2014高考数学一轮复习课件2.1函数及其表示

②当0＜x≤1时，－1≤－x＜0， 此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1， ∴f(x)－f(－x)＞－1化为－x＋1－(x－1)＞－1， 3 解得x＜ ，则0＜x≤1. 2 1 故所求不等式的解集为[－1，－ )∪(0，1]． 2
【答案】
(1)D
(2)B
1．解答本题(2)时，因自变量范围不确定应分类求解． 2．应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个 区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区 间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
【答案】
13 9
4．(2012· 广东高考)函数y＝ ________．
x＋1 x
的定义域为
【解析】
x≥－1， x≠0.
要使函数有意义，需
x＋1≥0， x≠0.
解得
∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
【答案】
{x|x≥－1且x≠0}
lg（x2－2x） (1)(2013· 珠海模拟)求函数f(x)＝ 的定义 2 9－x 域； (2)若函数f(x＋1)的定义域为[0，1]，求函数f(2x－2)的 定义域．
【思路点拨】 确定部分 写出函数 (1) → 列不等式组 → 约束条件 的定义域
(2)f(2x－2)的定义域受函数f(x)制约．
【尝试解答】
(1)要使该函数有意义，
x2－2x＞0， x＜0或x＞2， 需要 则有： 2 9－x ＞0， －3＜x＜3，
解得：－3＜x＜0或2＜x＜3， 所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)． (2)令t＝x＋1，由f(x＋1)的定义域为[0，1]， ∴1≤t＝x＋1≤2，即函数f(t)的定义域为[1，2]． 要使f(2x－2)有意义，必须1≤2x－2≤2，即3≤2x≤4， ∴log23≤x≤2. 故函数f(2x－2)的定义域为[log23，2]．
－x－1（－1≤x＜0）， (2)已知函数f(x)＝ 则f(x)－f(－ －x＋1（0＜x≤1）.
x)＞－1的解集为(
)
1 A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1，－ )∪(0，1] 2 1 C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．[－1，－ ]∪(0，1) 2
【思路点拨】 可列方程组求解． (1)由x≥A时，f(x)＝15知，4＜A，从而
的对应关系f，使对于集 任意 任意 对应关系 合A中的_____一个x，在
f：A→B
它对应
都有唯一 元素y与之对应
f：A→B 称__________为从
名称 集合A到集合B的一个函 数 映射
f：A→B 称___________为
从集合A到集合B的一个
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)
【解析】
2＋x－x2＞0， (1)f(x)有意义，则 |x|－x≠0.
－1＜x＜2， 解之得 ∴－1＜x＜0， x＜0，
∴f(x)的定义域为(－1，0)． f（2x） (2)要使函数g(x)＝ （x－1）0
1≤2x≤2 1 ，∴ ≤x＜1， 2 x－1≠0
时的值域．
ln（2＋x－x2） (1)(2013· 佛山模拟)函数f(x)＝ 的定义域 |x|－x 为( ) A．(－1，2) B．(－1，0)∪(0，2) C．(－1，0) D．(0，2) (2)已知函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数g(x)＝
f（2x） 的定义域为________． （x－1）0
(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；
(2)已知2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1，1)，求f(x)的 解析式． 【解】 (1) 令t＝1－cos x，则cos x＝1－t，0≤t≤2，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，
即f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．
【解析】
由函数的定义知①正确．
∵满足f(x)＝ x－3＋ 2－x的x不存在，∴②不正确． 又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤 立的点，∴③不正确． 又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．
【答案】 A
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，则其值域
为________． 【解析】
(2)分－1≤x＜0和0＜x≤1两种情况求解．
【尝试解答】 c 所以 ＝15， A
(1)因为组装第A件产品用时15分钟， ① ②
c c 所以必有4＜A，且 ＝ ＝30. 4 2 联立①②解得c＝60，A＝16.
(2)①当－1≤x＜0时，0＜－x≤1， 此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， ∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x－2＞－1， 1 1 得x＜－ ，则－1≤x＜－ . 2 2
【答案】 (1)B (2)A
求复合函数y＝f(g(x))的定义域的方法
(1)若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜g(x)＜
b即可求出y＝f(g(x))的定义域；(2)若y＝f(g(x))的定义域为 (a，b)，则求出g(x)的值域即为f(x)的定义域．
1.解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．
有意义，则必须有
1 故函数g(x)的定义域为[ ，1) 2 1 【答案】 (1)C (2)[ ，1) 2
2 (1)已知f( ＋1)＝lg x，求f(x)； x (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－ 1，求f(x)； 2 【审题视点】 (1)用换元法，令 ＋1＝t； x (2)本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用 待定系数法求解． 2 2 【尝试解答】 (1)令t＝ ＋1，则x＝ ， x t－1 2 ∴f(t)＝lg ， t－1 2 即f(x)＝lg . x－1
B．2
C．3
＋f(1)＝0，则实数a的值等于( ) A．－3 B．－1 C．1
【解析】 (1)根据题意，由f(1)＝f(－1)可得a＝1－(－ 1)＝2. 2x（x＞0）， (2)∵f(x)＝ 且f(a)＋f(1)＝0， x＋1（x≤0）， ∴f(1)＝21＝2，则f(a)＝－f(1)＝－2， 又当x＞0时，f(x)＝2x＞0， 因此a≤0，且f(a)＝a＋1＝－2， ∴a＝－3.
2．用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．
函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由 函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对
应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映
射，映射f：A→B的三要素是集合A、B和对应关系f.
从近两年高考试题看，函数的定义域、分段函数与分段 函数有关的方程、不等式是考查的重点内容，题型以选择 题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，预
(2)∵2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， ∴2f(－x)－f(x)＝lg(1－x)．
2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1） 解方程组 得 2f（－x）－f（x）＝lg（1－x）
2 1 f(x)＝ lg(x＋1)＋ lg(1－x)(－1＜x＜1). 3 3
(1)(2013· 广州模拟)根据统计，一名工人组装第x件某 产品所用的时间(单位：分钟)为 c ，x＜A， x f(x)＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件 c ，x≥A A 产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的 值分别是( ) A．75，25 C．60，25 B．75，16 D．60，16
2．如何判断坐标平面上的曲线是否为函数的图象？
【提示】 平移与x轴垂直的直线，平移过程中直线与
曲线的公共点不超过1个，曲线为函数的图象．
1．(人教A版教材习题改编)给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射； ②f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数； ③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； ④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数． 其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第一节
函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数 两集合 设A、B是两个 映射 设A、B是两个
A、B
非空数集 ______________
如果按照某种确定 的对应关系f，使对于集 集合B中都有 ____________的数f(x)和 唯一确定
______________ 非空集合
如果按某一个确定 合A中的百度文库____一个元素x， 在集合B中_________的
1．本题(2)已知函数的类型，可用待定系数法求解． 2．求函数解析式的主要方法有待定系数法、换元法
等．如果已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知
复 合 函 数 f(f(x)) 的 表 达 式 时 ， 可 用 换 元 法 ， 这 时 要 注 意 “元”的取值范围；对于抽象函数可赋值、消元求函数的解 析式．求函数的解析式一定要重视定义域，否则会导致错 误．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1， 即2ax＋a＋b＝x－1， 1 2a＝1， a＝2， ∴ 即 a＋b＝－1， b＝－3. 2 1 2 3 ∴f(x)＝ x － x＋2. 2 2
4．分段函数 对应关系 若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．若两个函数的定义域与值域相同，则一定是相等函
数，这种说法对吗？
【提示】 不对．如y＝sin x和y＝cos x的定义域都为
R，值域都为[－1，1]，但不是相等函数判定两个函数是同 一函数，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相 同．
3．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量
的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检
验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．
(1)已知函数f(x)＝ 数a的值等于( A．1 )
1－x，x≤0， x a ，x＞0，
若f(1)＝f(－1)，则实
D．4 2x，x＞0， (2)(2013· 东莞质检)已知函数f(x)＝ 若f(a) x＋1，x≤0， D．3
1．题(2)中易理解错f(x)与f(2x)定义域之间的关系． 2．(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题， 取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍． (2)对抽象函数：①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则函 数 f(g(x))的定 义 域 由不等式 a≤g(x)≤b求 出． ②若 已 知 函 数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]
定义域 集合{f(x)|x∈A} 叫 函 数 的 _______ ； 函 数 值 的 ______________ 是 函 数 的 值
域． 定义域 对应关系 (2)如果两个函数的________相同，并且_________完全
一致，则这两个函数为相等函数．
3．函数的表示方法 解析法 图象法 表示函数的常用方法有_______、________和列表法．
x y
列表如下：
0 0 1 －1 2 0 3 3
由表知函数的值域为{0，－1，3}．
【答案】
{0，－1，3}
x2＋1，x≤1， 3．(2012· 江西高考改编)设函数f(x)＝ 2 则 x，x>1， f(f(3))＝________．
2 2 22 13 【解析】 由题意知f(3)＝ ，f( )＝( ) ＋1＝ ， 3 3 3 9 2 13 ∴f(f(3))＝f( )＝ . 3 9
计2014年仍以分段函数及应用为重点，同时应特别关注与分
段函数有关的方程的问题．
思想方法之二
数形结合求解分段函数问题
|x2－1| (2012· 天津高考)已知函数y＝ 的图象与函数y＝kx x－1 －2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ________．
【解析】 根据绝对值的意义， |x2－1| x＋1（x>1或x<－1）， y＝ ＝ x－1 －x－1（－1≤x<1）. 在直角坐标系中作出该函数的图象， 如图中实线所示．根据图象可知， 当0<k<1或1<k<4时两函数的图象 有两个交点．