苏州大学2018届高考考前指导卷2(终稿)

苏州大学2018届高考考前指导卷2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．
． 1．设全集{|2,}U x x x =∈N ≥，集合2{|5,}A x x x =∈N ≥，则
U
A = ▲ ．
2．已知i 是虚数单位，复数(12i)(i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．利用计算机随机产生0～1之间的数a ，则事件“310a ->”发生的概率为 ▲ ．
4．某地区连续5天的最低气温（单位：C ︒）依次为8,4,1,0,2--，则该组数据的方差为 ▲ ． 5．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．
6．若抛物线24x y =的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则弦AB 的中点M 的纵坐标为 ▲ ．
7．已知一个正方体的外接球体积为1V ，其内切球体积为2V ，则2
1V V
的值
为 ▲ ．
8．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则
21
14
S S = ▲ ． 9．已知0a >，函数2()()f x x x a =-和2()(1)g x x a x a =-+-+存在相同的极值点，则a = ▲ ． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为 ▲ ．
11. 若cos 2cos()4ααπ=+，则tan()8
απ
+= ▲ ．
12. 已知0,0a b >>，则
222a b
a b b a
+
++的最大值为 ▲ ． 13. 在ABC △中，90C =∠°，24AB BC ==，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，则CM CN ⋅的取值范围为 ▲ ．
14. 设函数()33,2,,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-⎩
，
≥若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围
是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDE 中，∠ABD =60º，BD =2AB ，AB ∥CE ，AB ⊥CD ， （1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABC ⊥平面ACD . 16．（本小题满分14分）
在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，8c =. （1）若点M 是线段BC 的中点， 3AM
BM
=，求b 的值； （2）若12b =，求△ ABC 的面积.
C A
B
D
E
（第15题图）
某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2
2，右准线方程为4x =，(,0)
Q n 是椭圆C 的长轴上一点(Q 异于长轴端点)，过点Q 的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）①若2n =，求OA OB ⋅的最大值；
②在x 轴上是否存在一点P ，使得PA PB ⋅为定值，若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由．
O y
x
B
A
Q B
D
O
A
（第17题图）
（第18题图）
已知数列{a n }，{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n （n ∈N *）． （1）若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＋1b n －1＝b n （n ≥2），且b 1＝1，b 2＝2．
①记c n ＝a 6n －1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；
②若数列{a n
n
}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1应满足的条件．
20．（本小题满分16分）
已知函数()ln f x x ，1
()g x x
x
． （1）①若直线1y
kx 与()ln f x x 的图像相切, 求实数k 的值；
②令函数()()
()h x f x g x ，求函数()h x 在区间[,1]a a
上的最大值．
（2）已知不等式2()()f x kg x 对任意的(1,)x 恒成立，求实数k 的范围．
苏州大学2018届高考考前指导卷（2）参考答案
一、填空题
1．{2} 2．2- 3．2
3
4．16 5．11 6．2 7
． 8．76
9．3 10．4 11
．13
12
．2 13． 11
[,9]4 14． 1(,)(7,)2-∞+∞
填空题参考解答或提示 1
．
{}{|2}2U
A x x x =<∈=N ≤．
2． (12i)(i)(2)(12)i a a a -+=++-是纯虚数，所以实数a 的值为2-．
3．本题为几何概型，因为13103
a a ->⇒>，所以所求概率1
12313P -
=
=． 4． 8(4)(1)0215
x +-+-++==，所以该组数据的方差为52
211()165i i s x x ==-=∑．
5．第1次，33S I ==，；第2次，75S I ==，；第三次，117S I ==，． 6．设1122(,),(,)A x y B x y ，则126AB y y p =++=，所以1262
222
M y y y +-=
==． 7．设正方体棱长为a
，则
3
33
3
1113
2224π214π2V R R V R R a ⎛
⎫
⎪⎛⎫ ⎪===== ⎪
⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
8．由题意得74430a a q +⋅=，又40a ≠，所以713
q =-，
3
21
2114
21411()1731
16
1()3
S q S q ---=
=
=---． 9． 2322()()2+f x x x a x ax a x =-=-，所以22()34+(3)()f x x ax a x a x a '=-=--；
由题意得
132a a -=
或1
2
a a -=，又0,a >所以3a =． 10．由题意知，在PAC △中，由正弦定理可得，
sin sin PC AC
PAC APC
=
∠∠， 所以2
sin 4sin sin30PC PAC PAC =
∠=∠︒
，所以当90PAC ∠=︒时，PC 的最大值为4． 11． cos 2cos(),cos()2cos()48888
ααααπππππ
=++-=++，
所以3sin()sin cos()cos 8888ααππππ
+=+
所以11
tan()8
33tan
8
απ+=
=
=π
．
12．设20,20m a b n b a =+>=+>，则22,33
m n n m
a b --=
=
， 所以原式242222233222233333
m n n m
n m n m m n m n m n --=+=---⋅=-
≤， 当且仅当
233n m
m n
=
即2n m =，也即3222b a +=时等号成立． 13．设MN 的中点为D ，则2
2
2
1
=()()4
CM CN CD DM CD DN CD DM CD ⋅+⋅+=-=-
， 故只需考虑||CD 的最大、最小值.如图，点D 在D 1及D 2处（121
2
AD CD AB =⊥，）分别取得最大、最小值.由2
22137,34CD CD =
=，所以CM CN ⋅的取值范围为11
[,9]4
. 14．由题意知，max ()4f x a >
①当0a <时，因为(0)0f =， max ()4f x a >显然成立；
②当0a =时，()33,02,
0,x x x f x x x ⎧-<=⎨-⎩，
≥ max ()(1)204f x f a =-=>=，
满足题意；
③当0a >时，令332,x x -=解得121,2x x =-=，所以 i ）当02a <<时，max max ()(1)24,f x f a =-=>解得1
02
a <<
； ii ）当2a >时，3()3f x a a <-，由题意334a a a ->，解得7a >； 综上所述，实数a 的取值范围是1(,)
(7,)2
-∞+∞．
二、解答题
15. 证明（1）由题意AB ∥CE ，CE ⊂面CDE ，AB ⊄平面CDE ，
所以//AB 平面CDE.
（2）在△ABD 中，因为∠ABD =60º，BD =2AB ，
所以︒⋅⋅-+=60cos 2222BD AB BD AB AD ，即223AB AD =， 因为222BD AD AB =+，所以AB AD ⊥， 又AB CD AD CD D ⊥=，，所以⊥AB 平面ACD ， 又⊂AB 面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD.
16. 解（1）因为点M 是线段BC 的中点，
3AM
BM
=，设BM x =，则3AM x =， 又60B =︒，8c =，在△ABM 中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯︒， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以△ ABC 中为正三角形，则8b =.
（2）在△ ABC 中，由正弦定理
sin sin b c B C =
，得8sin 2sin 12c B
C b
==
=. 又b c >，所以B C >，则C
为锐角，所以cos 3
C =则(
)1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=++=
， 所以△ ABC
的面积1sin 482
6
S bc A =
==17. 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =，
所以由正弦定理可知1ππsin sin sin 33AD OD
θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 解得
πsin 3sin AD OD θθ
⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭=
，且π2π(,)33θ∈，
故πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=+-⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈， （2） 令3cos sin y θ
θ
-=
，则有23cos 1sin y θθ-+'= ，
当1cos 3θ>时，0y '<； 当1
cos 3
θ<时，0y '>；
可知，当且仅当1
cos 3
θ=时，y 有最小值22，
当AD =时，此时总路程S
有最小值50km ．
答：当集合点D 离出发点A
km
时，总路程最短，其最短总路程为50km ．
18. 解（1
）由2c e a ==，右准线方程为24a x c
==，
所以，a =2b =，即椭圆22
:184
x y C +=．
（2）①由已知，(2,0)Q ，
当直线AB 垂直于x 轴时，
A
，(2,B ， 2OA OB ⋅=．
当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB ：(2)y k x =-，
代入22
184
x y +=得2222(12)8880k x k x k +-+-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
212121212(2)(2)OA OB x x y y x x k x x ⋅=+=+--2221212(1)2()4k x x k x x k =+-++
22222
22(1)(88)8241212k k k k k k k +-=-⋅+++224812k k -=+2
10212k =-
+＜2． 所以，当直线AB 垂直于x 轴时，OA OB ⋅取到最大值2． ②设点(,0)P t ，11(,)PA x t y =-，22(,)PB x t y =-， 当直线AB 不垂直于y 轴时，
设AB ：x my n =+，代入22
184x y +=得222(2)280m y mny n +++-=，
12121212()()()()PA PB x t x t y y my n t my n t y y ⋅=--+=+-+-+
2
2
1212(1)()()()m y y m n t y y n t =++-++-2222
2
(8)(1)2()()2
n m m n n t n t m -+--=+-+ 22222
[82()]8()2
m n n n t n n t m ---+-=+-+， 令2282()812n n n t n ----=
得2384n t n
+=， 当2384n t n +=时，2222
222883894()()522416n n n PA PB n t n n n n --+⋅=+-=+-=+-．
当直线AB 垂直于y 轴时，(A n ，(,B n ，238
(,0)4n P n
+ 2222238894
()54216n n PA PB n n n n
+-⋅=-+=+-．
所以，在x 轴上存在点238
(,0)4n P n +，使得PA PB ⋅为定值2294516n n
+-．
方法二 先利用直线l 垂直于x 轴和垂直于y 轴两种情况下PA PB ⋅的值不变，猜想点238
(,0)4n P n
+，
然后再证明此时PA PB ⋅为定值
2294
516n n
+-． 19. 解（1）当n ≥2时，有a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n 22－n
2＋1．
又a 1＝1也满足上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n 22－n
2＋1．
（2）①因为对任意的n ∈N *，有b n ＋6＝
b n ＋5b n ＋4＝1
b n ＋3＝b n ＋1b n ＋2
＝b n ， 所以c n ＋1－c n ＝a 6n ＋5－a 6n －1＝b 6n －1＋b 6n ＋b 6n ＋1＋b 6n ＋2＋b 6n ＋3＋b 6n ＋4＝1＋2＋2＋1＋12＋1
2＝7．
所以数列{c n }为等差数列．
②设c n ＝a 6(n －1)＋i (n ∈N *)（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}，
所以c n ＋1－c n ＝a 6(n －1)＋6＋i －a 6(n －1)＋i ＝b 6(n －1)＋i ＋b 6(n －1)＋i ＋1＋b 6(n －1)＋i ＋2＋b 6(n －1)＋i ＋3
＋b 6(n －1)＋i ＋4＋b 6(n －1)＋i ＋5＝7，
即数列{a 6(n －1)＋i }均为以7为公差的等差数列．
设f k ＝a 6k ＋i 6k ＋i ＝a i ＋7k i ＋6k ＝76
(i ＋6k )＋a i －76i i ＋6k ＝76＋a i －76i
i ＋6k （其中n ＝6k ＋i ，
k ≥0，i 为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）
当a i ＝76i 时，对任意的n ＝6k ＋i ，有a n n ＝7
6
；
当a i ≠76i 时，f k ＋1－f k ＝a i －76i i ＋6(k ＋1)－a i －76i
i ＋6k ＝(a i －7
6i )－6[i ＋6(k ＋1)](i ＋6k )，
①若a i ＞7
6i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＜f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递减数列；
②若a i ＜7
6i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＞f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递增数列．
综上所述，集合B ＝{76}∪{43}∪{12}∪{－13}∪{－16}＝{76，43，12，－13，－1
6}．
当a 1∈B 时，数列{a n
n
}中必有某数重复出现无数次；
当a 1 B 时，数列{a 6k ＋i
6k ＋i }(i ＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现
一次，所以数列{a
n n }任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．
20. 解（1）设切点00(,)x y ，1()
f x x
. 所以00
0001ln 1x y x y kx k ，
，，
所以20
x e ，2
1k
e . （2）因为1
()
g x x
x
在(0,)上单调递增，且(1)0g ．
所以1
ln ,01,1()()|()|ln ||1
ln , 1.x x x x
h x f x g x x x
x
x
x
x x
当01x 时，1
()
ln h x x x
x ，2
11()10h x x
x ， 当1x ≥时，1
()ln h x x
x
x ，2
2
2
1
11
()10x x h x x
x x ，
所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，且max
()(1)0h x h ．
当0
1a 时，max
()(1)0h x h ；
当1a ≥时，max
1()()ln h x h a a a
a
．
（3）令1
()2ln ()F x x k x x ，(1,)x ．
所以2
22
212()(1
)kx x
k
F x k x
x
x ．
设2
()2x kx x
k ，
①当0k 时，()0F x ，所以()F x 在(1,)上单调递增，又(1)0F ，所以不成立；
②当0k 时，对称轴0
1x k ， 当
1
1k
≤时，即1k ≥，(1)2
20k ≤,所以在(1,
)上，()
0x ，所以()
0F x ，
又(1)0F ，所以()
0F x 恒成立；
当
11k
时，即01k ，(1)220k
，所以在(1,
)上，由()0x ，0x
x ，
所以0(1,)x
x ，()
0x ，即()0F x ；0(,
)x
x ，()0x ，即()0F x ，
所以max
0()()
(1)0F x F x F ，所以不满足()
0F x 恒成立．
综上可知：1k ≥.。