高等光学复习题

高等光学 复习题第一章 光的基本电磁理论1、概念要点：a) Maxwell 方程组以及物质方程、波动方程、Poynting 矢量；b) 波动方程的基本解：平面波和球面波、高斯光束、相速度和群速度；c) 矢量波的偏振态，Jones 矩阵、Stokes 参量，准单色光的光偏振态相干矩阵表示方法，庞加勒球；d) 菲涅耳反射与折射公式、全反射与倏逝波、光反射时相位变化、受抑全反射（光学遂川）、Goos-Hanchen 位移；2、（书题1.1）在非均匀介质中，介电系数()εε=r 是空间位置的函数，波动方程有下面的形式()()()2220t εεμε⎡⎤∇∂∇-+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦r E E r E r 试证明当电场的三个分量中有多于两个不为零时，电场分量间将会出现耦合。

3、（书题1.5）（1）一右旋圆偏振光在通过1/2波片后变为一个左旋圆偏振光，求此1/2波片的Jones 矩阵。

（2）快轴沿x 轴的1/4波片，其Jones 矩阵为100i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，一线偏振光的偏振方向与轴的夹角为45︒，求此偏振光通过上述1/4波片后的偏振态。

若入射到上述1/4波片上的光是左旋圆偏振光，结果又如何？（3）用快轴沿y 轴的1/4波片和透光轴与x 轴成45︒角的偏振器组合，构成了一个只让入射的右旋圆偏振光通过的装置，试证明该结论。

4、（书题1.7）设一个偏振态与下列偏振态正交：()cos ,sin i e δθθδθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦J 1. 求该偏振态的Jones 矩阵。

2. 证明两个相互正交椭圆偏振态的椭圆主轴是相互垂直的，电矢量的端点旋转方向相反。

5、（书题1.10）证明透光轴与x 轴成θ角的检偏器的Jones 矩阵为22cos sin cos sin cos sin θθθθθθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦J 6、 写出庞加勒球光上各点所对应的偏振态。

7、 描述在实验上如何测量相干矩阵的矩阵元。

（书题1.14）利用计算变换后相干矩阵的迹的方法，证明检偏方向与x 轴夹角为45+︒的检偏器透过的光强可以表示为(){}1Re 2xx yy xy I J J J =++ 8、准单色光的Stokes 参量，并证明对于部分偏振光有 222212300S S S S <++≤ 9、矢量与入射面的夹角称为光振动的方位角。

设入射的线偏振光的方位角为1α，入射角为1θ，试证明反射线偏振光的方位角1'α与折射光的方位角2α分别由下两式给出()()2121121121211122cos cos cos tan 'tan ,tan tan 'cos cos cos n n n n θθθθααααθθθθ-+==++ 10、 如图所示的一个有半导体GaAs 制成的发光管，其管芯AB 为发光区，直径3mm d ≈。

为了避免全发射，发光管上部被研磨成半球形，以使管芯发出的光有最大的透射率向外发射。

若要求发光区边缘A,B 处发出的光不发生全反射，那么半球的的半径r 应为多少？设GaAs 的折射率为3.4，发光波长为0.9μm 。

11、 考虑线偏振光的光学遂穿效应（受抑全反射），入射光为平行偏振，入射到折射率分别为1.5,1.38,1.5的三明治结构的介质中。

光波在第一个界面的入射角为︒75，中间夹层的厚度为第一层介质到第二层介质穿透深度的1.5倍，假设不考虑光波在三明治结构中的多次反射，且介质为无限大。

求光的透射率。

第二章 衍射的标量理论12、 基本概念要点：a) 惠更斯-菲涅耳原理、基尔霍夫衍射理论、格林定理、基尔霍夫衍射积分、瑞利-索末菲辐射条件、基尔霍夫边界条件，瑞利-索末菲衍射积分；b) 近场衍射的菲涅耳衍射积分、远场衍射的夫琅禾费衍射积分、近场和远场衍射的条件近似、傅立叶变换、角谱传播；c) 菲涅耳积分、考纽螺线以及特殊衍射孔径的菲涅耳衍射场光强分布、Talbot 效应、巴比涅原理、光学分数傅立叶变换。

13、（书题4.1）证明瑞利-索末菲辐射条件成立。

14、 （书题4.4）一个半径为1cm 的圆孔用500nm λ=的单色平面波垂直入射，希望在垂直于光轴的平面上1cm 的观察区内观察菲涅耳衍射，试估算观察距离至少为多少？如果要观察到稳定的衍射图样，即夫琅禾费衍射花样，观察距离又为多少？15、 （书题4.5）用单位振幅的单色平面波垂直照明下列衍射屏，分别求出衍射屏后表面的复振幅的角谱。

a) 直径为d 的圆孔；b) 直径为d 的不透明圆盘；c) 宽度为a 的单缝；d) 宽度为a 的金属细丝。

16、 （书题4.6）有一单位振幅的单色平面波垂直照明如图p4.6所示的双缝，缝关于,ξη轴对称，缝长为X ，缝宽为Y ，中心间距为∆。

设波长为λ，缝所在平面距观察平面为i d ，试求观察屏上的夫琅禾费衍射的强度分布。

17、 （书题4.21）考虑一个周期性物体的衍射，该周期性物体的振幅透射率为()2sin t X πξξ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中X 为周期性物体的空间周期，物体所在平面位于0z =处并垂直于z 轴，试计算在任意z 处的垂直平面上菲涅耳衍射的场分布和光强分布。

z 取何值时再现原物体？18、 （书题4.22）利用菲涅耳衍射积分，求圆形孔径菲涅耳衍射花样在轴上的强度分布。

设单位振幅的单色平面波垂直照明。

思考当年为什么要求菲涅耳在实验上证明圆盘的衍射图案中中心点存在亮点（伯松亮斑）以支持他的波动学说？同样的方法，用菲涅耳衍射积分证明之！第三章 部分相干光理论19、 基本概念要点：a) 光场的复函数表示、光场解析函数的实部和虚部的Hilbert 变化关系；b) 光场的互相干函数与互相干度函数、互相干函数与互谱密度函数、准单色光的互强度与互相干因子；c) 互相干性以及互强度的传播；Van Cittert-Zernike 定理、相干面积与相干时间的定义；Schell 定理。

d) HBT 实验和二阶相干函数、相干性的物理含义。

20、 （书题5.1）证明解析信号()u t 的实部()()r u t 和虚部()()i u t 之间互为Hilbert 变换，即它们之间存在如下关系：()()()()()()()()11P.V.,P.V..r i i r u u ut d u t d t t ξξξξπξπξ∞∞-∞-∞==---⎰⎰ 21、 （书题5.5）考虑Lloyd 镜干涉实验如图p5.5所示，一点光源置于一个全反平面镜上方距离S 处，在距该点源d 处的屏幕上观察干涉条纹，光源的复相干度函数为()()()0exp exp 2i γτπντπντ=-∆-假设,S d x d ，并考虑反射时场的符号变化（偏振方向平行于反射镜），试求：（1） 干涉条纹的空间频率；（2） 假设相干涉的两束光具有相同的强度，干涉条纹作为x 函数的可见度。

22、 （书题 5.10）假设一个激光器具有1ν和2ν两个频率非常接近的辐射（如频率差8~10Hz ν∆），如果相应于每个频率的频宽都是无限窄，且辐射强度分别为12,I I ，试计算()γτ23、 （书题 5.11）有一He-Ne 激光器发出的波长为633nm ，具有多普勒线宽101.510Hz ν∆=⨯，按照Mandel 的定义计算其相干时间和相干长度c c l c τ=。

24、 （书题5.17）在图p5.17所示的Young 氏干涉实验中，采用缝宽为a 的准单色光源，辐射光强度均匀分布为0I ，中心波长为0600nm λ=，a) 写出12,Q Q 两点的复相干因子；b) 若0.1mm,1m, 3mm a z d ===，求观察屏上Young 氏干涉条纹的可见度；c) 如过,z d 参数不变，要求观察屏上的条纹可见度为0.41，缝光源的缝宽a 应为多少？25、 （书题5.19）将太阳看成是一个非相干光源，亮度均匀的圆盘，在地球上的一个观察屏∑垂直与OO ’的连线，O 为光源圆盘的中心点，O ’为地球上的观察点，如图p5.19中12,P P 关于O ’点中心对称，12PP d =，太阳光的中心波长为0550nm λ=，太阳的半径为0r ，O ’点对太阳的张角为39.310rad θ-=⨯，求：a) 12,P P 两点间的复相干因子的表达式；b) 当d 从0逐渐增大时，求12,P P 两点所产生的干涉条纹第一次为0时d 的大小。

26、 （书题5.20）如图p5.20所示，有一矩形的均匀非相干光源，中心波长为0λ，矩形两边长分别为2a 和2b ，光强度为0I ，距光源0Z 处放置有两个针孔12,P P 的屏∑，两点相对于屏中心点O 对称，间距为d ，距离0Z 远大于光源和观察区的线度。

a) 求互强度()1212,J P P ；b) 证明相干面积()()2200//c s s A Z A λλ=≈Ω。

第四章 晶体的光学性质27、 基本概念要点：a) 各向异性介质的主要特征、介电张量的性质；b) 折射率椭球；c) 单色平面在各向异性介质中的传播、电磁场物理量之间的关系、波法线和光线的概念； d) 光在晶体中传播的菲涅耳公式、法线面、光线面、波法线和光线的对偶关系； e) 单轴晶体和双轴晶体的法线面和光线面，折射率面。

28、推导晶体中电场矢量E 和电位移矢量D 有如下关系()2200n n εε⊥=-⋅=⎡⎤⎣⎦D E s E s E 29、试证明在晶体中准单色光的群速度g v 与光线速度ray v （即能流速度）相等。

30、 （书题7.5）有一单轴晶体，o 光和e 光的主折射率分别为 1.5, 2.0o e n n ==，光波波矢和光轴成30︒和45︒角两种情况下入射，试求：a) 两种情况下e 光的折射率；b) 两种情况下晶体中的o 光和e 光的相速度。

c) 光线与光轴成的角度多大？d) 在此晶体中光波波矢与光轴夹角多大时，光线方向与波矢方向的夹角最大？求出该角度。