三种方法求解笛卡尔坐标系中三角形的面积

三种方法求解平面三角形的面积

判断一个点是否在一个图形内部，可以有多种方法，如叉积判断法，夹角之和判断法，交点记数法等，此外还有有向面积法。这对于某些问题的解决有着极大推动作用，是解析几何的一个重要的工具，下面就最简单的情形：三角形的有向面积来讨论下。

1裁减法

思想：把不规则难以求解的问题，转化为简易求解的矩形或者直角三角形或者梯形的面积，然后通过加减，以实现间接求解三角形的面积。 具体做法：从第一点开始，用前一点横坐标减后一点横坐标与两纵坐标之和的乘积求梯形面积，直到完成三角形的封闭，得到三角形的有向面积。

S S S

S

ADFC BEFC ABED

ABC

++=

S=((x1-x2)*(y1+y2)+(x2-x3)*(y2+y3)+(x3-x1)*(y3+y1))/2

化为行列式的形式就是

3

21321

11121y y y x x x S =

PS ：也可以用积分的方法：

2 海伦公式

))()((S c p b p a p p ---=

用matlab 符号求解求解

a=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)；

b=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2)； c=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)； p=(a+b+c)/2；

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))； simple(S) ans =

1/2*((-x2*y1+x1*y2+y1*x3-y2*x3-x1*y3+x2*y3)^2)^(1/2) 化为矩阵形式就是

3

21

321

11121y y y x x x S =

PS ：→→→→

||2

1sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆. 在本质上和海伦公式是等价的，可以相互推倒。

推倒过程如下：

ab c b a 2cos 2

22-+=θ

)

)()(())()()((4

1

)))(()((41

)2)(2(41

)(441)2(121cos 121sin **21222222222222222222222

c p b p a p p c b a c b a b a c b a c c b a b a c c b a ab c b a ab c b a b a ab c b a ab ab b a S

---=

-++++--+=-+--=-+++--=-+-=-+-=-==θθ

3有向体积法

把平面二维坐标系中的A （x1,y1）B(x2,y2),C(x3,y3)扩展到三维空间中且赋给三点以A`（x1,y1,1）B`(x2,y2,1),C`(x3,y3,1),且设以0A`0B`0C`为基向量张成的平行六面体为 下求三角形的面积和以OA`，OB`，OC`三个向量而成的六面体体积在数值上的关系

S

S

A`B`C`

ABC

=

六面体0A`B`C`V 6

1

V =

1H ,H S 3

1

V A`B`C`0A`B`C`=⨯=

3

213211

11```V 六面体y y y x x x OC OB OA =⨯⨯=

3

21321

11121y y y x x x S = 4判断点的位置

这三种方法殊途同归，都证明了这个结论，求出了三角形的有向面积，对于判定点与三角形的关系有着重要的作用，如P （x,y ）

321

321ABC 1

1121y y y x x x S =

3

232PBC 1

112

1

y y y

x x x

S =

3131APC 1

1

1

2

1

y y

y x x x S =

y

y y x x x S 2121ABP 1

1

1

2

1=

以三角形的逆时针为正向，得出的三角形面积为正，否则为负，由此可以推出 当P 点在内部时，PBC APC ABP S S S >0 当p 点在三角形上时，PBC APC ABP S S S =0 当P 点在内部时，PBC APC ABP S S S <0