(完整版)圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

（2015年天津卷） 19. （本小题满分14分）已知椭圆22

22+=1(0)x y a b a b 的左焦点为

F -c （,0）

,离心率为3

，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆4

22

+4

b x y 截得

的线段的长为c ，(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；

(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线

22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB

的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.

2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；

（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.

3. 如图，椭圆13

4:

2

21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积

相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.

4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.

5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；

（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；

（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=

(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2

·1cos PM PN MPN

-∠＝,求点P 的坐标.

7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线

12

2

2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3

MON π∠=

，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。

（II ）若0OM MN ⋅=（O 为坐标原点），1

3

FA AN =，求椭圆的离心率e 。

8. 设曲线2

212:1x C y a

+=（a 为正常数）与22:2()C y x m =+在x 轴上方只有一个公共点P 。

（Ⅰ）求实数m 的取值范围（用a 表示）；

（Ⅱ）O 为原点，若1C 与x 轴的负半轴交于点A ，当1

02

a <<时，试求OAP ∆的面积的最

大值（用a 表示）。

15年高考题答案

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.

（I ）解：由已知有2213

c a =，又由222

+a b c =，可得22223,2a c b c ==.

设直线FM 的斜率为(0)k k

，则直线FM 的方程为()y k x c =+.

由已知，有

2

⎛⎫+2222c b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，解得k =（II ）解：由（I ）得椭圆方程为22

22132x y c c

+=，直线FM

的方程为()3y x c =+，

两个方程联立，消去y ，整理得22

3250x cx c +-=，解得53

x c =-，或x c =.因为点M 在

第一象限，可得M

的坐标为,3c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.

有3FM ==，解得1c =，所以椭圆的方程为22

132

x y +

=. （III ）解：设点P 的坐标为(),x y ，直线FP 的斜率为t ，得1

y

t x =

+，即()1y t x =+()1x ≠-，

与椭圆方程联立22(1),1,32

y t x x y =+⎧⎪

⎨+

=⎪⎩消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=.

又由已知，得

2t =

，解得312

x -

-，或10x -.

设直线OP 的斜率为m ，得y

m x

=，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得

1. （1）略

（2）为简化运算，设抛物线方程为2

00()2()x x p y y -=-，点Q ，C ，D 的坐标分别为

331122()()()x y x y x y ，，，，，，点(0,0)P ，直线y kx =，

2

00()2()x x p kx y -=-

220002()20x x pk x x py -+++=

一方面。要证112||||PC PD PQ +=

化斜为直后 只须证：

123

112x x x += 由于

00122

12122()

112x pk x x x x x x x pk

+++==+ 另一方面，由于(0,0)P 所以切点弦方程为：000()(2)x x x p y y --=- 所以 3x =0202x pk x pk

+=

+

00

231

2x pk x x pk

+=+ 从而 123

112x x x += 即

112||||

PC PD PQ +=

2. （1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2

,(),0)(2

,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-…………………2分

04

0),2,1(2=+-=⋅-=y x PF PM y PF 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y (4)

分

（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时，

则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y OB OA 得， 不合题意，

x

y

O 22x py =