高中数学人教B版高二数学必修5检测 3.5.2简单线性规划

一、选择题

1．图3－5－2中阴影部分的点满足不等式组⎩⎨⎧

x ＋y ≤5，

2x ＋y ≤6，

x ≥0，y ≥0，

在这些点中，

使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是( )

图3－5－2

A ．(0,5)

B ．(1,4)

C ．(2,4)

D ．(1,5)

【解析】 目标函数可化为y ＝－34x ＋z 8，因为－3

4>－1，

∴当过点(0,5)时，目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值． 【答案】 A

2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x 辆载重6吨汽车和y 辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )

A ．z ＝6x ＋4y

B ．z ＝5x ＋4y

C ．z ＝x ＋y

D ．z ＝4x ＋5y

【解析】 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z ＝6x ＋4y .

【答案】 A

3．(2013·东营高二检测)已知x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧

x ≥0，

y ≥0，

x ＋y ≥1，

则(x ＋3)2＋y 2

的最小值为( )

A.10 B ．2 2 C ．8

D ．10

【解析】 画出可行域(如图所示)．

(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小，

∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D

4．(2013·惠州高二检测)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x －2≤0，

y －1≤0，

x ＋2y －2≥0，

则z ＝x

－y 的取值范围为( )

A ．[－2，－1]

B ．[－2,1]

C ．[－1,2]

D ．[1,2]

【解析】 画出可行域，如图中的阴影部分所示．

如图知，－z 是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距，当直线y ＝x －z 经过点A (2,0)时，－z 取最小值，此时x ＝2，y ＝0，则z 的最大值是x －y ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 经过点B (0,1)时，－z 取最大值，此时x ＝0，y ＝1，则z 的最小值是x －y

＝0－1＝－1，所以z ＝x －y 的取值范围为－1≤z ≤2.

【答案】 C

5．某厂拟用集装箱托运甲，乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为( )

货物 体积/箱(m 3)

质量/箱(50 kg)

利润/箱(百元)

甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制 24

13

C ．1,4

D ．2,4

【解析】 设托运货物甲x 箱，托运货物乙y 箱，由题意得： ⎩⎪⎨⎪

⎧

5x ＋4y ≤242x ＋5y ≤13x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N *，利润z ＝20x ＋10y ，由线性规划知识可得，当

x ＝4，y ＝1时，利润最大．

【答案】 A 二、填空题

6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，

x ≥0，

则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1

的最大值为________．

【解析】 画出x ，y 的可行域，如图阴影部分，直线x ＋2y －5＝0与直线x －y －2＝0交于点A (3,1)，当z ＝2x ＋3y ＋1过A 点时，使得z ＝2x ＋3y ＋1取得

最大值，z max ＝2×3＋3＋1＝10.

【答案】 10

7．已知x 、y 满足⎩⎨⎧

x －y ＋5≥0，

x ≤3，

x ＋y ＋k ≥0，

且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k

＝________.

【解析】 由条件作出可行域如图．

根据图象知，目标函数过x ＋y ＋k ＝0与x ＝3的交点(3，－3－k )时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k )，∴k ＝0.

【答案】 0

8．(2013·烟台高二检测)设x ，y

满足约束条件⎩⎨⎧

3x －y －6≤0，

x －y ＋2≥0，

x ≥0，y ≥0，

若目标函

数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的取值范围是________．

【解析】 作出可行域如图． ∵a >0，b >0.

∴当ax ＋by ＝z 经过A 时，z 取得最大值．

由⎩⎪⎨⎪⎧

3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，得A (4,6)． ∴4a ＋6b ＝12,2a ＋3b ＝6， ∴ab ＝16×(2a )×(3b )≤16×(62)2＝32， 即ab ∈(0，3

2]． 【答案】 (0，3

2] 三、解答题

9．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

3≤2x ＋y ≤9，

6≤x －y ≤9，求z ＝x ＋2y 的最小值．

【解】 作出可行域如图阴影部分所示， 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－2x ＋3，y ＝x －9，

解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z min ＝4＋2×(－5)＝－6.

10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧

x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，

x ≥1，

设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时，

对应的点有无数多个，求a 的值．