结构力学第三章
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相联而组成的结构。
2.多跨静定梁的特点:
(1)几何组成上: 可分为基本部分和附属部
分。
返10回
基本部分：
不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几 何不变性的部分。 如：AB、CD部分。
（a） 基本部分
基本部分
附属部分：
必须依靠基 本部
（b） A
B
C
分才能维持其几何 D 不变性的部分。如
层叠图：
BC部分。
例 3—9 作刚架的弯矩图。
Pa Pa
Pa 0 Pa
Pa Pa
解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的顺
序计算。
这里，我们不求反力直接作弯矩图。
返22回
§3—5 静定结构的特性 1. 静力解答的唯一性。 2. 在静定结构中，除荷载外，其它任何原因（温 度变化、支座移动、制造误差等）均不引起内力。 3. 平衡力系的影响
（1）计算支反力
HA=48kN←，RB=42kN↑
RM4M由由=81BE9C1=B∑∑2B=2==YM16M49=12Ak24E0=×N4kC0可N=·61m可4·-2得m262（得0（：××下：下33）↑）（VC2AD）=杆22逐：MkMNC杆DD↓C==绘408MkN图·m（左）
（VA3=）42-绘20Q=2图2kN↓
RE=4kN
RG=6kN 4
况下，首先绘出 弯矩图。
0
8
M图
(kN·m)
0
0
4
0 在此基础上， 剪力图可据微分 关系或平衡条件
求得。例如：
（Qk弯 两图N如 RA)矩端=C弯171E图的·矩4.55Q段kB为剪N为梁右曲力=直：线。线RC的如的=Q1梁B20C梁8.E·5C5=段k段段N，，梁可可,由利利R∑用E用=M4微2k平CN=分衡0关,关求系R系得G计=计4：6k算算N。
Mk
Mmax=32.4kn·N
几点说明：
1.作EF段的弯矩图
用简支梁叠加法
RB 2.剪力等于零截面K
的位置
QK=QE－qx=8－5x=0
x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
qx2
MK=ME+QE x－ 2 =26+8×1.6－ 51
62
2
=32.4kN·m
返9回
§3—2 多跨静定梁
1.多跨静定梁的概念 若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础
（2）Q:其数值等于该截面 一侧所有外力沿截面切线方向
HA
A
投影的代数和。（左上右下为 VA
正）
↙ ↘ P1
P2
K
B
↙ P1 K Q
M
N
（3）M: 其数值等于该截面一侧所有外力对截面
形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）
返4回
3. 利用微分关系作内力图
梁的荷载集度 q 、剪力 Q 、弯矩 M 三者间
存在如下的微分关系：
ME=－20×3+58×2－30×1=26kN·m
MMMFGG=左右1==211×1228××2－11－－1611+661+=0－15=018=4482k6kNkN1N·0·m·mm
6 M1B8左=－16kN·m
26
解：
首先计算支反力 RRAB==5182kkNN（ （↑ ↑） ）
作剪力图（简易法）
返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
作弯矩图：
1.分段： 分为CA、 AD、DE、EF、FG、 GB六段。
2.定点:
MC=0
MA=－20kN·m
MD=18kN·m ME=26kN·m
MF=18kN·m MG左=6kN·m
MG右=－4kN·m
MB左=－16kN·m 返8回
3.联线
K
RA 38
8
Q图(kN)
1.x6m K
20
12
M图(kN·m)
0
9
Q图
5
(kN)
5 5
C
0
10 5
6kN/m
画层叠图(b)
D
E F 按先属附后基
7.5
21.5 本的原则计算各
10
3 12
5
支反力(c)图。
Hale Waihona Puke Baidu
0
之後，逐段作
2.5
12
出梁的弯矩图
和剪力图。返13 回
9.5
例 3－4 作此多跨静定梁的内力图 解：
本题可以在不
计算支反力的情
RA=11.5kN 2
RC=10.5kN 4
（4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。返6回
4. 利用叠加法作弯矩图
利用叠加法作弯矩图很方便,以例说明:
MA
MB
从梁上任取一段
（a） A
L
B
AB 其受力如（a）图
所示， 则它相当（b）
MA
（b） A
MB
图所示的简支梁。
B
MA
+
qL2
8
MA
MB
因此，梁段AB的弯
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
1
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 少求或不求反力绘弯矩图 §3-5 静定结构的特性
2
§3—1 单跨静定梁
单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的
基构件之一，其受力分析是各种结构受力分析
的基础。这里做简略的回顾和必要的补充。
1. 单跨静定梁的反力
静定结构的某一几何 不变部分在平衡力系作用 下，结构的其它部分不会 引起内力。
4. 荷载等效变换的影响
静定结构的某一几何不变部分作荷载等效变换只
对该部分内力发生影响，其它部分内力不变。
返23回
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
以例说明如下
返20回
E
20
20
75
45
0
例 3—8 绘制刚架的弯矩图。 解：
由刚架整体平衡条件 ∑X=0
得 HB=5kN← 5kN 此时不需再求竖向反力便可
绘出弯矩图。 有：
40 30
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN·m（外）
MCD=20kN·m（外）
MB=0
MDB=30kN·m（外）
MDC=40kN·m（外）返21回
单跨静定梁无异。
返12回
例 3-2 计算下图所示多跨静定梁
（a)
4kN 10kN
A ↓B ↓
C
D
6kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
解：
首先分析几何
E
F
2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 组成:AB、CF为
(b)
10kN
B
C
基本部分，BC 为附属部分。
5
18kN·m
(c)
A
B5
4
9
18
M图
(kN·m)
MBE=0
CD杆：
MEB=MEC =126kN·m（下）
QDC=0, QCD=24kN CB杆：
MCB=192kN·m（下） AC杆（计算从略）
QBE=-42kN, QEC=-22kN
MAC=0
AC杆：
MCA=144kN·m（右） QAC=48kN, QCA=24kN
返17回
（4）绘N图（略）
（5）校核: 内力图作出后应进行校核。
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线
Q图 ⊕ ⊖㊀
斜直线
有突变 Q=0 处 突变值为P
如变号 无变化
M图
斜直线
抛物线
有尖角
↓ ↑ 有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易返法5回）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。
（2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。
（3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如 集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
常见的单跨静定梁有：
简支梁
外伸梁
→↑
↙ ↑
→↙ ↑↑
悬臂梁
→↑ ↙
反力只有三个，由静力学平衡方程求出。返3回
2.用截面法求指定截面的内力
在梁的横截面上,一般有三个内力分量:轴力N、剪
力Q、弯矩M。计算内力的基本方法是截面法(见图)。 其结论是：
（1）N: 其数值等于该截 面一侧所有外力沿截面法线方 A 向投影的代数和。
QCE=2kN QB右=7.5kN
1返4 回
§3—3 静定平面刚架
1.刚架的概念：由直杆组成的具有刚结点的结构。 2. 刚架的基本型式
（1）悬臂刚架
（2）简支刚架
（3）三铰刚架
返回
15
3. 计算刚架内力的一般步骤:
（1）首先计算支反力,一般支反力只有三个,由平衡
方程求得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。 （2）按“分段、定点、联线”的方法，逐个杆绘制内
力图。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。
（b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的
任意一侧，但必须注明正负号。
（c）汇交于一点的各杆端截
面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。
MAB
返16回
例3—5 作图示刚架的内力图 解：
RB↑ ←HA VA↓
CB杆：
M由HCAD∑==X6×=08可=4得（8k：左N←）
MDC=HVAB×=140=×－46－.67V×A=44=0－－2360.7=k1N0k·mN（↑ 外）
由再得1∑取0（X8刚=用杆430架H2）叠中得BV右=2M作B加点6V2半×.C7BQD法6的部4=、－0为42作弯0HN隔HC矩B图11×A离D30=为.（663体6杆=.：460略，的67.k由7）N弯6k→∑N 6矩M·7mkC图=N0←有
为了表示梁各部分之间的支撑关系，把基本
部分画在下层，而把附属部分画在上层如，（b）
图所示，称为层叠图。
返11回
（2）受力分析方面:
作用在基本部分上的力不传递给附属部分,而 作用在附属部分上的力传递给基本部分，如图示
P1
P2
（a）
P2
BA
（b）
P1
VB VC
因此，计算多跨静定梁时应该是先附属后
基本，这样可简化计算，取每一部分计算时与
矩图可以按简支梁并
应用叠加法来绘制。
MB
返7回
例 3－1 作梁的 Q、M 图。
RA 38
RB
由∑MB=0, 8有
Q图(kN)
RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0
2得0 RA=58kN（↑）
12
再由20∑Y=0, 可得
0
MMCD==R0－B,=2200×+320++585××14M－=1M图588Ak==N(k－1·N2mk2·N0m×（)1↑=－）4 201k6N·m
2.多跨静定梁的特点:
(1)几何组成上: 可分为基本部分和附属部
分。
返10回
基本部分：
不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几 何不变性的部分。 如：AB、CD部分。
（a） 基本部分
基本部分
附属部分：
必须依靠基 本部
（b） A
B
C
分才能维持其几何 D 不变性的部分。如
层叠图：
BC部分。
例 3—9 作刚架的弯矩图。
Pa Pa
Pa 0 Pa
Pa Pa
解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的顺
序计算。
这里，我们不求反力直接作弯矩图。
返22回
§3—5 静定结构的特性 1. 静力解答的唯一性。 2. 在静定结构中，除荷载外，其它任何原因（温 度变化、支座移动、制造误差等）均不引起内力。 3. 平衡力系的影响
（1）计算支反力
HA=48kN←，RB=42kN↑
RM4M由由=81BE9C1=B∑∑2B=2==YM16M49=12Ak24E0=×N4kC0可N=·61m可4·-2得m262（得0（：××下：下33）↑）（VC2AD）=杆22逐：MkMNC杆DD↓C==绘408MkN图·m（左）
（VA3=）42-绘20Q=2图2kN↓
RE=4kN
RG=6kN 4
况下，首先绘出 弯矩图。
0
8
M图
(kN·m)
0
0
4
0 在此基础上， 剪力图可据微分 关系或平衡条件
求得。例如：
（Qk弯 两图N如 RA)矩端=C弯171E图的·矩4.55Q段kB为剪N为梁右曲力=直：线。线RC的如的=Q1梁B20C梁8.E·5C5=段k段段N，，梁可可,由利利R∑用E用=M4微2k平CN=分衡0关,关求系R系得G计=计4：6k算算N。
Mk
Mmax=32.4kn·N
几点说明：
1.作EF段的弯矩图
用简支梁叠加法
RB 2.剪力等于零截面K
的位置
QK=QE－qx=8－5x=0
x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
qx2
MK=ME+QE x－ 2 =26+8×1.6－ 51
62
2
=32.4kN·m
返9回
§3—2 多跨静定梁
1.多跨静定梁的概念 若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础
（2）Q:其数值等于该截面 一侧所有外力沿截面切线方向
HA
A
投影的代数和。（左上右下为 VA
正）
↙ ↘ P1
P2
K
B
↙ P1 K Q
M
N
（3）M: 其数值等于该截面一侧所有外力对截面
形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）
返4回
3. 利用微分关系作内力图
梁的荷载集度 q 、剪力 Q 、弯矩 M 三者间
存在如下的微分关系：
ME=－20×3+58×2－30×1=26kN·m
MMMFGG=左右1==211×1228××2－11－－1611+661+=0－15=018=4482k6kNkN1N·0·m·mm
6 M1B8左=－16kN·m
26
解：
首先计算支反力 RRAB==5182kkNN（ （↑ ↑） ）
作剪力图（简易法）
返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
作弯矩图：
1.分段： 分为CA、 AD、DE、EF、FG、 GB六段。
2.定点:
MC=0
MA=－20kN·m
MD=18kN·m ME=26kN·m
MF=18kN·m MG左=6kN·m
MG右=－4kN·m
MB左=－16kN·m 返8回
3.联线
K
RA 38
8
Q图(kN)
1.x6m K
20
12
M图(kN·m)
0
9
Q图
5
(kN)
5 5
C
0
10 5
6kN/m
画层叠图(b)
D
E F 按先属附后基
7.5
21.5 本的原则计算各
10
3 12
5
支反力(c)图。
Hale Waihona Puke Baidu
0
之後，逐段作
2.5
12
出梁的弯矩图
和剪力图。返13 回
9.5
例 3－4 作此多跨静定梁的内力图 解：
本题可以在不
计算支反力的情
RA=11.5kN 2
RC=10.5kN 4
（4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。返6回
4. 利用叠加法作弯矩图
利用叠加法作弯矩图很方便,以例说明:
MA
MB
从梁上任取一段
（a） A
L
B
AB 其受力如（a）图
所示， 则它相当（b）
MA
（b） A
MB
图所示的简支梁。
B
MA
+
qL2
8
MA
MB
因此，梁段AB的弯
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
1
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 少求或不求反力绘弯矩图 §3-5 静定结构的特性
2
§3—1 单跨静定梁
单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的
基构件之一，其受力分析是各种结构受力分析
的基础。这里做简略的回顾和必要的补充。
1. 单跨静定梁的反力
静定结构的某一几何 不变部分在平衡力系作用 下，结构的其它部分不会 引起内力。
4. 荷载等效变换的影响
静定结构的某一几何不变部分作荷载等效变换只
对该部分内力发生影响，其它部分内力不变。
返23回
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
以例说明如下
返20回
E
20
20
75
45
0
例 3—8 绘制刚架的弯矩图。 解：
由刚架整体平衡条件 ∑X=0
得 HB=5kN← 5kN 此时不需再求竖向反力便可
绘出弯矩图。 有：
40 30
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN·m（外）
MCD=20kN·m（外）
MB=0
MDB=30kN·m（外）
MDC=40kN·m（外）返21回
单跨静定梁无异。
返12回
例 3-2 计算下图所示多跨静定梁
（a)
4kN 10kN
A ↓B ↓
C
D
6kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
解：
首先分析几何
E
F
2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 组成:AB、CF为
(b)
10kN
B
C
基本部分，BC 为附属部分。
5
18kN·m
(c)
A
B5
4
9
18
M图
(kN·m)
MBE=0
CD杆：
MEB=MEC =126kN·m（下）
QDC=0, QCD=24kN CB杆：
MCB=192kN·m（下） AC杆（计算从略）
QBE=-42kN, QEC=-22kN
MAC=0
AC杆：
MCA=144kN·m（右） QAC=48kN, QCA=24kN
返17回
（4）绘N图（略）
（5）校核: 内力图作出后应进行校核。
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线
Q图 ⊕ ⊖㊀
斜直线
有突变 Q=0 处 突变值为P
如变号 无变化
M图
斜直线
抛物线
有尖角
↓ ↑ 有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易返法5回）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。
（2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。
（3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如 集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
常见的单跨静定梁有：
简支梁
外伸梁
→↑
↙ ↑
→↙ ↑↑
悬臂梁
→↑ ↙
反力只有三个，由静力学平衡方程求出。返3回
2.用截面法求指定截面的内力
在梁的横截面上,一般有三个内力分量:轴力N、剪
力Q、弯矩M。计算内力的基本方法是截面法(见图)。 其结论是：
（1）N: 其数值等于该截 面一侧所有外力沿截面法线方 A 向投影的代数和。
QCE=2kN QB右=7.5kN
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§3—3 静定平面刚架
1.刚架的概念：由直杆组成的具有刚结点的结构。 2. 刚架的基本型式
（1）悬臂刚架
（2）简支刚架
（3）三铰刚架
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3. 计算刚架内力的一般步骤:
（1）首先计算支反力,一般支反力只有三个,由平衡
方程求得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。 （2）按“分段、定点、联线”的方法，逐个杆绘制内
力图。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。
（b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的
任意一侧，但必须注明正负号。
（c）汇交于一点的各杆端截
面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。
MAB
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例3—5 作图示刚架的内力图 解：
RB↑ ←HA VA↓
CB杆：
M由HCAD∑==X6×=08可=4得（8k：左N←）
MDC=HVAB×=140=×－46－.67V×A=44=0－－2360.7=k1N0k·mN（↑ 外）
由再得1∑取0（X8刚=用杆430架H2）叠中得BV右=2M作B加点6V2半×.C7BQD法6的部4=、－0为42作弯0HN隔HC矩B图11×A离D30=为.（663体6杆=.：460略，的67.k由7）N弯6k→∑N 6矩M·7mkC图=N0←有
为了表示梁各部分之间的支撑关系，把基本
部分画在下层，而把附属部分画在上层如，（b）
图所示，称为层叠图。
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（2）受力分析方面:
作用在基本部分上的力不传递给附属部分,而 作用在附属部分上的力传递给基本部分，如图示
P1
P2
（a）
P2
BA
（b）
P1
VB VC
因此，计算多跨静定梁时应该是先附属后
基本，这样可简化计算，取每一部分计算时与
矩图可以按简支梁并
应用叠加法来绘制。
MB
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例 3－1 作梁的 Q、M 图。
RA 38
RB
由∑MB=0, 8有
Q图(kN)
RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0
2得0 RA=58kN（↑）
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再由20∑Y=0, 可得
0
MMCD==R0－B,=2200×+320++585××14M－=1M图588Ak==N(k－1·N2mk2·N0m×（)1↑=－）4 201k6N·m