弹性力学讲义徐芝纶版

sin 2 ( 2 ) 2
scion22s((1111222222))22ccoossssiinn[[((11))]],.( f )
x 2 y co ss i[ n 2 2 (1 1 2 2 2 ) ](c2 ossi2n) [(1)。 ]
类似地取出包含x 面,y 面和 面φ的三角形
微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条
件，F 0, 得
x s in 2y c o s 2 2 x y c o s s in. ( c )
xco2sysi2n2xysi ncos xsi2nyco2s2xysi ncos (47) (yx)si ncosxy(c2 ossi2n)
直角坐标(x,y)与极坐标 比(较,)：
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有
固定的方向, x 和y 的量纲均为L。
极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标 线（ =常数）在不同点有不同的方向;
应用
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线;
的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引
x cos , sin, sin , cos
x
y
x
y
注意：uuco susin 可求得
x u x c2 o u s s2 i 1 n u u si c n o 1 u s u u
一阶导数
而
cos,
x
sin;
y
sin, x

y

cos


。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cφ o Φ s s i n Φ (c φ o s sφ i n)Φ ，
x
ρ ρ φ ρ ρ φ
(e)
Φ sφ i n Φ c o Φ s (s φ i n cφ o s )Φ 。
1 2yx y c sio ns cso in s 1 21 2 cso in sc sio n s
几何方程
由此可得 x c2 o s s2 in s ic n os
x
函数的变换：将式(a ) 或(b) 代入，
Φ (x,y) Φ (ρ,φ).
坐标变换
矢量的变换：位移 d(u,v)(uρ,uφ),
uucosusin, vusinucos。 ( c )
或
u ucosvsin, u usinvcos。 ( d )
y
ρ ρ φ ρ ρ φ
二阶导数
二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导 出。例如
x22Φx(Φ x) (coφsρsρiφnφ)(coφsΦ ρsρiφnΦ φ).
展开即得：
二阶导数
2 x2
2 y 2

cos 2 ( 2 ) 2
故物理方程形式相似。
物理方程
平面应力问题的物理方程：


1 E
(




),


1 E
(




),




2 (1 E

)

。

对于平面应变问题，只须作如下同样变
换，
E
E 1 2 ,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
(2) s s 上的应力边界条件（设全部为应
力边界条件）。 (3) 多连体中的位移单值条件。
§4－4 应力分量的坐标变换式
应力分量不仅具有方向性，还与其作用 面有关。 应力分量的坐标变换关系：
1、已知σx,σy，, τx求y σ。ρ,σφ,τρφ
取出一个包含x、y面(含 σx,σy),和τxy 面 ρ
应力公式
代入式 ( f ) ，得出 σ ρ 的公式。
(4) 应用应力变换公式（下节），
σ x σ ρc2 o φ σ sφ s2 iφ n 2 τρc φφ o sφ s i,n
而 σx 2 yΦ 2 2 ρ Φ 2si2φ n(1 ρ Φ ρρ 1 2 2 ρ Φ 2)c2φ os
x d y cs o s i s y d n x ss i c n o 0 , s
得 x c o s 2y s in 2 2 x yc o ss in.( a )
同理，由 F 0, 得
(y x ) c o ss i n x y ( c o s 2 s i n 2) .( b )
第一节 极坐标中的平衡微分方程 第二节 极坐标中的几何方程及物理方程 第三节 极坐标中的应力函数与相容方程 第四节 应力分量的坐标变换式 第五节 轴对称应力和相应的位移
第六节 圆环或圆筒受均布压力 第七节 压力隧洞 第八节 圆孔的孔口应力集中 第九节 半平面体在边界上受集中力 第十节 半平面体在边界上受分布力 例题

u

1

u

u 。

4 2


1 E
(




),


1 E
(




),




2 (1 E

)

。

物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。
E E ,
1 2
。 1
（含 σ ρ ,τ ρφ）的三角形微分体，厚度为1，
如下图 A，考虑其平衡条件。
设 b c d s , 则 a b d s c o s , a c d s s i n , 由
F 0,
d x d s c s c o o s y d s s s i sn in
2
2
2
MC-0-通过形心C的力矩为0，当
考虑到二阶微量时，得

Fρ 0--通过形心C的 ρ向合力为0，
(


)(
d)d
d

(

Fra Baidu bibliotek

d)d
sin
d
2
dsin
d
2

(


d)dcos
d
2
dcos
§4－3 极坐标中的应力函数 与相容方程
以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系，用于：
1、 物理量的转换; 2、从直角坐标系中的方程导出极坐标
系中的方程。
坐标变换
1.从直角坐标系到极坐标系的变换 坐标变量的变换：
x c o , s ysin; ( a )
反之
2 x2y2, arctany。( b )
2

σ


y
0
2x2 0

2
2




xy
0

2 xy
0




1


(45)
按Φ求解
4.极坐标系中按应力函数 Φ求解，应满足：
(1) A 内相容方程 4Φ0.
两 面不平行，夹角为 d φ ；
两面面积不等，分别为ρdφ ，ρdρdφ。
从原点出发为正，从 x 轴向 y 轴方向
转动为正。
平衡条件
平衡条件：
考虑通过微分体形心 C 的 ,向及矩的平
衡，列出3个平衡条件:
F0, F0, Mc 0。
注意： co s d 1, sin d d .
f
0
1
2f
0

41
§4－2 几何方程及物理方程
几何方程--表示微分线段上形变和位移
之间的几何关系式 。
极坐标系中的几何方程可以通过微元变
形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方
法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐
标与极坐标之间的关系，有
常数， 常 或 ,数
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程

1
f
0
1
2f
0

41


u

,



1

u

u

,

拉普拉斯算子的变换：由式（f）得
222(2 112)。 ( g )
x2 y2 2 2 2
相容方程应力公式
2.极坐标中的相容方程
4 Φ 2 2 Φ 0 (4 6 )
2 x 2 2 y 2 2( 2 21 1 2 22)
2[(1Φ)]coφs iφ n, ρ ρ
比较两式的 co2φs,si2nφ,coφssiφn的系数，便 得出 σρ,σφ,τρφ 的公式。
应力公式
当不计体力时应力用应力函数表示的公式
σ
x 0
2y2 0

1



1
2
2
3.极坐标中应力用应力函数 Φ(ρ表,φ示)
可考虑几种导出方法： (1) 从平衡微分方程直接导出（类似于 (2) 直角坐标系中方法）。
应力公式
(2) 应用特殊关系式，即当x轴转动到与 ρ
轴重合时，有:
σρ(σx)φ0(2yΦ 2 )φ0,
(3) 应用应力变换公式（下节）
σρσxco2φsσysi2nφ2τxycoφssiφn 2yΦ 2co2φs2xΦ 2si2nφ2x2Φ ycoφssiφn.
l21
l22
l
23

l31 l32 l33
对平面问题：ij yxx
xy
y


x
1
2
yx
12xy
y

csoins
sin cos
T csions
sin cos
x 1 2yx
比较可知


u

,



1

u

u

,


u

1

u

u 。

4 2
物理方程
极坐标中的物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与 y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程,且
ρ 与 φ为正交，
起弹性力学基本方程的区别。
对于圆形，弧形，扇形及由径向线和 环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极 坐标表示边界简单，使边界条件简化。
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
在A内任一点（，）取出一个微分
体，考虑其平衡条件。 微分体--由夹角为 d φ的两径向线和距离
为 d ρ 的两环向线围成。
注意：
d
2

fdd
0,
整理，略去三阶微量，得
1 f0。 (a)
同理，由 Fφ通0过形心C的 向合φ力为0可
得：
1 2f0。(b)
极坐标下的平衡微分方程：

1
根据张量的坐标变换公式
ij k' mlkilm,j TTT, T TT
ij yxx zx
xy y zy
xyzz z

x
1
2
yx
12zx
12xy y 12zy
1122xyzz
z

l11 l12 l13
坐标变换
导数的变换：
将对 x,y的导数，变换为对 ρ,φ的导数： Φ(x,y) 可看成是 ΦΦ(ρ,φ)，而ρ,φ又
是 x,y的函数，即 Φ是通过中间变量 ρ,φ， 为 x,y的复合函数。
有: ΦΦρΦφ,
x ρx φx Φ yΦ ρ ρ yΦ φ φ y.