正余弦函数的性质
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第一章三角函数1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 学习目的:
要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性;
掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 学习重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性;
学习难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
课堂探究:
1.奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么?
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时,函数y 取同一值。
例如:
f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3
π);…… 由于cos(-x)=cosx ∴f (-x)= f (x).
以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y )是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上,这时,我们说函数y=cosx 是偶函数。
定义:一般地,如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ,都有f (-x)= f (x),那么函数f (x)就叫做偶函数。
例如:函数f (x)=x 2+1, f (x)=x 4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称。
也就是说,如果点(x,y )是函数y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点(-x,-y )也在函数y=sinx 的图象上,这时,我们说函数y=sinx 是奇函数。
定义:一般地,如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f (x)就叫做奇函数。
例如:函数y=x, y=x
1 都是奇函数。 如果函数f (x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数:
(1)其定义域关于原点对称;
(2)f (-x)= f (x)或f (-x)=- f (x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算f (-x),看是等于f (x)还是等于- f (x),然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。
2.单调性
从y =sin x ,x ∈[-
23,2ππ]的图象上可看出: 当x ∈[-2π,2
π]时,曲线逐渐上升,sin x 的值由-1增大到1. 当x ∈[2
π,23π]时,曲线逐渐下降,sin x 的值由1减小到-1. 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[-
2π+2k π,2
π+2k π](k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2π+2k π,23π+2k π](k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间[(2k -1)π,2k π](k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2k π,(2k +1)π](k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形,可知
y=sinx 的对称轴为x=2π
π+k k ∈Z
y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z
(1)写出函数x y 2sin 3=的对称轴;
(2))4sin(π
+=x y 的一条对称轴是( C )
(A) x 轴, (B) y 轴, (C) 直线4π=
x , (D) 直线4π-=x 4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)1sin cos ();1sin cos x x f x x x
+-=++ (2)f(x)=sin 4x-cos 4x+cos2x;
(3)()lg(sin f x x =
(4)2
|2|)1lg()(2---=x x x f (5)⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=)0(
)0( )(22x x x x x x x f ; 例2 (1)函数f (x )=sin x 图象的对称轴是 ;对称中心是 .
(2)
函数()cos f x x x =+图象的对称轴是 ;对称中心是 .
例3 已知f(x)=ax+bsin 3x+1(a 、b 为常数),且f(5)=7,求f(-5).
例4 已知12
1sin ()log .1sin x f x x -=+已知 (1) 求f(x)的定义域和值域;
(2) 判断它的奇偶性、周期性;
(3) 判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角,且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,
求θ的值.
(2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x 的图象关于直线8x π=-
对称,求b 的值. 例6 已知24()log (sin
sin )(0,1)22a x x f x a a =->≠,试确定函数的奇偶性、单调性. 1.有关奇偶性
(1)|sin |||sin )(x x x f +=
(2)x
x x x x cos sin 1cos sin 1)(++-+= 2.有关单调性
(1)利用公式2sin 2cos 2sin sin β
αβ
αβα-+=-,求证x x f sin )(=在]2
,2[ππ-上 是增函数;
(2)不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0;
①)10
sin()18sin(ππ
---; ②)4
17cos()523cos(ππ--- (3)比较3sin ,2sin ,1sin 大小;)2sin(1sin )3sin(-<<-ππ
(4)求函数)43sin(2π+
=x y 的单调递增区间;
5.巩固与练习
(1)化简:4cos 2sin 22+- (2)已知非零常数b a ,满足158tan 5sin 5cos 5cos 5sin
ππππ
π=-+b a b a ,求a b 的值; (3)已知35sin 10cos 8,5cos 10sin 8=+=+βαβα
求值:(1))sin(βα+;(2))3sin(
απ+
解:(1)4cos 2sin 22+- 2cos 3|2cos |32cos 3)2sin 1(32sin 212sin 22222-===-=-+-=