三角形的五心欧拉线的相关知识及证明

三角形的五心

欧拉点：三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。

欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。

欧拉线：

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

证明：

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’

∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角

∴ AD⊥AB，DC⊥BC

∵ CH⊥AB，AH⊥BC

∴ DA‖CH，DC‖AH

∴ 四边形ADCH是平行四边形

∴ AH=DC

∵ M是BC的中点，O是BD的中点

∴ OM= 1/2DC

∴ OM= 1/2AH

∵ OM‖AH

∴ △OMG’ ∽△HAG’

∴AG’/MG’=AH/MO=2/1

∴ G’是△ABC的重心

∴ G与G’重合

∴ O、G、H三点在同一条直线上

垂心：

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F

求证：CF⊥AB

证明：

连接DE

∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、C、D到AB中点距离相等

∴A、B、D、E四点共圆（以AB为直径的圆）

同理C、D、O、E到OC中点距离相等

∴C、D、O、E四点共圆（以OC为直径的圆）

∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度

∴∠ACF+∠BAC=90度

∴CF⊥AB

重心：

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF

外心：

已知：有一△ABC，F是AB中点，E是AC中点 FO垂直AB，EO垂直AC。

证明:AO=BO=CO

解：在△AFO与△BFO中

AF=BF

FO=FO

∠AFO=∠BFO=90°(垂直平分线)

∴△AOF全等于△FOB(SAS)

∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)

在△AOE与△ECO中

AE=EC

EO=EO

∠AEO=∠CEO(垂直平分线)

∴△AOE全等于△COE(SAS)

∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)

∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)

又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)

∴AO=BO=CO

即O为△ABC的外接圆的圆心

内心

有一△ABC，AO,BO为角平分线，求证OC为角平分线。

自O点作三边的垂线交三边于D,M,N,则OD=OM=ON,连接OC,则OC平分∠C,所以三角形三条角平分线交于一点。

旁心

证明:EO=FO=DO

在△ADO与△AFO中:

∠AFO=∠ADO

∠DAO=∠FAO(角平分线)

AO=AO(公共边)

∴△ADO与△AFO全等

∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)

在△FCO与△CEO中:

∠CFO=∠ACEO

∠ECO=∠FCO(角平分线)

CO=CO(公共边)

∴△FCO与△CEO全等

∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等) ∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等) 又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等) ∴EO=FO=DO