第16章非参数检验.

计算得：z
T n(n 1)(2n 1) 6
24 1.42 9 10 19 6

由拒绝原则， 在显著水平5%下，临界值为1.96. 因为1.42<1.96,故不能拒绝H0 不能否定两次考试成绩无差异的假设。

例：某制造企业正在尝试确定两种生产 方法在任务完成时间上的差异。选择11 名工人组成样本，每个工人均利用每一 种方法完成生产任务。得到的配对样本 如下表所示。我们考虑用Wilcoxon检验 对两总体间的差异进行检验。


非参数检验可用的场合： 1.名义尺度、序数尺度（以上两类数据 的方差、均值和标准差计算都没有意义） 2.在无法对总体概率分布做出假定时， 用于区间尺度和比例尺度。

非参数检验的优点： 1. 检验条件比较宽松，适应性强。 2. 检验的方法比较灵活，用途更广泛。 3. 检验计算相对简单，易于理解。 非参数检验的缺点： 1. 检验功效较低。 2. 信息损耗较多。 结论：参数检验与非参数检验是针对不同情况 提出的两种统计方法，它们各有优缺点，可互 为补充。
符号检验


1.定义 忽略具体量的差异，仅用差异的正负号 来做判断的一种检验方法。适用于对无 法以数字计量的情况进行比较。 2.检验步骤 (1)确定配对样本，分别计算差异正与负 的数目，无差异记做0，并将它从样本中 删除，相应减少样本容量n。


(2)建立假设：H0:P=0.5;Ha:P≠0.5 (3)观察样本容量： 若n≤20,做二项分布处理；若n>20,做近 似正态分布处理。 (4)设定显著性水平，查表确定临界值， 进行判断和比较。


检验所针对的原假设是： H0:改革没有引起居民经济情况的变化（总体 X改革前的经济状况与总体Y改革后的经济状 况没有差别），或 H0: p =0.5。 建立原假设为真前提下的下列检验统计量： p 表示为配对样本d
p 0.5 z ~ N (0,1) 0.25 / n
为正的频率。



P( 4) P( 8) P( 0) P( 1) P( 2) P( 3) 0.0002 0.0029 0.0161 0.0537 0.0729 0.025
因此，当显著水平设定为5%时，拒绝域为 <3或 >9。


我们列出样本消费者对这两种饮料的偏好记 录：
非参数方法适用的数据测量尺 度




ห้องสมุดไป่ตู้
数据的集中测量尺度： 1. 名义尺度（定类）：表示个体属性或类别， 可以用数值表示，也可用非数值表示 2. 序数尺度（定序）：对观测值排序或排秩， 有顺序之分。 3. 区间尺度（定距）：数据具有顺序特性，且 用于衡量数据间的差异，必须是数值型。 4. 比例尺度（定比）：数据具有区间特性，且 数据的比例关系有意义，必须是数值型。



根据统计量的抽样分布特点，推知当 |z|>Z(a)时，拒绝H0，否则，不能拒绝 H0。 在显著水平5%下，由于1.03<1.96，因 此我们不能拒绝H0。即不能否定新建住 宅价格的中位数为13万美元的论断。 注意：样本容量n=60,而不是62


小结： 符号检验可用于单总体某个位置特征的 检验（中位数检验）；也可用于两总体 位置分布特征是否相同的检验。 但符号检验的缺点在于：仅利用差异方 向或符号的正负做检验，而忽略了对差 异多少的量的信息，因此对资料的利用 不够充分。
9 Citrus Valley 10 Tropical Orange 11 Tropical Orange
+ -
12 Tropical Orange
-

以p表示消费者总体中偏爱Citrus Valley的比 的个数为2，恰好落入了之前分析的拒 率， 绝域中，因此拒绝H0的假设。即消费者对两 种品牌的偏爱存在差异。消费者更偏爱的品 牌是Tropical Orange.


关于中位数的假设检验有如下设定： H0: Median=13;Ha:Median≠13 大样本下，H0为真的前提下，样本数据大 于中位数的个数 近似服从均值为0.5n， 方差为0.25n的正态分布。 即选择统计量Z 0.5n 34 0.5 60 Z 1.03 0.25n 0.25 60
关于中位数的假设检验 （运用符号检验 对单总体位置特征的实例） 中位数是将总体分成均等两部分的一个 分位数，其中50%位于中位数以上，另 外50%位于中位数以下。 我们可以利用符号检定来对总体的中位 数进行假设检验。


例：在62所新住宅组成的样本中，34所住宅的 价格高于13万美元，26所住宅的价格低于13万 美元，2所住宅的价格恰好为13美元。要求检 验新住宅价格的中位数是否为13万美元？ 如何利用符号进行检验？ 当样本数据大于所假设的中位数时，我们用正 号标注，反之用负号标注，若样本数据恰等于 中位数时，我们用0标注，并将其从样本中删 除。
T T
6

(6)根据显著水平确定临界值，进行比较和判断。

注意到统计量Z的特点： 在H0为真，即H0:两总体均值相同的前提 下，且n至少为10时，T（秩和）的抽样 分布近似服从均值为0，方差为 n(n+1)(2n+1)/6的正态分布。

例：考察学生某课程的期中与期末考试成绩是否 有明显差异？


我们检验的假设设定分别为： H0: p=0.5;Ha:p≠0.5 若原假设为真，则”+”的个数（记为 ）应 服从p=0.5的二项分布。 若令显著性水平定为0.05，拒绝域为？ 回忆二项分布的概率函数。

因为
P( 3) P( 9) P( 0) P( 1) P( 2) 0.0002 0.0029 0.0161 0.0192 0.025
在显著水平5%下，由于|z|=2.83>1.96 拒绝H0。认为两个牌子受欢迎程度不同， B品牌洗发水更受消费者青睐。

注意例题中的n取值：n=50,而不是60


假设某地区居民在经济改革前的经济状况记 作变量X，改革后的经济状况记作变量Y。第 j户居民改革前后的经济状况分别 x j 和 y j。 二者之间的变化记作 d j x j y j 。 请注意，现在我们不关心具体数值，只关心 它的符号。


3. 符号检验的小样本情形 例：某软饮料公司想了解消费者对目前市场上 的两种饮料（Citrus valley和Tropical Orange） 的偏好情况，以确定消费者对其中一种是否偏 爱。 以p表示消费者总体中偏爱Citrus Valley的比率， 以符号来记录消费者个体的偏好。用“+”来表 示偏爱Citrus Valley，用“-”来表示偏爱 Tropical Orange。
符号记 录 + 0 0
…
…
…
…


汇总的结果：“+”表示A品牌的分数高于 B品牌的分数，“-”则相反，若两品牌的 得分一致，我们给0值。“＋”的个数为 15个，“－”的个数为35个，“0”为10 个。 通过这样的整理以后，问两张洗发水受 欢迎程度是否不同？



表示为＋ 令p表示为得到“＋”号的概率， 号个数 检验的假设设定为： H0:p=0.5;Ha:p≠0.5 统计量的选择：在大样本下，若H0为真，加 号个数 服从正态分布，均值为u=0.5n， 标准差为 0.25n
Wilcoxon检验


该检验是不做正态分布假定的利用匹配 样本检验两总体间差异的方法。 该检验利用的信息：除了匹配样本间的 差异符号（方向），同时考虑了差异数 值的大小。
同一个样本分别对两类方法进行试验， 同时产生基于总体1和基于总体2的观 察点。





适用性：1.数据类型为区间尺度数据。 2. 假设成对观测值的差异总体服从正态分布。 检验步骤： (1)计算带正、负号的差数d (2)将d的绝对值按大小排序并编出等级(顺序号)，相 邻的等值以其为序的平均数为等级，0差异被剔除。 (3)将差数原来的符号赋予每个等级，确定等级个数。 (4)将所有带符号的等级相加，求秩和并用T表示其值， 原假设为T=0。 T ～N (0,1) (5)计算统计量 z T n( n 1)(2n 1)
品牌倾向 1 Tropical Orange 2 Tropical Orange 3 Citrus Valley 符号记录 +
消费者
4 Tropical Orange
5 Tropical Orange 6 Tropical Orange 7 Tropical Orange
-
8 Tropical Orange
8 4 5 1 － 6.5 2 9
6.5 －2 －9
9
10 T
-7
+3
7
3
6.5
3
－6.5
3 －24


检验过程： H0:期中与期末考试成绩无差异； Ha:期中与期末考试成绩有差异 计算统计量Z：当H0为真时，Z服从标准正态 T 分布 z T ～N (0,1)
T
T
n( n 1)(2n 1) 6


如果改革没有引起居民经济情况的变化，那么居民经 济情况的前后差异就完全是由于各种随机因素的影响 形成的（假定其它重要的影响因素都已控制不变）， 于是正差值的个数与负差值的个数会大体相等。把0差 值舍去后，相当于对总体（正差值与负差值组成的总 体）作二项试验，每次试验出现正号的概率是 p =0.5。 相反，如果改革引起了居民经济情况的明显好转，则 正差值的个数会比负差值的个数多。对正差值与负差 值组成的总体作二项试验，每次试验出现正号的概率 是p >0.5。
我们将配对 的样本得分 之差做符号 记录


4. 大样本情形(n>20) 例：60名消费者被随 机选出对A、B两种牌 子的洗发水打分，规 定分数从5到1，分数 越高说明评价越好。 收集的数据如下：
消费 者 1 2 3 4 5 6
品牌A的 得分 3 2 4 3 5 2
品牌B的 得分 4 5 2 3 4 2
第16章 非参数检验


前面学过的参数估计和假设检验都是以总体分 布已知或对分布作一定假设为前提的，我们称 这类统计推断为参数统计。 但在许多实际问题中，我们不知道总体分布的 情况，即使对总体的分布进行了假设，但很可 能这类假设与真实情况不符。因此参数统计在 一些情况下不再适用。



非参数统计： 对总体分布的形式不必做任何限制性假定，不 以估计总体参数为目的的推断统计。 这种统计主要用于对某种判断或假设进行检验， 故亦称非参数检验。 应当指出，这里所谓的“非参数”，只是指在 检验的过程中，未对检验统计量服从的分布及 参数做出限制，并不意味着在检验中“不涉及 参数”或“不对参数进行检验”。
71 64 73 59 85 93 65 72 87 75
期中
期末
82 69 79 58 85 86 67 92 94 72
学生编号
x1-x2
|x1-x2|
等级
符号等 级
－8 －4 －5 1 剔除无差 异样本点
1 2 3 4 5 6 7 8
-11 -5 -6 +1 0 +7 -2 -20
11 5 6 1 0 7 2 20


拒绝规则： 如果|z|>Z(a)，拒绝 H0。 在本例中， 15, p 15/ 50 0.3 计算的统计量
z
np
np(1 p)

0.5n
0.25n

15 0.5 50 2.83 0.25 50

或
z
p p p 0.5 0.2 2.83 p(1 p ) 0.25 / n 0.25 / 50 n

因此，在H0为真的情况下，选择Z统计量， np 0.5n z np(1 p) 0.25n
服从标准正态分布。 此时的Z统计量同样可以由下式表示：
z p p p 0.5 p(1 p ) 0.25 / n n

p 为样本中正号出现 的频率（此时需先删除0差 异样本点的影响）
工人 1 2 3 4 5