第3章组合逻辑原理(3)第4章组合逻辑的分析与设计(1)

数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
2. 用混合逻辑表示通用组合逻辑函数
X AND Y XY
(X’+Y’)’ =X Y
X OR Y X+Y
(X’ Y’)’ = X+Y
X NAND Y (XY)’
(X’+Y’) = (X Y)’
X NOR Y (X+Y)’
X NOR Y (X+Y)’
01
11
10
m0 m4 m12 m8 m1 m5 m13 m9 m2 m6 m3 m7 m15 m11 m14 m10
CD
AB
00 00
01
11
10
01
11 10
1
1
1
1
逻辑相邻：两个最小项之间只有一个变量改变。横向的上边 和下边、纵向的左侧和右侧也是逻辑相邻的！
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
（4）对于必要质蕴含没有包含的最小项，选择尽可能大 的质蕴含覆盖这些最小项。
（5）当多于一组的剩余质蕴含包含相同数量的最小项时， 就可能会有多于一种的等价化简结果。 （6）按上述步骤得到的化简结果是积之和形式。
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
蕴含、质蕴含、必要质蕴含的概念 蕴含：就是合并化简最小项前，输出函数的一个组成项 就是一个蕴含，组成项可以是单个最小项或最小项组。 质蕴含：就是可以合并化简的、不能与其它最小项或最 小项组再组合的一组最小项，其组合的大小为2的整数 次幂（2、4、8、16…）。 A prime implicant is a group of minterms that cannot be combined with any other minterms or groups.
yz
wx
0
00
4
01
5
7 6
11
12 8
10
9
11 10
00 01 11 10
1
3 2
1
1 1
13
15 14
1 1 1 1
1 1
3个包含4个最小项的必要质蕴含。
化简结果： U = y’z + wx’ + xz
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
4. 利用随意项化简卡诺图 随意项（don‘t care）：不作为输出函数的一部分出现 的最小项或最大项。 永远不会发生；可能发生，但是对输出函数没有影响。 在卡诺图中用d来填充，为0或1均可。 可用来进一步化简布尔方程。 利用随意项化简卡诺图的方法
2 6 14 10
3 7 15 11
1
5
13
9
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
卡诺图化简的实质
就是反复利用公式AB+AB’＝A合并最小项，也就是 B+B’＝1，消去多余的因子，从而得到最简化的表达式。
合并最小项方格的选择
参与合并的每行（列）方格数必须是2的整数次幂， 总的方格数也必须是2的整数次幂。 AB CD 00 01 11 10 00 m0 m4 m12 m8 01 11 10
m1 m5 m13 m9 m2 m6
m3 m7 m15 m11 m14 m10
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计

利用卡诺图化简布尔函数的步骤
（1）通过在相应方格填1，将最小项填充到卡诺图中。
（2）寻找最小项组（质蕴含） ① 从大到小找出所有的最小项组。 ② 最小项组必须是2的整数次幂2、4、8、16…。 （3）找出所有的必要质蕴含。
必要质蕴含：包含一个或多个唯一的最小项的质蕴含。
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
例3-13：J=f(x,y,z) = ∑(0,2,3,4,5,7)
xy z
0 1
0
1
00
01
2
3
11
6
7
10Leabharlann Baidu
4
5
1
1 1
1 1
1
只有6个包含2个最小项的组；
没有必要质蕴含；
只要3个包含2个最小项的组就可以覆盖所有6个最小 项，因此化简结果不唯一。 化简结果1： J = x’z’ + yz + xy’
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
5. 关于输出变量取值的问题，例P=f(a,b,c)= (0,1,4,5,7)
P=f(a,b,c)=∑(0,1,4,5,7)
= a’b’c’ + a’b’c + ab’c’+ ab’c + abc
P=f(1,0,1)=1’ · 0’ · 1’+ 1’ 0’ 1+ 1 0’ 1’+ 1 0’ 1+ 1 0 1
5 1 13 9 A’B’C’D A’B C’D A B C’D A B’C’D
3 A’B’C D
CD
AB 00 00 01 11 10 01 11 10
m0 m4 m12 m8 m1 m5 m13 m9 m2 m6 m3 m7 m15 m11 m14 m10
01
11
7 15 A’B C D A B C D
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
上一次课内容复习：
一．卡诺图及其化简 二．映射变量卡诺图
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
复习一：卡诺图及其化简 1. 卡诺图概述 卡诺图：卡诺图是用来化简布尔函数的由方格组成的 图。每个方格代表函数的一个最小项或最大项。排列方格 使得两个相邻方格间只有一个二进制位发生变化，使得输 入变量冗余可以直观地看出。卡诺图的方格数y与输入变 量数x之间的关系为2x＝y。 卡诺图一个方格对应布尔函数的一个最小项或最大项
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
AB CD 00 01 11 10
0 4 12 8 00 A’B’C’D’ A’B C’D’ A B C’D’ A B’C’D’
01 A’B’C’D A’B C’D A B C’D A B’C’D
11 A’B’C D A’B C D A B C D A B’C D 10 A’B’C D’ A’B C D’ A B C D’ A B’C D’
化简结果2： J = y’z’ + x’y + xz
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
例3-14a：K=f(w,x,y,z) = ∑(0,1,4,5,9,11,13,15)
yz
wx
0 1 3 2
00 1 1
4 5 7 6
01 1 1
11
12 13 15 14 8 9
10
00 01
(X’ Y’) = (X+Y)’
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
可以在变量名加后缀.H表示高有效，后缀.L表示高有效：
X.H
Y.L
F.L
混合逻辑表示的逻辑符号：变量表示有效状态，符号表 示逻辑功能。 混合逻辑表示的逻辑符号只是清楚地表明了输入、输出 变量的有效状态，并不表明就一定有这样的门电路！
=0+0+0+1+0
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
3.7 混合逻辑组合电路
1.什么是混合逻辑
V
函数表
A L L H H B L H L H F L L L H
A B
F
Active high A B 0 0 0 1 1 0 1 1
F=AB
F 0 0 0 1
A 1 0 0
① 如果输出变量都为0，则在MEV卡诺图对应方格写入0； ② 如果输出变量都为1，则在MEV卡诺图对应方格写入1； ③ 如果输出变量与MEV值相同，则在MEV卡诺图对应方格 写入MEV； ④ 如果输出变量与MEV值互补，则在MEV卡诺图对应方格 写入MEV的补； ⑤ 如果输出变量是随意项，则在MEV卡诺图对应方格写入 随意项符号； ⑥ 如果输出变量在一种情况下为随意项，在另一种情况下为 0（或1），则在MEV卡诺图对应方格写入0（或1）。
卡诺图一个方格对应真值表的一行，即一种输入变量组合
卡诺图是布尔函数的图形化表示 卡诺图的作用是用来化简布尔函数。
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
2. 卡诺图的建造 四输入变量卡诺图：
AB CD
00 00 01 11 10
4 12 0 8 A’B’C’D’ A’B C’D’ A B C’D’ A B’C’D’
如果随意项可用于生成更大的质蕴含，则可让d＝1；
如果随意项不能用于生成更大的质蕴含，则可让d＝0。
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
5. 和之积（最大项）方程的化简 方法一：与积之和(最小项)方程化简相似，差别如下： 在卡诺图中填最大项0，并针对填0的方格进行化简； 包含在必要质蕴含中没有被消去的变量是互补的，即1 看作X’，0看作X； 在一个质蕴含中没有被消去的变量相“或”； 各个质蕴含“或”项相“与”。 方法二：利用德· 摩根定理
将最大项看作最小项进行化简，得到积之和简化表达式；
该表达式为所求方程的相反形式，即应求反； 利用德· 摩根定理得到和之积形式的表达式。
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
复习二：映射变量卡诺图
1. 映射变量卡诺图
就是选择一个输入变量填在卡诺图方格里，使得形成 卡诺图的输入变量数量减少一个，从而达到压缩卡诺图的 目的。
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
3.圆圈逻辑的转换
什么是逻辑不匹配？
就是在逻辑图中，高有效输出同低有效输入相连，或 者低有效输出同高有效输入相连。
X W.H X′
Z.H
X.H
Y.H
X X′
Z.H=((W.H)’+(X.H+Y.H)’)’ = W.H (X.H+Y.H)
2.映射变量
填在卡诺图方格里的输入变量就称为映射变量MEV。 （ Map entered variable） 3. 映射变量的选择 映射变量的选择：通常选择低位变量，或在未化简表 达式中出现最少的变量作为映射变量。
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
4. 映射变量载入卡诺图的方法 对于被MEV卡诺图方格覆盖的两个最小项，有：
4
5
01 1 1
11
12
13
10
8
9
00
01 11 10
1 1
1 1
3
2
7
6
15
14
11
10
1
1
1
1个包含8个最小项的必要质蕴含；
2个包含4个最小项的必要质蕴含。 化简结果： P = c + a’d’ + bd’
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
例3-14g：U=f(w,x,y,z)=∑(1,5,7,8,9,10,11,13,15)
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
圆圈逻辑 混合逻辑的别名，圆圈本身表示反相，即变量求反。
X W.H X′
Z.H=W.H (X.H+Y.H)
X.H Y.H
X X′
1 1
11
10
11 10
1 1
有3个质蕴含；
有2个必要质蕴含，覆盖了蓝色框的质蕴含。
化简结果： K = w’y’ + wz
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
例3-14e：P=f(a,b,c,d)=∑(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)
cd
ab
0
1
00 1 1
Active low B F 1 1 0 1 1 1 0 0
F=A+B
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
高有效：一个变量用逻辑“1”来表示“有效”时，该 变量就是高有效，又称为正逻辑。 低有效：一个变量用逻辑“0”来表示“有效”时，该 变量就是低有效，又称为负逻辑。 混合逻辑：就是在逻辑电路中既包含高有效信号，也包 含低有效信号。
11 A B’C D
10
2 6 14 10 A’B’C D’ A’B C D’ A B C D’ A B’C D’
数字逻辑：第三章 组合逻辑原理～第四章 组合逻辑的分析与设计
例：f= A’B’C’D+ A’B’C D+ A’B C’D+ A’B C D =∑ (1,3,5,7)
CD AB
00
00 01 11 10
3. 卡诺图的化简
四变量卡诺图可能化简的组合：2、4、8、16 1个方格代表一个4变量的最小项； 2个逻辑相邻的方格可以合并成一项，合并时能够消去 一个变量；(3变量的积项) 4个方格组成一个大方块，或组成一行（列），或处于 两边两行（列）的对称位置，或处于四个角，则可以合 并成一项，合并时能够消去二个变量；(2变量的积项) 8个方格组成两行（列），或组成两边的两行（列）， 则可以合并成一项，合并时能够消去三个变量； 16个方格都为1，则布尔函数等于逻辑1。