一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式
〖教材分析〗
1、地位和作用
本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。

利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。

由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。

最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。

一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。

2、重点和难点
本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。

〖学生情况分析及应对策略〗
学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。

教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。

教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。

〖设计理念〗
教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。

〖教学准备〗
教具准备：多媒体课件。

学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。

〖教学目标〗
根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：
知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。

过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。

情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。

〖教学流程〗
一、创设情境，提出问题
1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2、能力展示：分组比赛解方程
（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0 。

（待学生做完后，教师点评。

（1）x
1= x
2
= 2 ；（2）
x
1= 1 ，x
2
= -3 ；（3）无实数根。

)
3、发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根）
4、提出问题
教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）
学习目标：
1、知道什么叫一元二次方程的根的判别式，理解为什么能根据它来判断方程根的情况；
2、能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等；
3、体会分类思想、转化思想的应用。

二、探究新知
1、一元二次方程的根的判别式
活动1学生自学，初步感悟
请学生带着下面的问题，自学第51页课文至倒数第四行，并注意分类讨论的思想方法的使用。

一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
它何时有两个相等的实数根？
何时有两个不相等的实数根？
何时没有实数根？
为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？
教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。

活动2合作交流，深入探究
请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。

活动3师生合作，归纳提升（屏幕显示）：
由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。

因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。

通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。

2、一元二次方程的根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
结论1一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根。

这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。

活动4应用迁移，发展能力
例题1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2-3x=2（2）25y2+4=20y（3）2x2+x+1=0本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。

解（1）原方程可变形为
5x2-3x-2=0，
因为Δ＝（-3）2- 4×5×（-2）＞0，
所以，原方程有两个不相等的实数根。

请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；
三判断（根据结论1判别方程根的情况）。

（2）、（3）小题由学生完成，教师巡视。

待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评。

3、逆定理
活动5逆向思考，拓展延伸
上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示结论1）
学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：
结论2对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0。

（将结论2与结论1放在同一幅幻灯片内展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系）
例题2 已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个相等的实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与
学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？
师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2。

解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ= 0，
即(－3)2－4k = 0, 解得k=，
∴k=时，方程有两个相等的实数根。

变式：已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。

解：∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，
即(－3)2－4k ≥0, 解得k ≤，
∴k≤时，方程有两个相等的实数根。

三、当堂检测
1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所
以方程根的情况是_______________.
2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是
（）
A.a=0
B.a =2或
a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0
3. 不解方程，判别下列方程根的情况：
x(x +1)=3 .
4、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根。

（说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第3题中的两小题请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评。

）
四、小结与评价
1、通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容：
（1）、一元二次方程根的判别式的意义；
（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况（即结论1）；
（3）、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号（即结论2）。

2、本节课你对自己的表现满意吗？对同学呢？能给老师一个评价吗？
五、作业设计
课本第53页习题20.3
必做题：第1,3题；
选做题：第2,4,5题.。