常用逻辑用语(命题及其关系)

常用逻辑用语

（命题及其关系）

知识点一、命题

定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命

题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。

辨析：能够分辨哪一个是命题及其真假

①判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句。一般的，只有陈述句能

分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。

②对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：“太阳系外存在外星人”，

对于这个句子所描述的情形，目前确定其真假，但从事物的本质而言，句子本身是可以判断其真假的。这

类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。

③不判断真假的语句，就不能叫命题。“ X<2”。

知识点二、四种命题

1.原命题与逆命题

即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个

命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆

命题.

例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；

它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等

2.否命题与逆否命题

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命

题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.

例如，⑶同位角不相等，两直线不平行；

⑷两直线不平行，同位角不相等

3.原命题与逆否命题

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命

题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.

4.四种命题的形式

一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用「种命题的形式就是：

原命题：若p则q; 逆命题：若q则p ；否命题：若「p则「q；逆

否命题：若「q贝归p.

【例1】判断下列命题的真假。

原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等。逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等。p 和「q分别表示p和q的否定，于是四

为

互逆

互逆飞—

前

互

晋

若ip则“

逆否命题

若

逆命题

原命题

若P则

【例2】写出给出命题的逆命题，否命题，逆否命题。并判断其真假。原命题：如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等

。

逆命题：否命题：逆否命题：知识点三、四种命题的相互关系

一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：(四种命题的真假性之间的关系)

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系

知识点四、反证法

欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法其反证法的步骤：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

【例3】证明若a b 2a 4b 3 0,则a b 1

知识点五、充分条件与必要条件

①充分条件的定义

如果p成立时，q必然成立，即p q，我们就说，p是q成立的充分条件.(即为使q成立，只需条件p 就够了)

②必要条件的定义

如果B成立时，A必然成立，即q p，我们就说，q是p成立的必要条件.(即为使q成立，就必须条件p成立) ..

③(1)若p q,且q p,则称p是q的充分必要条件，简称充要条件。P . q

说明：①充要条件是互为的；

② p 是q 的充要条件”也说成p 与q 等价' ③ p 当且仅当q”等.

p q ，且q p ,则p 是q 的充要条件； p q ，但q p 则p 是q 的充分而不必要条件；

q p ，但p q ，则p 是q 的必要而不充分条件； p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件

【例4】从充分而不必要条件

必要而不充分条件 充要条件”中选出适当的一种填空:

(1) “ a = b ”是 “ ac = be ” 的 ____________________________________________________________ (2) “两个三角形全等”是“两个三角形相似 ”的 ______________________________________________ . (3)

“ a + 5 是无理数”是 “ a 无理数 ” 的 ___________________________________________________

⑷“四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形 ” ________________________________________________

知识点六、全称命题与存在命题

① 全称量词、全称命题定义：

短语 所有的”任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 一切”每一个”任给”所有的”等。) 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 如：

全称命题 对M 中任意一个x ,有p(x)成立”可用符号简记为： 简记为

x M ,

p(x),

读作对任意x 属于M,有p(x)成立”。 ② 存在量词、特称命题定义：

短语 存在一个”至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 "表示。(常见的全称量词还有

」"表示。(常见的存在量词还有

些”有一个”对某个”有的”等。)

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题 存在M 中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为:

X 。M , p(x 0),

读作存在一个x0属于M 使p(x0)成立”。

③ 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法: