(完整版)合情推理演绎推理专题练习及答案(可编辑修改word版)

合情推理、演绎推理

一、考点 二、命题预测：

归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测 2012 年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。

三、题型讲解：

1：与代数式有关的推理问题 a 2

- b 2

= (a - b )(a + b ),

例 1、观察a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2

) a 4 - b 4 = (a - b )(a 3 + a 2b + a b 2 + b 3 )

进而猜想

a n -

b n =

例 2、观察 1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第 n 个等式是：

。

练习:观察下列等式：13

+ 23 = 32 ，13

+ 23 + 33 = 62 ，13 + 23 + 33 + 43 = 102 ，…，根据上述规律，第五个

等式为

。

解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+...+（i+1）的平方所以第五个

等式为13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = 212 。

练习： 在计算“ 1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + ⋅⋅⋅ + n (n +1) ” 时， 某同学学到了如下一种方法： 先改写第 k 项：

k (k +1) = 1

[k (k +1)(k + 2) - (k -1)k (k +1)], 由此得

3

1⨯ 2 = 1 (1⨯ 2⨯ 3 - 0⨯1⨯ 2), 2⨯ 3 = 1 (2⨯ 3⨯ 4 -1⨯ 2⨯ 3), … n (n +1) = 1 [n (n +1)(n + 2) - (n -1)n (n +1)].

3 3 3

相加，得1⨯ 2 + 2⨯3 + ⋅⋅⋅ + n (n +1) =

1

n (n +1)(n + 2).

3

类比上述方法，请你计算“1⨯ 2⨯ 3 + 2⨯ 3⨯ 4 + ⋅⋅⋅ + n (n +1)(n + 2) ”，其结果为

.

1

答案： n (n +1)(n + 2)(n + 3)

4

2：与三角函数有关的推理问题

例 1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。

⎪ sin 2 300 + sin 2 900 + sin 2 1500 = 3

,

2 sin 2 600 + sin 2 1200 + sin 2 1800 = 3

2 sin 2 450 + sin 2 1050 + sin 2 1650 = 3

,

2 sin 2 150 + sin 2 750 + sin 2 1350 = 3

2

练习：观察下列等式：

① cos2α=2 cos 2

α－1；

② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2

α+1；

③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2

α－1；

④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2

α＋1；

⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2

α－1； 可以推测，m －n+p= .

答案：962

3：与不等式有关的推理

例 1、b 克盐水中，有 a 克盐（ b > a > 0 ），若再添加 m 克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提 炼一个不等式

.

例 2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 1 (k ∈ N + ), 已知铁钉受击三次后全部进入木板，且第一次受击后进入木

k

板部分铁钉长度是钉长的 4

, 请从这个事实中提炼一个不等式组为

。

7

⎧ 4 + 4

< 1

答案： ⎪ 7 7k ⎨

4 4 4 ,

+

+ ≥ 1 ⎪⎩ 7 7k 7k 2

练习、观察下列式子：

1+ 1 < 3 ，1+ 1 + 1 < 5 , 1+ 1 + 1 + 1 < 7 ,

22

2

22 32 3 22 32 42 4 .............

由上可得出一般的结论为： 。

1+ 1 + 1 + (1)

< 2n +1,

答案： 22 3

2

(n +1)2 n +1

练习、由 3 > 3 +1 , 4 > 4 +1 , 5 >

5 +1

。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。

2 2 +1

3 3 +1

4 4 +1

4：与平面向量有关的推理

例 1、类比平面向量的基本定理：如果e , e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向

1

2

量a ，有且只有一对实数, 使： a = e

+ e

。写出空间向量基本定理是：

1

2

1 1

2 2