物理竞赛1(力学)

m
zc
m z
i 1
N
i i
m
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
xc
xdm
m
rc
rdm m
yc
ydm
m
dm dV
dm dS
dm dl
zc
zdm
m
二、质心系
质心在其中静止的平动参照系。
ri ri rc
N mi (ri rc ) mi ri ' 0 i 1 i 1
vi vi vc
三、质心运动定律
N N mi dri P pi dt i 1 i 1 d(mrc ) drc m dt dt
d mi ri
N i 1
dt
rc
mi ri
N i 1
p mv c
杆＋小球系统，外力矩为零，角动量守恒， 新质心C’位置
对新质心C’
l mv ( J c 1 J c 2 )w 4
对新质心C’
l mv ( J c 1 J c 2 )w 4
m v
1 l 2 7 ml 2 2 J c1 ml m( ) 48 12 4
（平行轴定理）
C
N kx (m1 m2 )ac
k ac x m1 m2
f
N
xl
ac max kl m1 m2
F m2
f
②质心 的最大速度 m2 过平衡位置时的速度
k m1 m2
F
1 2 1 2 kl mv 2 max 2 2
v 2 max
k l m2
=0
vc max
km 2 m1v1 m2v 2 l ( )max m1 m 2 m1 m2
i i j
ri
pi · · · f ij f ji
· · ·
rj
· j
合外力矩
d M M i ri Fi ( Li ) dt i i i
dL M dt
合外力矩为零，质点系总角动量守恒
Lo ri pi mi ri v i
z'
z
mi ( rc ri) (vc v i )
i
v i vc v i
ri rc ri
i
i
rc
O
C O' x'
ri ri
mi
y'
y
x
rc ( mvc ) rc mi v i ( mi ri) vc mi ri v i
N

i 1
N
m i ri 0
z
z'
C O' x'
ri ri
mi

i 1
N
mi v i 0
x
rc
O
y'
y
质心系中
z'
z C O' x'

i 1
N
ri ri
mi v i 0
x
mi
rc
O
y'
y
（零动量参照系）
质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量 守恒定律适用，而且，总动量 为零。 质心系中质点 mi 的速度:
反向转了
rc P Lc
③ 再次插入O孔前后
LO IOwB
1 w0 w B w0 8
Lo I o wo


m,l
逆时针转
A
O
B
例（19th,4）质量分别为 m1 和 m2 的 两物块与劲度系数为 k 的 轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧 水平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系 统质心 C 可获得的最大加速度为 ，可获得的最 大速度值为 。 解： ①质心 的最大加速度 k m1 m1 m2 F
m
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
dP F dt
→
F mac
* 在质心系中惯性力和外力完全抵消，故动量守恒。
质点系的角动量守恒定律
内力矩
i j
dLi M i ri ( Fi f ij )
Fi
·i
dt
ri f ij rj f ji ri f ij r j ( f ij ) o ( ri r j ) f ij 为零 M in ( ri f ij ) M in 0
Mc
c
dt
A
2a cos30 a t1 3 v0 v0
选择质心系，角动量守恒 绳子拉紧前， A 、B 相对与质心的速度大 小为 v 0

A
v0 30° a
v0 2
B
2a
v0 2
C
B
绳子拉紧后， A 、B相对于质心做圆周运动，角速度设为 w
2
dLc 解：对于质心有 Mc dt v0 2 2ma w 2m a sin 2 6 v0 1 2aw 2 2 2 v0 w 4a

Io 1 wA w0 w0 IA 4
A O
m,l
LB Lc rc P l LB I o w A muOA 2
1 LB ml 2w 0 24
wB
rc
B
uOA
l rc w A w A 2
vc
LB I B w B

1 w B w0 8
p
零 零
Lo Lc rc p
Lc Li
i
LO Lc rc p dLO dLc d( rc p) dt dt dt dLc dp drc rc p dt dt dt
例:(15th,11) 两个质量相同的小球A 、B, 用长为 2a 的无弹性且 的不可伸长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上， B在A 的下方， 相距为a，如图所示。今给A 一水平初速度v0 ， 同时静 止释放B ，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问： 经过多长时间，A、B 恰好在同一水平线上？ dL 解： 从释放到绳子拉直所用时间
C’
l 4
Jc2
l 2 m( ) 4
6v w 5l
系统的质心以 v / 2 速度平动，
系统绕过质心的轴以 w ＝6v/5l 为角速度做匀角速 转动。
例（19th,9）如图所示。表面呈光滑的 刚体无转动地竖直下落。 图中虚线对应过刚体唯一地 最低点部位P1 的水平切平面。图中 竖直虚线P1 P2 对应着过 P1 点的铅垂线， C 为刚体的 质心。设 C与铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将C到P1 P2 的距离记为 d ，刚体质量为 。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平 转轴的 转动惯量为 IC . 设 IC＞m d 2。已知刚体与水平地面将发 生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的 点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相 反，大小不变。 P2 d vc 解： C y P
v0 2Gm 2 l0
（G为引力常数）
v0 f
m1
f
F
m1 A
S’
B
m2
F
v0
l0
S
解： （1）以 m 为 S’系 2
v0 f
m1 A
S’
B
m1
f
F
m2
F
v0
l0
S
机械能守恒
m1 m 2 m1 m 2 1 2 m1 v 0 G G 2 l0 l max
2
d
C P1
v0
N
P1
解：
Nt mvc m(v0 )
Ntd I cw 1 1 1 2 2 2 mv c I cw mv 0 2 2 2
I c md vc v 2 0 I c md
2
P2 P0
vc
d C
y
P1
N
2md w v 2 0 I c md
v vc wd v0
dp dLc dp r Fi rc rc dt dt dt
Mc
ri Fi rc Fi

质心系中：
dLc Mc dt
例：（ 18th, 9分 ）均匀细杆AOB 的A 端，B 端和中央位置O 处各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔 以角速度 w。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。 今将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平 方向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍 如前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时， 将另一光滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细 杆AOB 绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。 解：

6 wt 2
Mc = 0
C
B
30° v0 2 v0
v0 2
2a t2 6w 3v0
2 a t t1 t 2 ( 3 ) 3 v0
例： 某惯性系中有两个质点A、B， 质量分别为 m1、 m2 ，它 们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点A静止， 质点B 沿连线方向的初速度为 v0 .为使质点 B 维持速度v0不变， 可对质点 B 沿连线方向施一变力 F，试求：（1）两质点的最 大间距，及间距为最大时的 F 值（2）从开始时刻到间距最大 的过程中，变力 F 作的功（相对惯性系） 解： 以 m2 为 S’系
物理竞赛辅导
力 学 (Ⅰ)
质心 ( Center of Mass)
一、质心 N个粒子系统，定义质量中心
z
rc
m i ri
i 1 N
N
mi
i 1
N

m i ri
i 1
N
r c
O x
mi ri
y
m
xc
mi xi
i 1
m
yc
m y
i 1 i
N
i
例：长为 l ，质量为m 的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过 杆的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与 光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来，与杆碰撞并粘在杆 端点上，如图。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态。（2）若 去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。 解： （1）角动量守恒
l 1 1 2 2 mv ( ml ml )w 2 12 4
O v m
C
3v w 2l
以 3v/2l 为角速度做匀角速转动。
去掉固定轴，杆中点不固定
质心的平动＋绕质心的转动 杆＋小球系统，动量守恒
O m v C
mv 2mvc
v vc 2
l m m0 l 2 mm 4
C’
l max
2Gm 2 2Gm 2
G
l 2 0 l0v0

2 ( 2Gm 2 l 0 v 0 ) 2 m1 2 4l 0 Gm 2
F G
m1m2 r
2
m1m2 l
2 max
（2）S系中
m1 A B
当 l = lmax 时，m1的速度 v =v0
由动能定理，对（m1+ m2 ）
m2
F
1 1 2 2 (m1 m2 )v0 m2v0 2 2
m1 m 2 m1 m 2 G G l max l0
1 1 2 2 m1 m 2 m1 m 2 WF (m1 m2 )v0 m2 v0 G G 2 2 l max l0
v0
l0
S
WF W一对 f
1 1 2 2 (m1 m2 )v0 m2v0 2 2
W一 对 f

l max
l max

l0
f dr
v0
m1
f

l0
m1 m 2 m1 m 2 m1 m 2 G G dr G 2 l max l0 r
WF W一对 f
W一 对 f
drc P 0 dt
x
z'
z C O' x'
ri ri
mi
rc
O
y'
y
dLO dLc dp MO rc dt dt dt
dLO dLc dp dLO dLc dp ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ O rc rc dt dt dt dt dt dt M O ri Fi (ri rc ) Fi
1 1 2 2 Io ml , I A I B ml 12 3
① 插入A孔前后
LA LA
LA Lc rc P
m,l
LA Lc I ow0
LA I A w A
A O
B
LA Lc I ow0
LA I A w A
② 插入 B 孔前后