剪切与轴扭转

2 扭矩和扭矩图
1). 外力偶矩的计算
直接计算：根据轴上零件所受的圆周力和力
的作用半径求得
按轴的转速和传递的功率求得
输入功率：N(kW)
m 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W'
W 60N1000 60000N
W m m 2n 1 2nm
确定扭矩方向的右手螺旋法则： 以右手4个手指弯曲的方向沿扭矩转动的方向，大拇指 伸直与截面垂直，则大拇指的指向即为扭矩的方向。
扭矩正负号： 离开截面为正，指向截面为负
指向截面
离开截面
进行扭矩计算时，通常均先将扭矩假设为正值
(4)、扭矩图
用平行于轴线的 x 坐标表示横截面的位置，用垂直于 x 轴的坐标T表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩 随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。
A
是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称 为横截面对形心的极惯性矩。
dj T dx GI P
dj T T G G dx GI p I p
Mn
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向一致， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比
τ
GG dj g EG dx
# 根据应力应变 关系，即剪切虎 克定律
dj Gg G dx
再根据静力学关系

A
dA T
dj 2 G dA T dx A
2
dj A dA A G dx dA T
2
令
I p dA
NC 6 mC 9550 9550 114 .6 Nm n 500
mA
x
Mn1
∑M=0
M n1 mA 0
Mn2 mc
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
∑M=0
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
例2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出 功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min， 画出该轴扭矩图。 T
（1）校核强度
max
Tmax Wt
Tmax
（2）设计截面
Wt

（3）确定载荷
Tmax Wt
例5 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输 出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为 300r/min，试设计该轴直径d。
TB
TC TA
TD
B
C A 955N· m
挤压力
P bs bs Abs
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接 铆钉或螺栓连接
l h b d
挤压力 分布
Abs l h
2
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力
剪切面计算
1 铆钉与螺栓 A d 2 4
D
477.5N· m Tn 637N· m
Tnmax=955N· m
由强度条件设计轴直径：
Tnmax 16Tnmax max [ ] Wp d 3
16Tnmax d 49.5mm [ ]
3
选：d = 50 mm
例6 某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930N· m, 传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材 料为20号钢，[]=70MPa.校核此轴的强度。 （1）计算抗扭截面模量
由上述实验推导出圆轴扭转的平面假设。
在圆周中取出一个楔 形体放大后见图（b）
根据几何关系，有
CC rdj g AC dx
同理，距圆心为 处的切应变为：
g
d j
dx
式中 dj dx 为扭转角沿轴的变化率，对给定的截面，其为常量。即 横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离成正比。
挤压应力为正应力
挤压面计算
Abs d h
Abs l h 2
键
A bl
§3-2 圆轴扭转
扭转的概念
1. 扭转变形的概念和特点
Mn A'
A
g
Mn
B j
B'
x
受力特点：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的 力偶作用力偶作用面垂直于圆杆的轴线 变形特点：横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线 发生相对转动
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
铆钉或螺栓连接
挤压面为上半个 挤压面为下半个圆周面 圆周面
键连接
上半部分挤压面
l
h
2
下半部分挤压面
2、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力
bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布 也非常复杂，工程上往往采取实用计算的 办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压 面上
单剪切与双剪切
单剪切
前面讨论的都是单剪切现象
P

P
双剪切
P/2 P/2
出现两个剪切面 P/2 P/2 剪切力为P 剪切面面 积2倍 剪切力为P/2 剪切面面 积单倍
中间段
左右两段
P P/2 P/2
P
结论：无论用中间段还来自百度文库左右段分析，结果是一样的。
二、挤压
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压 挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎 作用于接触面的压力称为挤压力
满足强度要求
二、圆轴扭转的变形及刚度计算
1、扭转变形——扭转角
dj T dx GI P
T j dx 0 GI p
l
Tl j GI p
抗扭刚度
为了描述扭转变形的剧 烈程度，引入单位长度 扭转角的概念 单位
T l GI p
或

j
rad / m
/m
2、扭转刚度条件
以每米弧度为单位时
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m
Tmax 702N m
(3) 强度校核
Tmax 702 max WT 0.2 0.045 3 38.8 106 Pa 38.8MPa [ ] 40MPa
例4 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分 钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、C 为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
A B
C x
先计算外力偶矩
m A 9550 NA 4 9550 76.4 Nm n 500
A
B
C
N 10 mB 9550 B 9550 191 Nm n 500
τ
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、扭转剪应力的计算
圆截面上任意一点剪应力
T
ρ
T Ip
Ip
R
定义： Wt
Ip R
m
T m R Ip
极惯性矩
圆截面上最大剪应力 剪应力具有最大值
称之为抗扭截面系数
T m Wt
3、抗扭截面系数
T GI p
许用单位长度扭转角
以每米度为单位时
T 180 GI p
应用轴的刚度条件，可解决刚度计算的三类问题：刚 度校核、设计轴截面尺寸、确定许可载荷。
例8一传动轴，已知d=45mm,n=300r/min。主动轮输入功 率NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw, NC=ND=11kW。轴的材料为45号钢，G=80103MPa， =40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。
若将轮A与轮D互换 m 位置，轴内最大扭 477.5N· 矩有无变化？
+
§3-3圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、圆轴受扭转时横截面上的应力及扭转强度计算 1、圆轴受扭转时横截面上的应力分布规律
（1）各纵向线倾斜了同一微小角度γ，正方形格子歪斜 成菱形（2）各圆周线围绕轴线旋转一个微小的角度φ， 圆周线长度、形状及距离没变；
g 是圆轴扭转时圆轴母线的角变形量，称为剪应变(即相
对角度位移)，单位为弧度。
剪切虎克定律
圆轴受纯扭转时只有剪应变而无正应 变，故各横截面上只有剪应力而无正 应力。 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时， 剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系 称为剪切虎克定律。
Gg
剪切弹性模量
CC rdj g AC dx
§3-1
剪切与挤压
本单元主要讨论：
键连接和铆钉连接 件应力计算
一、 剪切
1、剪切变形的特点
受力特点：两外力大小相等、方向相反并与连接件轴线 垂直，两力作用线距离很近
变形特点：连接件横截面发生错位
我们将错位横截面称为剪切面
2.剪切的工程实例
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
平键连接
3、受剪切构件的主要类型
计算外力偶矩
N TA 9550 A 1592N m n NB TB TC 9550 477.5 N m n N TD 9550 D 637N m n
TB TC
A
TD
B
C
955N· m 477.5N· m 637N· m
1592N· m 955N· m
A
D
Tnmax=955N· m
(1) 计算外力偶矩
NA 36.7 TA 9550 9550 1170N m n 300 NB 14.7 TB 9550 9550 468N m n 300 NC 11 TC TD 9550 9550 351N m n 300
(2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
d 0.945 D WT 0.2 D 3 (1 4 ) 0.2 8.9 3 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T WT 1930 6 2910 6 66.7 10 Pa 66.7MPa [ ] 70MPa
实心圆截面
Wt
d
3
16
空心圆截面 Wt
D
3
16
1
4
4、扭转轴内最大剪应力
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
d D
max
Tmax Wt
5、扭转强度条件
max
Tmax Wt
6、强度条件的应用
max
Tmax Wt
取单键下半部分进行分析
假设单键长宽高分别为 l b h 则受剪切单键剪切面面积：
l h b 合力 外力
A bl
剪切面 剪切力
螺栓和单键剪应力及强度计算：
螺栓 单键
4F 4P 2 2 d d
设合外力为P 则剪应力为： 剪切力为Q
QP
Q P bl bl
一、铆钉类
铆钉连接 螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面 P
螺栓连接

P
内力外力要平衡
二、键类
F M d
单键连接
花键连接
单键连接的受力分析
4、剪切强度的工程计算
以螺栓为例
剪切面
F

P

x

X 0
P
P
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有：
F P 0
FP
F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力
满足强度条件.
(4) 刚度校核:
max
Tmax 180 702 180 9 4 GI p 80 10 0.1 0.045 3.14
1.23 m 2 m [ ]
故满足刚度条件
精品课件！
精品课件！
本章作业
P50-51 3-7、3-8
N m 9550 n
Nm
单位
2) . 扭矩的计算、扭矩图
(1)、扭矩的概念 扭转变形的杆称之为扭转轴，扭转轴扭转时，其横截 面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩 称为扭矩。 (2)、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
m
Mn
M
X
0
Mn m 0
Mn m
(3)、扭矩正负号的规定
剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的
工程上往往采用实用计算的方法
F A
上式称为剪切强度条件 其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力 A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。 许用剪应力
受剪切螺栓剪切面面积的计算：
A
d
4
2
d
受剪切单键剪切面面积计算：