特殊的平行四边形(2)

驶向胜 利的彼 岸 B
C
我思,我进步4
正方形的性质
定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. A D 已知:四边形ABCD是正方形. 求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. (2)AB=BC=CD=DA. 分析:因为正方形具有矩形和菱形 B C 的所有性质,所以结论易证. 证明: ∵四边形ABCD是正方形,
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角.
例题欣赏
4
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为 13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900,DE
AE
∴ ∠ACB=900.
C
B
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菱形的性质
D A B C
定理:菱形的四条边都相等. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. 分析:由菱形的定义,利用平行 四边形性质可使问题得证.
证明: ∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC.
驶向胜利 的彼岸
独立 作业
知识的升华
P99习题3.5 1,2,3题.
祝你成功！
驶向胜 利的彼 岸
我思,我进步2
菱形的判定
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. D 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:要证明□ABCD是菱形,就 O 要证明有一组邻边相等即可. A 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC. ∴四边形ABCD是菱形.
驶向胜利 的彼岸
B
C
回顾
思考
等腰梯形的性质
A D
定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
B
C
定理:等腰梯形的两条对角线相等.
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴AC=DB..
A
D
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾
思考
正方形的判定
D
定理:有一个角是直角的菱形是正方形. A ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. 定理:对角线相等的菱形是正方形. ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形.
B A O B
C D
C
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.
回顾
思考
等腰梯形的判定
A D
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC.
B
C
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC.
A D
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾
B
矩形的判定,直角三角形的 判定
D
定理:对角线相等的平行四边形是矩形. ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. A ∴四边形ABCD是矩形. 定理:如果一个三角形一边上的中 线等于这边的一半,那么这个三角 B 形是直角三角形. A 在△ABC中, D ∵AD=BD=CD,
C
D
C
驶向胜利 的彼岸
B C
∵∠ABC=900.
∴四边形ABCD是正方形.
驶向胜 利的彼 岸
回顾
思考
菱形的性质
定理:菱形的四条边都相等. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD.
D A B C A
D
O C
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对 角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. 驶向胜利 ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD 的彼岸 平分∠ADC和∠ABC.
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
B
E
D
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
C
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
B
回顾
思考
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中, ∵AB=BC=CD=AD, D ∴四边形ABCD是菱形.
D A B C B A O C
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. 驶向胜利
的彼岸
∴四边形ABCD是菱形.


驶向胜 利的彼 岸
我思,我进步2
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. D 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.. A C 求证:四边形ABCD是菱形. B 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形 是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.
A
C
E B
F
G 的彼岸
驶向胜利
C
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四边形之间的关系
四边形之间有何关系？ 特殊的平行四边形之间呢？ 还记得它们与平行四边形的关系吗? 能用一张图来表示它们之间的关系吗?
矩形 平行四边形 正方形 菱形 四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
驶向胜利 的彼岸
回顾
思考
矩形的性质,推论
A D
定理:矩形的四个角都是直角. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.
驶向胜 利的彼 岸
∴ AB=BC=CD=AD.
我思,我进步3
菱形的性质
已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O. D 求证: (1).AC⊥BD; (2).AC平分∠BAD和∠BCD, O BD平分∠ADC和∠ABC. A C 分析:根据平行四边形对角线互相平分和 等腰三角形“三线合一”来证明. B 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. 驶向胜利 ∴AC⊥BD. 的彼岸 (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾
思考
平行四边形的判定
A D C
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.
B
′
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. A D ∵AO=CO,BO=DO, O ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. ∵∠A=∠C,∠B=∠D. ∴四边形ABCD是平行四边形.
思考
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 A 边的一半. ∵DE是△ABC的中位,
1 ∴DE∥BC,DE BC . 2 这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据.
′
D E
模型:连接任意四边形各边中点 B 所成的四边形是平行四边形.
要重视这个模型的证明过程反映出来的 规律:对角线的关系是关键.改变四边形 H 的形状后,对角线具有的关系(对角线相 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决 D 定了各中点所成四边形的形状.
B A
C D
定理:矩形的两条对角线相等. ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. B ∴AC=BD. A
C
D
推论(直角三角形性质):直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,
CD 1 AB. 2
C
驶向胜利 的彼岸
B
回顾
思考
定理:有三个角是直角的四边形是矩形. A ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形.
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C
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正方形的判定
定理:对角线相等的菱wk.baidu.com是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形, 可转化为证明有一组邻边相等的矩 A 形(或有一个角是直角的菱形)即可. O 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. B ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,
AB=BC=CD=DA.
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正方形的性质
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平 分,每条对角线平分一组对角. 已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. 求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平 A D 分∠ADC和∠ABC. 分析:因为正方形具有矩形和菱形 O 的所有性质,所以结论易证. 证明: ∵四边形ABCD是正方形, B C ∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. ∴AO=CO,BO=DO; 驶向胜 AC=BD; 利的彼 AC⊥BD; AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. 岸
九年级数学(上)第三章 证明(三) 3.2特殊的平行四边形(2) ——菱形,正方形的性质及判定
回顾与思考 1
学好几何标志是会 “证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 驶向胜利 执“果”索“因”.); 的彼岸 (5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
回顾
思考
平行四边形的性质
A D
定理:平行四边形的对边相等.
′
∵四边形ABCD是平行四边形. B C ∴AB=CD,BC=DA. A D 定理:平行四边形的对角相等. O ∵四边形ABCD是平行四边形. B C ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. M A D N 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. Q C P B ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. 驶向胜利 ∵MN∥PQ,AB∥CD, 的彼岸 ∴AB=CD.
D
C
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
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正方形的判定
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对 角线相等的菱形)即可. A D 证明: O ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.
回顾
思考
正方形的性质
定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.
A D
A
O
D
B
C
B
C
定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直 平分,每条对角线平分一组对角. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平 驶向胜利 的彼岸 分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和 ∠ABC.
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正方形的判定
D
定理:有一个角是直角的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形, 可转化为证明有一组邻边相等的矩 B 形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.