1.1数列的概念教案

数列的概念

一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.

作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．

2．教学目标分析 (1)了解数列的概念

新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．

(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点

重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法与学习方法

启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。 三、教学情境设计 【创设情景，引入问题】

⑴国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；

23631,2,2,2,,2

⑵古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；

1111111,,,,,,248162

n ⑶中国体育代表团参加历届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。 15,5,16,16,28,32,51,38

⑷十三世纪意大利数学家裴波那契通过对大多数花朵的花瓣进行观察发现，大多数花朵的花瓣数目是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……向日葵不是21瓣，就是34瓣。 雏菊都是34，55，或89瓣。其他数目则很少出现。

如上几列数的共同特点是什么？这些数都是按照一定顺序排列的… 【知识点归纳】

1．按一定次序排列的一列数叫做叫做数列。

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列中的每个数叫做这个数列的项.数列可以看作一个定义域为正整数的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图像是散点.

2. 数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 这个数式叫做数列的通项，通项公式反映了项与项数之间的函数关系.

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，…. ；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是

⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

⑷数列不是集合，用符号}{

n a 表示数列，只不过是“借用”集合的符号，他们之间有本质的区别：集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列。

3．递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式注意：递推公式也是给出数列的一种方法

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

4．数列的分类

⑴按照项数是有限还是无限来分:有穷数列,无穷数列. 关键看省略号来判断数列是否有界

⑵按照项与项之间的大小关系来分:递增数列与递减数列统称为单调数列.

观察数列通项的特点,通项公式是单调函数的就是递增数列;通项中有()n

1-的一般为摆

动数列;公差d=0的为常数列

⑶按照任何一项的绝对值是否都不大于某一正数来分:有界数列、无界数列.

判断通项的值域,值域的绝对值小于等于某正数时成为有界函数,否则叫做无界函数 5．根据数列的前几项写出一个通项公式

观察归纳法:先观察那些因素随项数n 的变化而变化,哪些因素不变;分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系,初步归纳出公式,再取n 的特殊值进行检验.根据前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律。根据此规律便可写出一个相应的通项公式。

⑴写通项公式时，要注意项数n 与

n a 的关系，为了突出显现数列的构成规律，可把序

号1，2，3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项与n a 的关系，即n a 如何用n 表示。 ⑵由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行简化，因此我们要观察它的构成规律，就必须要对它进行还原工作

如：有几项的分子或分母相同时，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试。

⑶当一个数列出现“+”、“-”相间时，应先把符号分离出来，即用(1)n -或1(1)n --表示。

⑷当一个数列间隔几项才具有相同的规律（特别是奇数项与偶数项）时，不妨用分段函数来表示其通项公式。

⑸熟记一些基本数列（如2,21,,2,3n n

n n n n n a n a n a n a a ==-===等）的前几项以及

它们的变化规律（如增减速度）。以及他们的组合数列的特点。

例1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：

⑴3，5，9，17，33，…；

⑵

;,99

10

,638,356,154,32 ⑶2，－6，12，－20，30，－42，…． ⑷7,77,777,7777，…．

⑸

4142,,,52117 ⑹1925,2,,8,222

⑺1,3,6,10,15…．

解析：

⑴联想数列2，4，8，16，32，…，可知所求通项公式为a n ＝2n ＋1. ⑵分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n }；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，…， 故所求通项公式为⋅+-=

)

12)(12(2n n n

a n

⑶将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，…，于是可得已知数列的通项公式为

()()1

11n n a n n +=-⋅+

⑷把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,….()7

1019n n a =

- 遇到各位数字都一样的数列,先把数列变成99…99,再用101n

-代替

⑸注意前四项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为4142

,,,52117

,于是他们的分母相

差3.因而有4

32

n a n =+.

⑹统一分母为2,则有: 1491625,,,,22222因而有2

2

n n a =

⑺注意6=2⨯3,10=2⨯5,15=3⨯5.规律还不明显,再把各项的分子分母都乘以2,

即1223344556

,,,,,22222⨯⨯⨯⨯⨯ 因而有()12

n n n a +=. 练习：

1、根据数列的前几项，写出下列数列的通项公式 (1) ,16

1

8,816,414,212

; (2) ,11,10,11,10,11

,10;