随机变量独立同分布的概念

1、随机变量独立同分布的概念

随机变量X1和X2独立，是指X1的取值不影响X2的取值，X2的取值也不影响X1的取值。随机变量X1和X2同分布，意味着X1和X2具有相同的分布形状和相同的分布参数，对离散型随机变量具有相同的概率函数，对连续型随机变量具有相同的概率密度函数，有着相同的分布函数，相同的均值、方差与标准差。

反之，若随机变量X1和X2是同类型分布，且分布参数全相同，则X1和X2一定同分布。

一般来说，在相同条件下，进行两次独立试验，则这两次实验结果所对应的随机变量是独立同分布的。

比如，将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，设X1为第一次抛掷硬币的结果，X2为第二次抛掷硬币的结果。显然，第一次抛掷硬币的结果对第二次的结果没有影响，反之亦然，故X1和X2相互独立。

同时，X1和X2都只有两种试验结果：正面朝上和背面朝上，以0代表正面朝上，1代表背面朝上，则

P(X1=0)=P(X2=0)=0.5, P(X1=1)=P(X2=1)=0.5,

故X1和X2是独立同分布的随机变量。

随机变量独立同分布的特性可以推广到三个或更多个随机变量。

2、独立同正态分布（定理1）

3、独立同分布（定理2——中心极限定理）

当的分布对称时，只要n 5，那么，近似效果就比较理想；当的分布非对称时，要求n 值较大，一般n 30近似效果较理想。

这个定理表明：无论随机变量服从何种分布，可能是离散分布，也可能是连续分布，连续分布可能是正态分布，也可能是非正态分布，只要独立同分布随机变量的个数n较大，那么，随机变量之和的分布、随机变量均值X-的分布都可以近似为正态分布。这一结论意义深远。

4、标准误

统计学中把均值X-的标准差称为均值的标准误，记为，无论是正态还是非正态，均值X-的标准误都有

SEM随着n的增加而减少。

常常对一个零件的质量特性只观测一次，就用该观测结果去估计过程输出的质量特性。这里建议一种简单有效的减少测量系统误差的方法。对同一个零件的质量特性作两次或更多次重复测量，用其观测结果的平均值去估计过程输出的质量特性，就可以减少标准差。当然，这不是回避使用更精确量具的理由，而是一种提高现有量具精度的简易方法，多次测量值的平均值要比单次测量值更精确。