《零指数幂与负整数指数幂》教案

《零指数幂与负整数指数幂》教案教学目标

1.使学生理解a0的意义，并掌握a0＝1(a≠0)；

2.使学生理解a-n（n是正整数）的意义，并掌握

1

n

n

a

a

-=（a≠0，n是正整数）；

3.使学生理解并掌握幂的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用．

教学重点、难点

重点：幂与负整数指数幂；

难点：幂与负整数指数幂的有意义的条件．

教学过程

一、创设情境.

问题1 在前面介绍同底数幂的除法公式a m÷a n＝a m-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＞n时，情况怎样呢？

二、探究归纳.

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况．例如考察下列算式：

52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0)．

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷52＝52-2＝50，

103÷103＝103-3＝100，

a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0)．

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1．概括由此启发，我们规定：

50＝1，100＝1，a0＝1(a≠0)．

这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1．

注零的零次幂没有意义．

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：

52÷55，103÷107．

一方面，如果照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷55＝52-5＝5-

3， 103÷107＝103-7＝10-

4． 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

3322525

2515555555=⨯==÷， 4433737

310110101010101010=⨯==÷． 概括 由此启发，我们规定

33515=-，4410110=-．

一般地，我们规定

n n a

a 1=-（a ≠0，n 是正整数）． 这就是说，任何不等于零的数的-n （n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数．

三、实践应用.

1.判断正误：

(1) a 6÷a 2＝a 3； (2)(-a )3÷(-a )2＝a ； (3)a 6÷a 2＝a 4； (4)a 3÷a ＝a 4；

(5)(-c )4＋c 2＝-c 2； (6)(-c )4÷(-c )2＝c 2； (7)a 5÷a 4＝0； (8)54÷54＝0；

(9)x 3n ÷x n ＝x 2n ； (10)x 3n ÷x n ＝x 3． （答案：3，6，9正确，其余错误．）

2.在括号内填写各式成立的条件：

(1)x 0＝1； ( )(2)(x -3)0＝1； ( )(3)(a -b ) 0＝1； ( )

(4)a 3·a 0＝a 3；( )(5)(a n ) 0＝a n ·0； ( )(6)(a 2-b 2)0＝1． ( )

（答案：x ≠0；x ≠3；a ≠b ；a ≠0；a ≠0；a 2≠b 2或|a |≠|b |．）

例1 计算：

(1)3-2；(2)10

1031-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛． 解：（1）22113.39

-==

（2）0

11111101.31010-⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭

例2 用小数表示下列各数：

(1) 10-4； (2)2.1×10-5． 解：（1）44

1100.0001.10-=

= （2）5512.110 2.1 2.10.0000110

0.000021.-⨯=⨯=⨯= 现在，我们已经引进了零指数幂和负整数指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数．那么，在 “幂的运算”中所学的幂的性质是否成立呢？与同学们讨论交流一下，判断下列式子是否成立：

(1) a 2·a -3＝a 2+(-3)； (2)( a ·b )-3＝a -3·b -3； (3)( a -3)2＝a -3×

2． 分析 (1)一方面，a a a a

a 13232==⋅-，另一方面，a 2+(-3)＝a -1，由刚才所学公式 知a

a 11=-，所以可得a 2·a -3＝a 2+(-3)； (2)一方面，33331)(1)(

b a b a b a ⋅=⋅=

⋅-，另一方面，333311b a b a ⋅=⋅--， 所以可得 ( a ·b )-3＝a -3·b -3；

(3)一方面，62

32311)(a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，另一方面，66231a a a ==-⨯-， 所以可得 ( a -3)2＝a -3×

2． 概括 当a 、b 都不等于0时，下列运算律成立：

(1)同底数幂的乘、除法

a m ·a n ＝a

m +n （m ，n 都是整数）； a m ÷a n ＝a m -n

（m ，n 都是整数）； (2)幂的乘方

(a m )n ＝a mn

（m ，n 都是整数）；

(3)积的乘方

(ab )n ＝a n b n （n 是整数）．

四、课堂小结.

1.进行有关0次幂和负整数幂的运算要注意底数一定不能为0，特别是当底数是代数式时，要使底数的整体不能为0；

2.在正整数幂的基础上，我们又学习了零次幂和负整数幂的概念，使指数概念推广到整数的范围；

3.对0指数幂、负整数指数幂的规定的合理性有充分理解，才能明了正整数指数幂的运算性质对整数指数幂都是适用的．

五、作业.

1．计算：

(1)(-0.1)0；(2)

2003

1

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

；(3)2-2；(4)

2

2

1-

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

．

2.计算：

(1)510÷254；(2)(-117)0；(3)4-2；(4)

2

4

1-

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-．

3.计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：(1)(x-3yz-2)2；(2)(a3b-1)-2(a-2b2)2；(3)(2m2n-3)3(-mn-2)-2．

布置作业：

课本21页习题1、2.