人教版高中选修2-2数学：1.1.2导数的概念教案

§1.1.2导数的概念

教学目标

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一．创设情景 （一）平均变化率

（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65(h h =， 所以)/(0049

65)

0()49

65(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描

述运动员的运动状态． 二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：

h

t o

思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．

从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -

为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t

∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念

从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:

0000()()lim lim x x f x x f x f x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即

0000()()()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim

x f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析

例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.

分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2

再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x

∆→∆=∆ 解：法一（略）

法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611

x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x

∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x

+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x

+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00

(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=

在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．

注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．

四．课堂练习

1．质点运动规律为32

+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．

2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．

3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

六．布置作业