3-10等价关系与等价类
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等价类
定义2:设R为集合A上的等价关系,对任意a∈A, 集合 [a]R={x|x ∈ A,<a,x>∈R} 称为元素a关于R的等价类。
例2可求出三个不同的等价类
[1]R=[4]R=[7]R={1,4,7} [2]R=[5]R=[8]R={2,3,8} [3]R=[6]R={3,6}
定义3:集合A上的等价关系R,其等价类集 合{[a]R|a ∈ A}称作A关于R的商集 (quotient set) 。记作A/R
3-10
等价关系与等价类
离散数学
复习
自反性( reflexive ) 定义:设R为定义在集合A上的二元关系,如果 对于每个x∈A,都有<x,x>∈R,即xRx,则称 二元关系R是自反的。
对称性( symmetric )
定义:设R为定义在集合A上的二元关系,如果 对于每个x,y∈A,每当<x,y>∈R,就有 <y,x>∈R,则称集合A上关系R是对称的。
3、A的每个元素只能属于一个分块
反证设a∈[b]R ,a∈[c]R,且[b]R ≠ [c]R,则bRa,cRa成立, 所以有aRc,所以bRc,即[b]R = [c]R 所以A/R是A上对应于R的一个划分。
定理3 集合A的一个划分确定A的元素间 的一个等价关系。
证明: 设集合A的一个划分S={S1,S2…Sm},现定义一个关系: aRb当且仅当a,b在同一个分块中。则R是一个等价关系。
摘要:等价关系是一种特殊的二元关系,体现了关系的自 反、对称和传递的性质,在计算机科学中有重要的应用。 网格技术是近年来兴起的一种前沿信息技术,是一种信 息社会的网络基础设施,它将互联网上的所有资源互通, 更好地实现网络资源共享。网格服务是网格环境中资源 的抽象和封装,它遵守网格服务规范,依据服务描述动态 创建的Web Service。本文基于等价关系的理论,提出了 等价网格服务关系的概念以及资源的划分问题,为服务 匹配、服务组合和服务协同的研究提供了理论的支持。
定理4:设R1和R2为非空集合A上的等价 关系,则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。
证明 必要性:A/R1={[a]R1|a ∈ A},A/R2 ={[a]R2|a ∈ A} R1=R2,对任意a ∈ A, 有[a]R1={x|x ∈ A,aR1x}={x|x ∈ A,aR2x}= [a]R2 所以有{[a]R1|a ∈ A}={[a]R2|a ∈ A}即有A/R1=A/R2 充分性:反之设{[a]R1|a ∈ A}={[a]R2|a ∈ A} 对任意[a]R1 ∈ A/R1则有[c]R2 ∈ A/R2,使得[a]R1=[c]R2 所以 <a,b> ∈R1 a ∈ [a]R1 ∧b ∈ [a]R1 a ∈ [c]R2 ∧b ∈ [c]R2 → <a,b> ∈R2 所以R1是R2的子集,同理可证R2也是R1的子集。 所以R1=R2
证明R为A上的等价关系。
证明: xA , 因为x-x=0=0×3,所以 <x,x>∈R; x,yA, 若x-y=3t(t为整数), 则有: y-x=-3t,即 <y,x>∈R; x,y,zA, 若x-y=3t, y-z=3s, 则有: x-z=3(t+s),即<x,z> ∈R.
关系图如下图所示.
R3= {d,e}x{d,e}={<d,d><e,e><d,e><e,d>}
R=R1∪R2∪R3
例4设A={a,b,c,d,e},R={〈a,a〉,〈a,b〉, 〈a,c〉,〈b,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,c〉, 〈c,a〉,〈c,b〉,〈d,d〉,〈d,e〉,〈e,e〉, 〈e,d〉},其有向图如图所示, 则R诱导的划分 S={{a,b,c},{d,e}}.反之,若 A的划分S={{a,b,c},{d,e}}, 则所诱导的等价关系 R={a,b,c}×{a,b,c}∪{d,e }×{d,e}={〈a,a〉, 〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,b〉, 〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,c〉, 〈c,a〉,〈c,b〉,〈d,d〉, 〈d,e〉,〈e,e〉,〈e,d〉}
①、a与a在同一个分块中,则有aRa ,即自反性
②、 a与b在同一个分块中,则b与a在同一个分块中,即若aRb, 有bRa,故R是对称的。 ③、 a与b在同一个分块中, b与c在同一个分块中,而由划分的 定义b只能属于且属于一个分块,故a与c必在同一分块中,即若 有aRb,bRc则必有aRc,即传递性成立。 所以R是一个等价关系。S=A/R
例1 设T={1,2,3,4},
R={<1,1>,<1,4>,<4,1>, <4,4>,<2,2>,<2,3>, <3,2>,<3,3>}。 验证R是集合T上的等价关系。
轾 1 犏 犏 0 犏 MR = 犏 0 犏 犏 1 臌
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
M R2
轾 1 犏 犏 0 = 犏 犏 0 犏 犏 1 臌
0 1 1 0
0 1 1 0
1 轾 1 犏 0 犏 0 ?犏 0 犏 0 犏 1 犏 1 臌
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
轾 1 犏 犏 0 犏 犏 0 犏 犏 1 臌
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
例2 设A = { 1, 2, …, 8 }, 如下定义A 上的关系R:
R = { <x, y> | x, yA且x≡y(mod3) }
说明
等价关系—— 等价类 —— 商集 —— 划分 A上的等价关系与A的划分是一一对应的。
例3 A={a,b,c,d,e}, S={{a,b},{c},{d,e}},求由S确定的R。
R1={a,b}x{a,b}={<a,a><b,b><a,b><b,a>}
R2={c} x{c}={<c,c>}
潍坊学院学报 刘海慧
主要内容
1 2 3
等价关系与等价类的基本概念
等价关系的基本性质
商集与集合的划分
一、定义
定义1:设R为定义在集合A上的一个关系,若 R是自反的,对称的和传递的,则称R为集 合A上的等价关系。
例如
平面上三角形集合中,三角形的相似关 系; 同学集合A={a,b,c,d,e,f,g},A中的关系 R:住在同一宿舍; 同性关系。
定理2:集合A上的等价关系R,决定了A的一 个划分,该划分就是商集A/R。
证明 设集合A上的一个等价关系R,则[a]R是A的一个子集, 则所有这样的子集可做成商集A/R
1、A/R={[a]R|a ∈A}中, ∪[a]R=A
2、 对任意a ∈A,都有aRa,即a∈[a]R,即A中的每一个 元素都属于一个分块。
传递性( transitive )
定义:设R为定义在集合A上的二元关系, 如果对于任意x,y,z∈A, 每当<x,y> ∈ R且<y,z> ∈R,就有 <x,z> ∈ R,称关系R在A上是传递的。
R 1 { a,a , a, b , b,a , c,c }
1 1 0 1 0 0 0 0 1
a c
R1
MR 1
b
R1 是对称的。
R 2 { a,a , a, b , b,a , b, b , c,c }
MR 2
1 1 0 1 1 0 0 0 1
a c
R2
b
R2 是自反的、对称的、传递的。
等价关系在网络技术中的应用理论研究
二、性质
(1) a ∈[a]R (2)定理1:设给定集合A上的等பைடு நூலகம்关系R, 对于a,b∈A,若<a,b>∈R,iff [a]R=[b]R。
(3)设R为集合A上的等价关系,则任意 a,b ∈ A,若<a,b> R,则
aR bR
4
aA
a R A
三 商集与集合的划分