中考新定义新运算专题练习(1)

1.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下， )0(*>+-+=b a b a b a b a ，如：52

3232*3=-+=， 那么)4*5(*6＝ 。 2.对实数a ．b ，定义运算☆如下：a☆b=(,0(,0b b a a b a a a b a -⎧⎪⎨⎪⎩＞≠）≤≠）

， 例如2☆3=32-＝18，计算：[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]=

3.对于不小于3的自然数n ，规定如下一种操作：表示不是n 的约数的最小自然数.如<7>=2，

<12>=5，等等，则<19>×<98>=

4.用“”定义新运算：对于任意实数a ，b 都有ab ＝b 2＋1，例如74＝42＋1＝17，那么53＝ ，m （m 2）＝ ．

5.在有理数范围内规定一种新运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，求2*5的结果为 .

6.用“←”与“→”定义：对于任意实数a ，b ，都有a ←b=a ， a →b ＝b ，例如：3←2＝3， 3→2＝2，则（2006→2005）←（2004→2003）＝ ．

7.若（x 1，y 1）（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2，则（4，5）（6，8）= ．

12.对于实数a,b,定义运算“﹡”：a ﹡b=22(),).a ab a b ab b

a b ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩（例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡224428=-⨯=.若1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则1x ﹡2x =

13.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如

果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ．

14.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x ，y ），若规定以下两种变换：

①f （x ，y ）=（y ，x ）．如f （2，3）=（3，2）；

②g （x ，y ）=（-x ，-y ），如g （2，3）=（-2，-3）．

按照以上变换有：f （g （2，3））=f （-2，-3）=（-3，-2），那么g （f （-6，7））等于 .

14.现定义两种运算：“”，“”，对于任意两个整数a ，b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b ＝a ×

b-1,求4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]的值．

15.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”。

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数； （2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2—4mx+2m 2+1，和y 2=ax 2+bx+5，其中y 1的图象经过点A

（1，1），若y 1+y 2为y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x ≤3

时， y 2的最大值。

16.平面上有两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此

平面上点的“距离坐标”：

（1）点O 的“距离坐标”为（0，0）；

（2）在直线CD 上，且到直线AB 的距离为p （p ＞0）的点的“距离坐标”为（p ，0）；在

直线AB 上，且到直线CD 的距离为q （q ＞0）的点的“距离坐标”为（0，q ）；

（3）到直线AB 、CD 的距离分别为p ，q （p ＞0，q ＞0）的点的“距离坐标”为（p ，q ）．

设M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m ，n ），根据上述对点的“距离坐标”的规

定，解决下列问题：

（1）画出图形（保留画图痕迹）：

①满足m=1，且n=0的点M 的集合；

②满足m=n 的点M 的集合；

（2）若点M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上，求m 与n 所满足的关系式．（说

明：图中OI 长为一个单位长）

17.如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合）、我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角．

（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角，

①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB= °；

②若⊙O 的半径是1，AB=，求∠APB 的度数；

（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是

⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙O 2于M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．

18.如果一条抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个

交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x 2+bx （b ＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；

（3）如图，△OAB 是抛物线y=-x 2+b′x （b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

19.设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]a,b ．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”．

（1）反比例函数2015y x

=是闭区间[]1,2015上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[]m,n 上的“闭函

数”，求此函数的解析式；

*（3）若二次函数2147555y x x =--是闭区间[]a,b 上的“闭函

数”，求实数,a b 的值．