算子范数
一、 算子范数
定义 1 设||||a是Pn上的向量||范 ||m数 是， Pnn上的矩阵范数，且
||A|a |x ||A |m |||x|a | 则|称 ||m | 为与向||量 |a | 相 范容 数的矩 .
返回
例 1 设xPn,APnn，则
nn
|| A||m1
i1
(3) 对任意的 U、 酉 V 矩 Pn阵 n，有
||A |2 m |2 ||U H A|V 2 m |2 ||UA H |2 m |V 2
返回
推论 1 设APnn, 对任意的U 酉 、V矩 P阵 nn，
有 |A ||m |2 |U | |m |2 A |A | |m V |2 |U | |A m |2 V
例 1 设 x (x 1 ,x 2 , ,x n ) C n ， 则
n
(1) || x ||1 | xi | i1
n
(2)|| x||2( | xi |2)1/2 i1
1范数 2范数
(3)||x||m 1iax n|xi |
无穷范数
返回
定 理1(Ho ..lder不 等 式 ) 若p,q1，且1pq11，
第二章
向量与 矩 阵的范数
返回
1 向量的范数
定义 1 设映射 ||||:CnR满足： (1 )正定 ||x | |0 性 ,当且 x 0 时 仅 ||x |， |当 0 ;
( 2 ) 齐|次 |x | | |||性 x || ,R ,x C n ;
(3 )三角||x 不 y| ||等 |x | |||y 式 || ,x ,y C n .
| aij |
j1i1
是与向量 |||1范 | 相数 容的矩. 阵范数
例 2 设 x P n ,A P n n ， |A ||则 m |2是 |x ||与 2 |
相容的矩阵范数 .
返回
定理 1 设 ||x|a | 是 Pn上的向 ,A 量 Pn 范 n,则 数
|| A||am xa|x|||Ax|x||a|a
返回
定理3
返回
Ai的性质:
返回
定理4
返回
二、正规矩阵及其分解
定义 3 若n阶 复 矩A满 阵足 AA HAHA
则称A为正规矩阵.
引理 1 设A为正规矩 A与B 阵 酉， 相似， B为正规矩阵
返回
引理 2 (Schu) r设ACnn，则存在酉矩
U，使得
AURUH
其中R， 是一个上三角矩 对阵 角且 线主 上的
元 素 为 A的 特 征.值
引理 3 设A正规矩阵且是三角 ，矩 则A是 阵
对角矩阵 .
返回
定理 5 n阶复矩阵 A是正规矩阵的充要条件 是A与对角矩阵酉相似. 即存在 n阶酉矩U阵 ， 使得
A Ud (1 i, a 2, g,n )U H
其中 1,2 ， , ,n是 A 的 n个特 . 征值
返回
定义 2 齐次 A方 xix程 (i 1 ,2 ,组 ,k )
的解V 空 i称间 A 为 的对应于 i的特 特征 征
空间 V i的 ，维 则A 数 的称 特 i的 为 征
几何重复度
定义 3 若矩A阵 的每个特征值的 复代 度数
与 几 何 重 复 度 相 称等 矩A ， 阵 为单则纯矩阵
0 0 0
1
(5) UHAU 0
0 ,其 中 U为 酉 矩 阵 .
n
返回
3. 正定Hermite矩阵的基本性质与分解
返回
返回
3.半正定矩阵的基本性质
返回
定理1 设 A ,B C n n,A 为 正 定 矩 阵 ,B HB , 则 存 在 可 逆 矩 阵 T ,使 得 T H A TE n,T H B TD .
则 对 C n 任 意 向 量 x (x 1 ,x 2, ,x n )T ,y (y 1 ,y 2 , , y n )T 都 有
n
n
n
|xi||yi|( |xi|p)1/p( |yi|q)1/q
i 1
i 1
i 1
例 2 设 x (x 1 ,x 2 , ,x n ) C n ， 则
定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
返回
算子范数的特性：
1)它是所有与||向 x|a| 量 相范 容数 的矩阵范 最小的.
||A|a |m xa |||A |x x||a x |a | ||A||
2) 它的两种表达形式
||
A||am xa|x|||Ax|x||a|a
(max|| ||u||a1
Au||a)
3 )它 是 自 相 容 矩 阵 范 数 ( 推 论 1 ) .
(max|| ||u||a1
Au||a)
是 与 向 量||x范 ||a相 数容 的 矩.阵 范 数
推论 1 设 ||x|a |是 Pn上 的 向 ,A 、 量 BP 范 nn, 数
||A||a是从属 ||x于 ||a的算子范数，容 则的 它 矩阵范数，即
||A|a B | ||A |a |||B |a |
则称||||是自相容矩阵范 . 数
返回
例 2 |A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
是不相容的矩阵范数 .
例如 A B11 11
AB
2 2
22
||AB||m2 ||A|m |||B|m |1
C 1 ||x ||a ||x ||b C 2 ||x ||a x V n ( P ) 则|称 |x|a |与 ||x|b |等.价 定理 3 Vn(P)上的义 3 设 x(k)(x1 (k),x2 (k), ,xn (k))T C n ， 如 k l i m xi(k)ai (i1,2, ,n)
|U | |2 | A |A | |2 | V |U | |2 A | |A ||V 2 |
返回
定理 5 设ACnn，则
(1) ||A|2 | ma|xyHA|x
|x || ||y || |1
(2 ) ||A |2 2 | ||A |1 |||A | |
返回
第三章
矩阵的分解
返回
其中i， 是A的特征 . 值
返回
二、算子范数 的计算:
例 4 从属于向||量 x|1 |的 范算 数子范数
n
|| A||1ma(x |aij|) j i1
被称为极大列和范数 .
例 5 从属|于 | x||的算子范数为
n
|| A||max( | aij |) i j1
被称为极大行和范数 .
返回
定理6
返回
§3 Hermite矩阵及其分解
定义1 A C n n ,A H A A 是 H e r m ite 矩 阵 A C n n ,A H A A 是 反 H e r m i t e 矩 阵
2. Hermite 矩阵的基本性质
( 1 )( A ,) ( ,A ) , , C n
返回
定理 2 设||||m是相容的矩阵存 范在 数向 ，量 则
范数|| x||，使
||A|x |||A |m | ||x||
P63页，相容的矩阵范数一定存在与之相容 的向量范数。
返回
定理 3 如果 ||||m:CnnR是一相容 阵范数，则A 对 C 任 nn一 ，有
|i |||A||m
则称向 x(k)收 量敛 a序 (a1 于 ,a 列 2, ,an).
定义 4 lim x(k) a
k
lim||x(k)a||0
k
定理 4 设|| ||是Cn上 的 任 一 向 量 范 数 ， 则
lim x(k) a
k
lim||x(k)a||0
k
返回
§2 矩阵的范数
返回
返回
返回
返回
返回
返回
二、任意矩阵的三角分解 定义 3：
定理 3：
返回
定理 4：
返回
定理 5：
返回
§2 矩阵的谱分解
一、单纯矩阵的谱分解
定义 1 设 1,2, ,k是ACnn的相异特
其 重r 数 1,r2, 分 ,rk,则 别 ri称 为 为A 矩 的阵 特
征值i的代数重复度
返回
定义 2 设ACnn，i是A的特征值，
r(A)ma|xi |称为A的谱半径 . i
例 6 设 A Pm n ，则|从 |x|2 |的 属算 于子
范数（又称为谱范数） 为 ||A||2 r(AHA)
返回
三、 谱范数的性质
定理 4 设ACnn，则 ( 1 )|A ||2 | |A |H |2 | |A |T |2 | |A ||2 | ( 2 )|A |H A |2 | |A |H A |2 | |A ||2 2 | (3) 对任 n阶 何 酉U 矩 及 V 都 阵有
返回
例 3 ||||m1 和||||m2 是相容的矩.阵范数
返回
定理 3 设APnn,
(1 ) 若 A (a 1 ,a 2 , ,a n )则 ,
n
||A||2 F||A||m 22 ||ai ||2 2
i1
其中 ||ai|2 2 |， aiH ai.
n
(2) ||A |m 2 |2t(rA H A ) i(A H A )