微分方程数值解第一章答案
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• 教学目标 • 教学重点 • 教学过程
第一章 基本概念
4
教学目标
─了解ODE数值解法的基本内容, ─掌握Euler法和线性多步方法, ─会判断常用方法的优劣之处.
5
教学重点
• 基本概念和Euler法 • 线性多步方法 • 稳定性
第一章 基本概念
6
教学过程
• 常微分方程基本概念 • 常微分方程初值问题 • Euler法及其基本问题 • 线性多步方法 • 数值稳定性 • Runge-Kutta方法
y( x0 )
y0 ,
y( x0 )
y0 ,
,
y(n1) ( x0 )
y (n1) 0
例
d d
y x
=2
x
y x1 =2
2) n 阶方程的边界条件(或边值条件):
例
y f (x, y, y), 0 x 1,
y(0)
0,
y(1) 0.
12
2 初值问题：标量形式
考虑一阶常微分方程初值问题：
16
2 Euler方法
考虑一阶常微分方程初值问题
(1)
u' f (t, u),
u(t0 ) u0
t0 t T,
在(t0 ,T ]上取N个点 tn1 tn hn1 , n 0,1, ..., N 1,
如果步长hn1＝h，那么称为等步长.
17
计算在离散点（节点）的值，有
(2)
unu01
第一章 基本概念
7
1: 常微分方程的基本概念
➢ 微分方程: 常微分方程和偏微分方程 ➢阶 ➢ 解，通解和特解 ➢ 定解问题: 初值问题和边值问题
8
➢ 微分方程: 常微分方程和偏微分方程
联系着自变量, 未知函数及其导数(微分)的方程, 称为微分方程 .
常微分方程 :未知函数是一元函数 分类
偏微分方程 :未知函数是多元函数
u' f (t, u),
u(t0 ) u0
t0 t T,
存在性：f(t,u)在定义域上连续
唯一性：f(t,u)关于u满足Lipschitz条件
13
常微分方程来源举例1
问题1.1 上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射 性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比 例的原子自然衰变而形成新元素的原子. 记t时刻放射性物质的原子数为x(t), 据观测单位时间 内衰变原子的个数Δx与当时放射性原子数x(t)之比为 常数a. 考虑到放射过程中Δ x<0, 因此a<0为负实数. 这 时有方程
• 课堂授课+计算实验 • 考核方式: 平时作业+课堂+期末考试 • 任课教师 •
2
教学内容
• 第一章、常微分方程的数值解法 • 第二章、椭圆型方程的差分方法 • 第七章、椭圆型方程的有限元方法 • 第四章、抛物型方程的差分方法 • 第五章、双曲型方程的差分格式
3
第一章 常微分方程初值问题 的数值解法
un hf u(t0 )
(tn
,
un
),
n 0,1,..., N 1
这就是Euler法的计算公式
18
举例1
• 利用Euler方法计算初值问题
初值问题u' t2 100u2 , u(0) 0
的解在t=0.3处的数值解.步长h=0.1
解: Euler公式为: un1 un h(tn2 100un2 ) 由h 0.1, u0 0计算得 u1 u0 h[(0 h)2 100u02 ] 0 u2 u1 h[(1 h)2 100u12 ] 0.001 u3 u2 h[(2 h)2 100u22 ] 0.0051
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. （微分方程的绝大部分解）
特解 — 不含任意常数的解.
例y Cex是方程y y的通解.
例y 2ex是方程y y的特解.
11
➢ 定解条件: 初值问题和边值问题
定解条件 — 确方程的初始条件(或初值条件):
21
节点 ti 数值解un 精确解ut
0.0 1.0000
0.1 1.0500
0.2 1.1025
0.3 1.1576
0.4 1.2155
0.5 1.2763
x (a bx)t x ' ax bx2 x
Logistic方程
15
常微分方程举例3
问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其 解, 例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程
x' t2 x2
不能用初等函数表示通解. 寻求方程非解析函数的其它形式解, 显得非常必要。 而数值求解就是其重要的一个方法
y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t2 x)dt xdx 0,
z x y, x
9
➢ 微分方程的阶 方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 例如：
一阶微分方程
三阶微分方程 一阶微分方程
10
➢ 解, 通解, 特解
微分方程的解 — 是使方程成为恒等式的函数. 例y ex满足方程y y，是方程的一个解
北京·中国地质大学
China University of Geosciences，Beijing
《微分方程数值解法》
教材： 微分方程数值方法
(第二版)， 胡健伟,汤怀民著, 科学出版社, 2007,2
参考书: 微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社 1
参考书:
微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社
x at x ' ax (a 0) x
14
常微分方程来源举例2
问题1.2 世界上生物种类多种多样, 对特定生物种群的 数量进行预测,是制定对该生物实施保护还是控制的 依据. 设t时刻某种群的数量为x(t),单位时间内种群数
量的增加量Δ x和当时数量的比值为a-bx(t),其中a,
b>0为常数. 这样得到方程
19
举例2
• P55 习题1 利用Euler方法求数值解 初值问题u' 1 u, u(0) 1 2 步长h=0.1, 解区间[0,1]
• 绘制折线，与真解比较
20
Matlab实现 u=null(1);h=0.1;u0=1; u(1)=u0+h*0.5*u0; for n=1:9
u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n); end t=0:0.1:1;un=[u0,u]； plot(t,un,'ro','Linewidth',2) ut=exp(0.5*t); hold on plot(t,ut,'Linewidth',2)
第一章 基本概念
4
教学目标
─了解ODE数值解法的基本内容, ─掌握Euler法和线性多步方法, ─会判断常用方法的优劣之处.
5
教学重点
• 基本概念和Euler法 • 线性多步方法 • 稳定性
第一章 基本概念
6
教学过程
• 常微分方程基本概念 • 常微分方程初值问题 • Euler法及其基本问题 • 线性多步方法 • 数值稳定性 • Runge-Kutta方法
y( x0 )
y0 ,
y( x0 )
y0 ,
,
y(n1) ( x0 )
y (n1) 0
例
d d
y x
=2
x
y x1 =2
2) n 阶方程的边界条件(或边值条件):
例
y f (x, y, y), 0 x 1,
y(0)
0,
y(1) 0.
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2 初值问题：标量形式
考虑一阶常微分方程初值问题：
16
2 Euler方法
考虑一阶常微分方程初值问题
(1)
u' f (t, u),
u(t0 ) u0
t0 t T,
在(t0 ,T ]上取N个点 tn1 tn hn1 , n 0,1, ..., N 1,
如果步长hn1＝h，那么称为等步长.
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计算在离散点（节点）的值，有
(2)
unu01
第一章 基本概念
7
1: 常微分方程的基本概念
➢ 微分方程: 常微分方程和偏微分方程 ➢阶 ➢ 解，通解和特解 ➢ 定解问题: 初值问题和边值问题
8
➢ 微分方程: 常微分方程和偏微分方程
联系着自变量, 未知函数及其导数(微分)的方程, 称为微分方程 .
常微分方程 :未知函数是一元函数 分类
偏微分方程 :未知函数是多元函数
u' f (t, u),
u(t0 ) u0
t0 t T,
存在性：f(t,u)在定义域上连续
唯一性：f(t,u)关于u满足Lipschitz条件
13
常微分方程来源举例1
问题1.1 上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射 性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比 例的原子自然衰变而形成新元素的原子. 记t时刻放射性物质的原子数为x(t), 据观测单位时间 内衰变原子的个数Δx与当时放射性原子数x(t)之比为 常数a. 考虑到放射过程中Δ x<0, 因此a<0为负实数. 这 时有方程
• 课堂授课+计算实验 • 考核方式: 平时作业+课堂+期末考试 • 任课教师 •
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教学内容
• 第一章、常微分方程的数值解法 • 第二章、椭圆型方程的差分方法 • 第七章、椭圆型方程的有限元方法 • 第四章、抛物型方程的差分方法 • 第五章、双曲型方程的差分格式
3
第一章 常微分方程初值问题 的数值解法
un hf u(t0 )
(tn
,
un
),
n 0,1,..., N 1
这就是Euler法的计算公式
18
举例1
• 利用Euler方法计算初值问题
初值问题u' t2 100u2 , u(0) 0
的解在t=0.3处的数值解.步长h=0.1
解: Euler公式为: un1 un h(tn2 100un2 ) 由h 0.1, u0 0计算得 u1 u0 h[(0 h)2 100u02 ] 0 u2 u1 h[(1 h)2 100u12 ] 0.001 u3 u2 h[(2 h)2 100u22 ] 0.0051
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. （微分方程的绝大部分解）
特解 — 不含任意常数的解.
例y Cex是方程y y的通解.
例y 2ex是方程y y的特解.
11
➢ 定解条件: 初值问题和边值问题
定解条件 — 确方程的初始条件(或初值条件):
21
节点 ti 数值解un 精确解ut
0.0 1.0000
0.1 1.0500
0.2 1.1025
0.3 1.1576
0.4 1.2155
0.5 1.2763
x (a bx)t x ' ax bx2 x
Logistic方程
15
常微分方程举例3
问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其 解, 例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程
x' t2 x2
不能用初等函数表示通解. 寻求方程非解析函数的其它形式解, 显得非常必要。 而数值求解就是其重要的一个方法
y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t2 x)dt xdx 0,
z x y, x
9
➢ 微分方程的阶 方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 例如：
一阶微分方程
三阶微分方程 一阶微分方程
10
➢ 解, 通解, 特解
微分方程的解 — 是使方程成为恒等式的函数. 例y ex满足方程y y，是方程的一个解
北京·中国地质大学
China University of Geosciences，Beijing
《微分方程数值解法》
教材： 微分方程数值方法
(第二版)， 胡健伟,汤怀民著, 科学出版社, 2007,2
参考书: 微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社 1
参考书:
微分方程数值解法 李荣华等编, 高教出版社
x at x ' ax (a 0) x
14
常微分方程来源举例2
问题1.2 世界上生物种类多种多样, 对特定生物种群的 数量进行预测,是制定对该生物实施保护还是控制的 依据. 设t时刻某种群的数量为x(t),单位时间内种群数
量的增加量Δ x和当时数量的比值为a-bx(t),其中a,
b>0为常数. 这样得到方程
19
举例2
• P55 习题1 利用Euler方法求数值解 初值问题u' 1 u, u(0) 1 2 步长h=0.1, 解区间[0,1]
• 绘制折线，与真解比较
20
Matlab实现 u=null(1);h=0.1;u0=1; u(1)=u0+h*0.5*u0; for n=1:9
u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n); end t=0:0.1:1;un=[u0,u]； plot(t,un,'ro','Linewidth',2) ut=exp(0.5*t); hold on plot(t,ut,'Linewidth',2)