二倍角公式及辅助角公式综合应用
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2
1 2 sin (1 cos 2 ) 2
1.求下列各式的值
cos 15
2
sin15 cos15
sin 22 .5
2.求下列函数的最小正周期：
x （ 1 ） . y cos 2
2
（2）y 2 sin x
2
3.将下列各式化为 A sin( x ) B
2：（2010北京理） 已知函数 f ( x) sin 2 x 2sin x cos x 3cos2 x （Ⅰ）求 f ( ) 的值； 4 （Ⅱ）求
f (x)
的最大值和最小值。
12
4.已知 f ( x) 2 sin x cos x 2 cos x( x R)
2
(1)求 f ( x) 的最小正周期及最小值； (2)令 g ( x) f ( x ) 1 ，若 g ( x) 对任 8 ] 恒成立，求 a 的范围. 意x [ 6 ， 3
4 4 4 2sin 1 2. 4 2 2k 2x 2k , k Z, (2)T= =π.由 2 4 2 2 3 得 k x k , k Z. 8 8 所以f(x)的单调递增区间为 [k 3 , k ], k Z. 8 8
cos2 cos sin
2 2
这个公式也要求会从右向左用，即
cos - sin cos2
2 2
另外，由
2 cos 1 cos 2
2
可得：
2 cos 1 cos 2
2
从而：
1 cos 2 cos 2
2
同 1 2 sin cos 2 样 ： 2 sin 2 1 cos 2
二倍角的正弦
sin 2 2 sin cos
二倍角的余弦
cos2 cos sin 2 2cos 1 2 1 2 sin
2 2
利用二倍角公式求最值
例1：求下列各式的最大值及最小正周期：
(1) sin x cos x; x (3)2 cos 1; 2
1 ）, (12分)(2013·陕西高考)已知向量a=（cos x, 2
b=(
sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求3 f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 [0, ] 上的最大值和最小值.
2
(2)当x [0, ]时，(2x－ ) [ , 5 ] ②,…………………8分
f( 5 ) 4
的值.
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
(本题源于教材必修4P147T11)
5 【解题提示】(1)直接将 4
代入到解析式求值.(2)利
用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化简,再利用正弦
型函数的性质求解.
f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1= 2sin(2x ) 1, （1）f ( 5 ) 2sin 11 1
2 6
6 6 5 由正弦曲线y=sin x在 [ , ] 上的图象知， 6 6 当2x ③,即x= 时，f(x)取得最大值1; 6 2 3 当 2x ,即x=0时，f(x)取得最小值- 1 . ……10分 2 6 6 所以，f(x)在[0, ]上的 2 1 最大值和最小值分别为1,－ .④ 2
例4、 求函数y sin x +2sinx cosx+ 3 cos x的最值.
2 2
11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
(1)2sin x 2 3 cos x (2) 6 cos 2 x 2 sin 2 x 1 1 (2) sin x cos x 2 2 1 1 (3)5sin x 12cox x 2 2
x x x (5)8sin cos cos cos x 4 4 2
2
x 2 x (2) cos sin ; 8 8
2
(4)1 2sin x.
2
2
sin 2 2 sin cos
公式从右向左用即为：
2 sin cos sin 2
两边同时除以2，即得
1 sin cos sin 2 2
则函数f(x)的单调递减区间是 [2k , 2k
4
5 ]，k Z. 4
(2)由 x 3 ，得 x 7 .
4
2 2 4 4 则当 x 3 ， 即x= 5 时，f(x)取得最小值－ 2 1 . 4 2 4 2
(2014·福建高考)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求
课堂小结
2 2 y A sin x B sin x cos x C cos x 类问题的步骤： D 解
1.利用下列公式，将y化成y=asin2x+bcos2x+k的形式
1 1 cos 2 2 sin cos sin 2 sin 2 2 1 cos 2 2 cos 2 2.再利用辅助角公式将y化成 y a 2 b2 sin 2 x 形式 c
2 2 2 1 1 1 2 1 sin x cos x－ sin(x )－ . 2 2 2 2 4 2
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
由 2k x 2k 3 ，k Z，
2 4 2 得 2k x 2k 5 . 4 4
3. 再利用 的知识解决题中的问题， 如：周期性、单调性、 y Asin x 最值、奇偶性、对称性等 k
的形式.
（ 1 ） .2 sin x cos x 2 cos x
2
1 2 （2） . sin 2 x 3 sin x 2
例2、当0 x 时，求函数y 3sin x 4cos x 的最值 2 及最小正周期.
例3、求函数y 3sin2x +4 cos2x的最值及最小 正周期.
…………………………………………………………12分
【变题】变式训练，能力迁移 (2014·朝阳模拟)已知函数f(x)= sin x cos x cos 2 x －1.
2 2 2
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
(2)求函数f(x)在 [ , 3 ] 上的最小值.
4 2
【解析】(1)f x sin x cos x 1 cos x －1
1 2 sin (1 cos 2 ) 2
1.求下列各式的值
cos 15
2
sin15 cos15
sin 22 .5
2.求下列函数的最小正周期：
x （ 1 ） . y cos 2
2
（2）y 2 sin x
2
3.将下列各式化为 A sin( x ) B
2：（2010北京理） 已知函数 f ( x) sin 2 x 2sin x cos x 3cos2 x （Ⅰ）求 f ( ) 的值； 4 （Ⅱ）求
f (x)
的最大值和最小值。
12
4.已知 f ( x) 2 sin x cos x 2 cos x( x R)
2
(1)求 f ( x) 的最小正周期及最小值； (2)令 g ( x) f ( x ) 1 ，若 g ( x) 对任 8 ] 恒成立，求 a 的范围. 意x [ 6 ， 3
4 4 4 2sin 1 2. 4 2 2k 2x 2k , k Z, (2)T= =π.由 2 4 2 2 3 得 k x k , k Z. 8 8 所以f(x)的单调递增区间为 [k 3 , k ], k Z. 8 8
cos2 cos sin
2 2
这个公式也要求会从右向左用，即
cos - sin cos2
2 2
另外，由
2 cos 1 cos 2
2
可得：
2 cos 1 cos 2
2
从而：
1 cos 2 cos 2
2
同 1 2 sin cos 2 样 ： 2 sin 2 1 cos 2
二倍角的正弦
sin 2 2 sin cos
二倍角的余弦
cos2 cos sin 2 2cos 1 2 1 2 sin
2 2
利用二倍角公式求最值
例1：求下列各式的最大值及最小正周期：
(1) sin x cos x; x (3)2 cos 1; 2
1 ）, (12分)(2013·陕西高考)已知向量a=（cos x, 2
b=(
sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求3 f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 [0, ] 上的最大值和最小值.
2
(2)当x [0, ]时，(2x－ ) [ , 5 ] ②,…………………8分
f( 5 ) 4
的值.
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
(本题源于教材必修4P147T11)
5 【解题提示】(1)直接将 4
代入到解析式求值.(2)利
用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化简,再利用正弦
型函数的性质求解.
f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1= 2sin(2x ) 1, （1）f ( 5 ) 2sin 11 1
2 6
6 6 5 由正弦曲线y=sin x在 [ , ] 上的图象知， 6 6 当2x ③,即x= 时，f(x)取得最大值1; 6 2 3 当 2x ,即x=0时，f(x)取得最小值- 1 . ……10分 2 6 6 所以，f(x)在[0, ]上的 2 1 最大值和最小值分别为1,－ .④ 2
例4、 求函数y sin x +2sinx cosx+ 3 cos x的最值.
2 2
11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
(1)2sin x 2 3 cos x (2) 6 cos 2 x 2 sin 2 x 1 1 (2) sin x cos x 2 2 1 1 (3)5sin x 12cox x 2 2
x x x (5)8sin cos cos cos x 4 4 2
2
x 2 x (2) cos sin ; 8 8
2
(4)1 2sin x.
2
2
sin 2 2 sin cos
公式从右向左用即为：
2 sin cos sin 2
两边同时除以2，即得
1 sin cos sin 2 2
则函数f(x)的单调递减区间是 [2k , 2k
4
5 ]，k Z. 4
(2)由 x 3 ，得 x 7 .
4
2 2 4 4 则当 x 3 ， 即x= 5 时，f(x)取得最小值－ 2 1 . 4 2 4 2
(2014·福建高考)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求
课堂小结
2 2 y A sin x B sin x cos x C cos x 类问题的步骤： D 解
1.利用下列公式，将y化成y=asin2x+bcos2x+k的形式
1 1 cos 2 2 sin cos sin 2 sin 2 2 1 cos 2 2 cos 2 2.再利用辅助角公式将y化成 y a 2 b2 sin 2 x 形式 c
2 2 2 1 1 1 2 1 sin x cos x－ sin(x )－ . 2 2 2 2 4 2
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
由 2k x 2k 3 ，k Z，
2 4 2 得 2k x 2k 5 . 4 4
3. 再利用 的知识解决题中的问题， 如：周期性、单调性、 y Asin x 最值、奇偶性、对称性等 k
的形式.
（ 1 ） .2 sin x cos x 2 cos x
2
1 2 （2） . sin 2 x 3 sin x 2
例2、当0 x 时，求函数y 3sin x 4cos x 的最值 2 及最小正周期.
例3、求函数y 3sin2x +4 cos2x的最值及最小 正周期.
…………………………………………………………12分
【变题】变式训练，能力迁移 (2014·朝阳模拟)已知函数f(x)= sin x cos x cos 2 x －1.
2 2 2
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
(2)求函数f(x)在 [ , 3 ] 上的最小值.
4 2
【解析】(1)f x sin x cos x 1 cos x －1