电力网络分析考点汇总(共32页)

d k ( t ) dt
i k (t)
dq k ( t ) dt
(1−1)
因此，(uk，k)和(ik，qk)两对变量称为动态相关网络变量偶，由此可见，变量、q 可由变量 u、i 间接反映。其余的四种变量组合(uk， ik)、(uk，qk)、(ik，k)和(k，qk)之间存在依赖于网络性质的关系，称其为动态无关网络变量偶。由一对动态无关网络变量的向量构成 1
3 3
电阻电压也是正弦波，但与电流频率不同。若电流作为输入，电压作为输出，则此电阻即为一个变频器。 由上述讨论可知，这里定义的非线性电阻已不是通常意义上的电阻。实际上，在现代电子技术中，非线性电阻和线性时变电阻被广 泛地应用于整流、变频、调制、限幅等信号处理的许多方面。 电容元件 如果一个 n 端口元件的端口电压向量 u 和端口电荷向量 q 之间存在代数构成关系 f(u，q，t) = 0 则称该元件为 n 端口电容元件。与电阻元件类似，电容元件也有各种类型定义。以下只简单说明时不变二端(一端口)电容元件的定义。 二端时不变电容元件如图 1.6 所示，其端电压 u 与充电电荷 q 之间存在代数构成关系： f(q，u) = 0 上式为代数方程，确定了 u−q 平面上的一条曲线，一般是非线性的。进一步可对电容元 义：满足关系式 q = f(u)的元件称为二端压控电容，压控电容的 q 是 u 的单值函数。 满 g(q)的元件是二端荷控电容，荷控电容的 u 是 q 的单值函数。既是压控的又是荷控的二 二端单调电容。二端线性时不变电容为 q = Cu 式中 C 为常数。如果 C 为时间的函数，则为线性时变电容。 在网络分析和工程实践中，电容的特性常使用电压 u 和电流 i 这两个电量之间关系 (1−1)可见，电路中端变量 q 可由电流 i 间接反映，所以线性时不变电容的 u-i 特性方程为 u, q _ 图 1.6 二端电容 来表示。由式 + i C 件作如下定 足关系式 u = 端电容称为
T
y = [y1，y2， …，yn]
T
向量 x 和 y 的元素可以是电压、电流，或一部分是电压另一部分是电流。此外，输出亦可取自输入端口上。当任一网络的输入量与输出 量服从端口限定的约束，即(x，y)为网络的容许信号偶，网络的输入输出关系可由相应的一组微分或积分方程组 D(x，y) = 0 给出。 若 对所有容许信号偶(x，y)，当 D(x，y) = 0 时，必有 D(x，y) = 0 则称该网络的输入输出关系存在齐次性，这里为任意实常数。 若 x1 与 x2 是分别作用于网络的两个输入向量，其对应输出向量分别为 y1 与 y2。如果当网络的输入为(x1+x2)时，其输出为(y1+y2)， 即若 D(x1，y1) = 0， D(x2，y2) = 0 4
1 2
k N n (a)
1 2
k N n (c) 1' 2' (n1)'
(b)
图 1.1 多端网络和多端口网络 对于多端网络的每个端子或多端口网络的每一端口来说，在任一端子 k 或端口 k-k'上均有 u、i、q、四个基本端变量，各变量之 间存在着如下两个不依赖于网络性质的关系：
u k (t)
网络性质 网络的特性主要取决于网络元件的特性以及元件之间的连接方式，所以网络特性与元件特性密切相关，但两者并不完全一致。以下 讨论网络及网络元件的线性与非线性、时不变性与时变性、无源性与有源性。 线性与非线性网络 在电网络理论中，网络的线性与非线性有两种定义，一是根据网络元件的特性来定义，二是根据网络输入输出关系来定义。 根据元件的性质来定义网络的线性性质：若网络由线性无源元件(具有任意的初始条件)、线性受控源及独立源组成，则称为线性网 络。若网络含有一个或多个非线性元件，则称为非线性网络。 研究网络的输入输出关系时，则可根据端口输入输出变量之间的关系来定义网络的线性性质，这样的定义称为端口型线性定义。 线性包括两个方面性质：齐次性和可加性。 设多端口网络有 m 个输入量，n 个输出量，其输入向量 x 与输出向量 y 分别为 x = [x1，x2， …，xm]
图 1.4 n+1 端电阻 类似地可对多端电阻元件进行定义。对 n+1 端时不变电阻元件，选定任一端作为参考点，如图 1.4 所示多端电阻，选第 n+1 端为参 考点，其余 n 端与参考端之间的电压相互独立，端电流也相互独立，可建立以下代数方程组
f 1 ( u 1 , u 2 , , u n , i 1 , i 2 , , i n ) 0 f 2 ( u 1 , u 2 , , u n , i 1 , i 2 , , i n ) 0 f n ( u 1 , u 2 , , u n , i 1 , i 2 , , i n ) 0
t
t2
1
u ( t ) i( t ) dt
在研究电网络时涉及到多端网络或多端口网络的概念，如图 1.1(a)所示 n 端网络 N，每一端子与网络内一结点相连，该结点称为端 结点或可及结点。图 1.1(b)所示为 n 端口网络 Np，每一端口有两个端子，其中一个端子流入的电流应等于另一端子流出的电流。一个 n 端网络可选择任一端作为参考端，其余端与参考端之间可看作一个端口，如图 1.1(c)所示，将第 n 端分支为 n1 端，1-1'构成一端口， 2-2'也构成一端口，以此类推，可构成 n1 端口网络，所以任一 n 端网络总可等效成一个 n1 端口网络。 多端元件或多端口元件是多端网络或多端口网络的特例。 1 1' k k' Np n n'
上式为代数方程， 确定了−i 平面上的一条曲线， 一般是非线性的。 电感元件还可定义为二端流控电感 = f(i)， 二端链控电感 i = g()， 既是流控的又是链控的二端电感称为二端单调电感。 二端线性时不变电感定义为 = Li 式中 L 为常数。如果 L 为时间的函数，则称为线性时变电感。 i1 + u1 _ 图 1.8 二端口电感 L1 M L2 i2 + u2 _
网络变量 表征电磁场的基本物理量有磁感应强度 B、磁场强度 H、电场强度 E 和电位移 D 等矢量。电网络问题可视为特定的局部空间中的电 磁场问题，所以网络的物理量与电磁场的基本物理量密切相关。由电磁场的四个基本物理量可引出网络的四个基本物理量，即电压 u、 电流 i、电荷 q 和磁通，这些与电磁场的基本物理量之间有如下关系式：
u E dl
l
i H dl
l
q D dS
S
B dS
S
所以网络分析处处遵循电磁场的基本原理。除了这四个基本物理量外，电网络还有与能量有关的两个基本物理量，即电功率 p 和电能量 W：
p( t ) u ( t ) i( t )
W(t 1 , t 2 )
T T T
ic ib + ub _ + T uc _ 图 1.5 晶体三极管
T
式中 i' = [i1，i2， …，ik] ，u' = [u1，u2， …，uk] ，i" = [ik+1，ik+2， …，in] ，u" = [uk+1，uk+2， …，un] 。 晶体三极管可看作三端电阻元件，如图 1.5 所示，其元件特性可表示成混合三端非线性电阻 ic = f1(uc，ib) ub = f2(uc，ib) 理想受控源、理想变压器、运算放大器、回转器和负阻抗变换器等元件都是二端口电阻元件，因为它们的元件特性都可用端口电压 向量和端口电流向量间的代数构成关系来表示。 非线性电阻是一种具有广泛意义的电路元件， 例如流控非线性电阻的元件特性为 u(t) = 3i(t)−4i (t)， 若电阻电流为正弦电流 i(t) = sint，则电阻的电压为 u(t) = 3sint−4sin t = sin3t
或用向量表示 F(u，i) = 0 n+1 端电阻元件也有前述各种类型的电阻定义。如流控电阻、压控电阻分别定义为 2
u = F(i) i = F(u) 线性时变电阻定义为 u = R(t)i i = G(t)u 式中 R(t)、G(t)为 n×n 方阵。进一步可定义 n+1 端混合电阻 i' = F1(u'，i") u" = F2(u'，i")
+ u _
i, பைடு நூலகம் L
图 1.7 二端电感
在网络分析和工程实践中，常用 u、i 关系表示线性时不变电感特性。由式(1−1)可知磁通与电压存在对应关系，所以有
u
d di L dt dt
与电阻、电容不同的是电感之间可有耦合的特性。两个具有耦合特性电感元件，其电流与磁链关系分别为 1 = f1(i1，i2) 2 = f2(i1，i2) 称之为非线性耦合电感，这是非线性二端口流控电感元件。线性耦合电感如图 1.8 所示，电流与磁链关系为 1 = L1i1+Mi2 2 = Mi1+L2i2 式中 M 为耦合系数，L1、L2 是常数。
的向量偶记为 (，){(u，i)，(u，q)，(i，)，(，q)} 在整个时间区间[t0，)里，对多端(或多端口)网络观测到的一对动态无关向量偶(，)称为网络的容许信号偶。如果容许信号偶的关 系可以用代数方程表示，而不含它们的导数或积分，则称为代数构成关系，否则称为动态构成关系。 每一对具有代数构成关系的动态无关向量偶(，)都可唯一地定义一类网络元件，因此可定义如下四类基本网络元件： 电阻类元件：fR(u，i，t) = 0 电容类元件：fC(u，q，t) = 0 电感类元件：fL(i，，t) = 0 忆阻类元件：fM(，q，t) = 0 其中前三类电阻、 电容和电感元件是现实可模型化的元件， 而忆阻元件是根据动态无关向量偶定义的， 目前还没有对应的现实元件， 但可以用含有源器件的电路来实现忆阻网络。
基本网络元件 以下只分别对电阻、电感和电容等基本网络元件进行定义。 电阻元件 如果一个二端元件的电压 u 和电流 i 具有代数构成关系 f(u，i，t) = 0 则称该元件为二端电阻元件，用图 1.2 所示图形符号表示。上式为代数方程，确定了 u−i 平面上的一条曲线，一般是非线性、时变的。 如果满足一定的条件， 二端电阻元件可作如下进一步定义。 满足关系式 f(u， i) = 0 的元件称为二端时不变电阻； 满足关系式 u = f(i) 的元件称为二端流控电阻。流控电阻的 u 是 i 的单值函数，给定 i，只有一个 f(i)对应值，i 的定义域是整个实数轴。据此可知恒定电 压源是流控电阻，因为 Us = f(i) = const。 满足关系式 i = g(u)的元件是二端压控电阻，式中 i 是 u 的单值函数。根据定义，恒定电流源是压控电阻，因为 Is = f(u) = const。 隧道二极管的 u−i 曲线如图 1.3 所示，所以隧道二极管具有压控电阻的特性。 若二端电阻既是流控的又是压控的，电压与电流互为反函数 u = r(t)i 则称为二端单调电阻，单调电阻也就是线性电阻。式中 r(t)为时间函数，称为时变电阻，若 r(t)为常数 R 则为时不变电阻。另外，线 性电阻的倒数定义为电导。 i(t) + i(t) + r _ 线性电阻 u(t) r _ 非线性电阻 u(t) 图 1.2 电阻元件 0 图 1.3 隧道二极管 u−i 特性 u i0 n n+1 i 1 2 n+1 端 电阻元件
电力网络分析
考点一
基本网络元件与网络性质
这里所称的网络是指电气网络，即电路。电网络是由构成网络的元件及其连接方式这两个基本方面构成，因此在分析网络时要考虑 两个方面的约束：元件的约束和结构的约束。结构的约束由基尔霍夫定律确定，而元件的约束通常由与元件有关的网络变量之间关系确 定。元件具有线性与非线性、时变与时不变、有源与无源等基本的性质，网络也具有相应的性质。一般来讲，网络的性质取决于元件的 性质。
i
dq du C dt dt
显然，电容的电压与电流之间的关系为动态构成关系。 电感元件 如果一个 n 端口元件的端口电流向量 i 和端口磁通向量之间存在代数构成关系 f(i，，t) = 0 则称该元件为 n 端口电感元件。在实际应用中通常用磁链代替磁通。电感元件的定义也与电阻元件类似，以下只简单说明时不变二 端(一端口)电感元件的定义。 二端时不变电感元件如图 1.7 所示，其端电流 i 与磁链之间存在代数构成关系： f(，i) = 0 3