浅谈最短线路及其动态规划

浅谈最短线路及其动态规划

最短路问题是一个组合优化问题，它不但可以被直接用于解决生产生活中的很多实际问题，而且常常被作为一种有效工具，用于解决其他优化问题.本文将最短路问题及其动态规划谈一些自己粗浅的认识。

标签：最短路；描述；动态规划

最短路问题是最基本的组合优化问题之一，随着我国经济水平的迅猛发展和城市化过程的加快，城市交通线路已进入飞速发展时期，最短路算法在人们的日常生活中显得越来越重要.比如，每天开车去上班，应该选择哪条路线才能使自己到单位的费用最低、时间最少，这是最短路的问题；在电网架设、城市规划以及交通旅游中如何使其耗费的资金最少，这也是最短路问题；管道设计问题，给出一个网络图，从A点铺设一条煤气管道到E点，必须经过三个中间站，如何选择路线使得铺设的管道费用最少，这还是最短路问题.目前，最短路问题及其算法在实际生活的各个领域中应用广泛.计算机C语言，运筹学以及图论中的某些重要思想都在涉及最短路问题及其算法问题，并且被普遍应用于农业，军事以及重型工业和交通等等.由此可见研究最短路问题是非常有意义的.

很多参考文献对最短路问题及其算法进行了讨论，文献[1-3]讨论了最短初等链法，给出了最短初等链法是最短路问题的通用算法的结果，文献[4-6]介绍了最短路问题的动态规划算法，给出了算法的基本思想与解题步骤，文献[7-9]介绍了伏特算法，给出了算法的具体步骤与适用的问题类型，文献[10-11]介绍了最短路问题的狄克斯特拉算法，通过对算法基本步骤的了解，为提高其搜索速度提出了一种新的算法，文献[12-13]介绍了狄克斯特拉算法的局限性，给出此算法不适于具有负弧长的情形.

一、最短路程问题描述

在图论中关于最短路问题的提法是：

设图G=（V，E）为连通图，对G的每一条边，相应的有一个数（简记作）称为边的权（表示到无关联边），图G连同在它边上的权称为赋权图.设H是赋权图G的子图，H的权是它的每一条边的权的和.在赋权图中，一条边的权也可说成是它的长.若在赋权图中任取两点和，所谓最短道路就是求出一条路μ，它表示的是从到的全部路中总权最小的路[2]，即

最短路问题在图论中的应用比较广泛，它包含许多生活中的实际问题，如各种管道的铺设、线路的安排、输送网络最少费用等问题，通过建立最短路问题模型都可以进行求解.

二、最短路程問题的动态规划

动态规划处理的问题是一个多阶段的决策问题，一般从初始状态开始，经过对中间阶段的决策选择，最终达到结束状态.这些决策形成一个决策序列，同时也确定了一条整个过程的活动路线.动态规划的设计有一定的模式，通常要经历以下几个步骤：

初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策n│→结束状态.

利用动态规划解题的基本思路：将一个多阶段的决策问题转化成依次求解多个单阶段的决策问题，进而简化计算的过程，这种方法的实现就是从终点反向递推，即采用逆序算法.

若赋权图1以A为起点，以D为终点，如何求出以A为起点，以D为终点的最短路？

应用动态规划算法求解上述问题的基本思想是：

（1）把以A为起点的全部链的终点按链的长度进行分类.如图1所示，以A 为起点的全部链的终点根据链的长度被分为4部分，可用集合分别表为：

每一部分称为一个状态，相邻的两个状态以及由它们间的有向线段构成的有向边记做一个阶段，任一条边都含有一个权值，图1是赋权三阶段有向图.

图1 赋权三阶段有向图

（2）利用逆序递推的方法进行求解，从最后一阶段一直到第一阶段分别逐步求出每点到终点的最短路，最后再求起点A到终点D的最短路.

利用动态规划描述多阶段决策问题的基本概念[7]有：阶段与阶段变量k，决策与决策变量，策略与最优策略，指标函数与最优指标函数，状态与状态变量，状态的转移方程，阶段指标（阶段效益）等.从第k阶段状态起至第n阶段终止状态过程中的策略，指标函数及最优值函数可分别用式（1）～式（4）表示.

（1）

（2）

（3）

（4）

动态规划的基本方程：

在动态规划中有2种算法：顺序递推和逆序递推.顺序递推就是从始点向终点逐段的递推，而逆序递推则是从终点向始点逐段的递推[3].

若一个多阶段的决策问题有一个固定的过程始点和一个固定的过程终点，那么2种递推方法所得到的最优结果是相同的.

参考文献

[1]刘道建.最短路问题的通用算法--最短初等链法[J].湘潭师范学院学报，2003，25（2）：11-13.

[2]郭锐.最优化算法中的最短路问题讨论[J].大庆师范学院学报，2008，28（2）：75-78.