沪教版高中数学高二下册第十一章1点到直线的距离ppt
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沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
释疑解惑
在推导公式的过程中，我们假定 AB 0，那么如果 A 0 或 B 0，
公式还成立吗？
(1)求点 P(x0 , y0 ) 到直线 x a
|
|C|
C
A2 B 2 | A x0 | | Ax0 C |
|C |
A2 B2
A
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
情形3
y
NR S
P3
o
x
如何求 P3 R 呢?
|
P3 R
|
|
By0 A2
C | B2
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
情形1
y NQ
如何求OQ呢?
o P1
Mx
d | OM | | ON | | MN |
|C ||C |
C2 ||
A B
AB
( C )2 ( C )2
A
B
| C | A2 B2 AB
|C| A2 B2
情形2
y S R
o P2
Mx
如何求 P2 R 呢?
|
P2 R
wenku.baidu.com
|
|
MP2 | | OS | MO |
方法1、过P作直线Ax+By+C=0的垂线， 先求出Q的坐标，再求出|PQ|.
方法2、（启发学生）采用从特殊到一般的思 想方法。我们先从点P的特殊位置考虑。点的 特殊位置(1) P1 (0,0) (2) P2 (x0 ,0) (3) P3 (0, y0 ) 最后考虑一般情况(4) P4 (x0 , y0 )
简单应用：
例：已知P(-1,2) ，直线方程3x+4y-1=0 ，求P 到直线的距离。
变式练习1、把直线改成y=10-2x呢？
变式练习2、求直线2x+y=10关于点P(0,1)对称 的直线.
变式练习3、求过点P(-2,3)，且与原点距离等于2 的直线方程。
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
由猜想的结果知道，分子应该是 Ax0 By0 C
这里如何消去C ' ,而引入 Ax0 By0 ？
因为在直线 l1 ： Ax By C ' 0 所以 Ax0 By0 C ' 0
所以 C ' Ax0 By0 代入(1)得 | P' N | | C Ax0 By0 | A2 B2
P'
x
N
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
4、证明
过 P ' 的直线方程 Ax By C ' 0
令 y 0, 得 P' ( C ' ,0)
A
C'
| A ( ) C |
| P' N |
A
|C C' |
| A2 B2 |
A2 B2
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
(2)求点 P( x0 , y0 ) 到直线 y b
结合图形，我们可以得到
的距离； 的距离。
y
yb
P( x0 , y0 )
d | a x0 |, d | b y0 |
0
x
xa
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尝试 猜想 证明
-------------点到直线的距离
一、创设情境
我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究：点到 直线的距离。
已知假定在直角坐标系上，已知一个定点 P(x0 , y0 ) ,和一条 定直线l：Ax By C 0 ，如何求点到直线的距离？
y
P(x0 , y0 )
Q
o
x
l
(2)公式的适用范围：1、该公式对于任何位置的点（包括直线上的点）
及任意直线都适合。2、当 A 0, B 0 公式仍成立，但计算常用
图形直接求解。
(3)公式时应注意的问题：使用点到直线距离公式时，应先将直线方程 化为一般式。
(4) 用方程的观点理解公式：该公式是含有６个量的方程，知道其中 ５个量可以求第６个量。
d
| C1 C2 | A2 B2
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公式的辨析:
(1)公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得
到的代数式加绝对值，分母是 A2 B 2 ；
d | Ax0 By0 C |
A2 B2
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意外收获:
两平行直线之间的距离公式：
两平行线 Ax By C1 0与 Ax By C2 0 间的距离公式
3、共同探讨
当任意一点不在坐标轴上时，如何利用前面的结论，求出P到的l距离呢？
能不能从X(或Y)轴上找一点，使它到l的距离等于 转化为X(或Y)轴上一点到l的距离.
P4 M
, 即能否将此距离
利用两平行直线的距离处处相等性质，就可以将所求线段 PM 平行移动到
端点在坐标轴上的线段 P'N
y
P4
M O
观察、归纳、猜想
P1 (0,0)
d
|C | A2 B2
P2 (x0 ,0)
d | Ax0 C | A2 B2
P3 (0, y0 )
d | By0 C | A2 B2
我们能不能从这三种特殊情况中发现一般规律呢？
观察、类比前面三个公式，猜想出当点的坐标均不为0时，
距离公式可能为 d | Ax0 By0 C | A2 B2
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释疑解惑
在推导公式的过程中，我们假定 AB 0，那么如果 A 0 或 B 0，
公式还成立吗？
(1)求点 P(x0 , y0 ) 到直线 x a
|
|C|
C
A2 B 2 | A x0 | | Ax0 C |
|C |
A2 B2
A
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情形3
y
NR S
P3
o
x
如何求 P3 R 呢?
|
P3 R
|
|
By0 A2
C | B2
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情形1
y NQ
如何求OQ呢?
o P1
Mx
d | OM | | ON | | MN |
|C ||C |
C2 ||
A B
AB
( C )2 ( C )2
A
B
| C | A2 B2 AB
|C| A2 B2
情形2
y S R
o P2
Mx
如何求 P2 R 呢?
|
P2 R
wenku.baidu.com
|
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MP2 | | OS | MO |
方法1、过P作直线Ax+By+C=0的垂线， 先求出Q的坐标，再求出|PQ|.
方法2、（启发学生）采用从特殊到一般的思 想方法。我们先从点P的特殊位置考虑。点的 特殊位置(1) P1 (0,0) (2) P2 (x0 ,0) (3) P3 (0, y0 ) 最后考虑一般情况(4) P4 (x0 , y0 )
简单应用：
例：已知P(-1,2) ，直线方程3x+4y-1=0 ，求P 到直线的距离。
变式练习1、把直线改成y=10-2x呢？
变式练习2、求直线2x+y=10关于点P(0,1)对称 的直线.
变式练习3、求过点P(-2,3)，且与原点距离等于2 的直线方程。
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由猜想的结果知道，分子应该是 Ax0 By0 C
这里如何消去C ' ,而引入 Ax0 By0 ？
因为在直线 l1 ： Ax By C ' 0 所以 Ax0 By0 C ' 0
所以 C ' Ax0 By0 代入(1)得 | P' N | | C Ax0 By0 | A2 B2
P'
x
N
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4、证明
过 P ' 的直线方程 Ax By C ' 0
令 y 0, 得 P' ( C ' ,0)
A
C'
| A ( ) C |
| P' N |
A
|C C' |
| A2 B2 |
A2 B2
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(2)求点 P( x0 , y0 ) 到直线 y b
结合图形，我们可以得到
的距离； 的距离。
y
yb
P( x0 , y0 )
d | a x0 |, d | b y0 |
0
x
xa
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尝试 猜想 证明
-------------点到直线的距离
一、创设情境
我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究：点到 直线的距离。
已知假定在直角坐标系上，已知一个定点 P(x0 , y0 ) ,和一条 定直线l：Ax By C 0 ，如何求点到直线的距离？
y
P(x0 , y0 )
Q
o
x
l
(2)公式的适用范围：1、该公式对于任何位置的点（包括直线上的点）
及任意直线都适合。2、当 A 0, B 0 公式仍成立，但计算常用
图形直接求解。
(3)公式时应注意的问题：使用点到直线距离公式时，应先将直线方程 化为一般式。
(4) 用方程的观点理解公式：该公式是含有６个量的方程，知道其中 ５个量可以求第６个量。
d
| C1 C2 | A2 B2
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
公式的辨析:
(1)公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得
到的代数式加绝对值，分母是 A2 B 2 ；
d | Ax0 By0 C |
A2 B2
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
沪教版高中数学高二下册第十一章1点 到直线 的距离 ppt（ 公开课 课件）
意外收获:
两平行直线之间的距离公式：
两平行线 Ax By C1 0与 Ax By C2 0 间的距离公式
3、共同探讨
当任意一点不在坐标轴上时，如何利用前面的结论，求出P到的l距离呢？
能不能从X(或Y)轴上找一点，使它到l的距离等于 转化为X(或Y)轴上一点到l的距离.
P4 M
, 即能否将此距离
利用两平行直线的距离处处相等性质，就可以将所求线段 PM 平行移动到
端点在坐标轴上的线段 P'N
y
P4
M O
观察、归纳、猜想
P1 (0,0)
d
|C | A2 B2
P2 (x0 ,0)
d | Ax0 C | A2 B2
P3 (0, y0 )
d | By0 C | A2 B2
我们能不能从这三种特殊情况中发现一般规律呢？
观察、类比前面三个公式，猜想出当点的坐标均不为0时，
距离公式可能为 d | Ax0 By0 C | A2 B2